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Full text of "Essai sur les conditions et les limites de la certitude logique"

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ESSAI 

SUR 

LES CONDITIONS ET LES LIMITES 

DE LA 

CERTITUDE LOGIQUE 



FÉLIX 



ALCAN, 



ÉDITEUR 



DU MÊME AUTEUR : 

Leçons sur les origines de la science grecque. 1 volume 

in-8° 5 fr. 

Le Rationnel. 1 volume in-12 de la Bibliothèque de 'philoso- 
phie contemporaine 2 fr. 50 



( 



rhuos. 

ESSAI 



LES CONDITIONS ET LES LIMITES 



CERTITUDE LOGIQUE 



G. MILHAUD 

Agrégé de mathématiques, Docteur ès lettres, 
Chargé de cours de philosophie à l'Université de Montpellier 



DEUXIÈME ÉDITION REVUE 



PARIS 




ANCIENNE LIBRAIRIE GERMER BAILLIÈRE ET C ie 

FÉLIX ALCAN, ÉDITEUR 

108, BOULEVARD S AINT - GERMAIN , 108 

1898 

Tous droits réservés 



} 



V 



A LA 

MÉMOIRE DE MON PÈRE ET DE MA MÈRE 



A 

M. EMILE BOUTROUX 

PROFESSEUR DE PHILOSOPHIE A LA FACULTÉ DES LETTRES DE PARIS 

HOMMAGE DE RESPECT ET DE RECONNAISSANCE 



PRÉFACE 



L'accueil bienveillant que ce livre a reçu du public 
m'engage à en donner une deuxième édition. Je n'y 
apporte que des changements de détail, sauf sur un 
point. (J'accepte comme établi par les néogéomètres 
que l'axiome d'Euclide ne peut se déduire des autres ; 
— convaincu d'ailleurs qu'il y a là un fait tout spé- 
cial, incapable de contredire à la thèse générale.) 

Ce n'est pas que je n'eusse trouvé l'occasion de 
marquer, plus que par des nuances de détail, le dé- 
sir de compléter ma pensée. En deux mots, je suis de 
plus en plus frappé de la puissance infinie de l'acti- 
vité créatrice de l'esprit ; et, tandis que j'assignais 
quelquefois au concept un rôle négatif, celui de ga- 
rantir la valeur logique des raisonnements, j'y vois 
davantage un principe fécond de l'élaboration scien- 
tifique. Plus que jamais je suis pénétré du rôle et de 
T efficacité de l'idée, non pas seulement de cette idée 



VIII 



PRÉFACE 



qui n'est qu'une hypothèse devançant l'observation, 
mais du produit original de l'intelligence humaine. 
J'ai le sentiment d'avoir été parfois trop exclusive- 
ment logicien ; et il n'est pas jusqu'au cas extrême 
de la rigueur absolue, rêvée par le mathématicien, 
où je ne voie aujourd'hui se substituer à l'immobilité 
statique du principe d'identité l'identité vivante et 
dynamique de la pensée. 

Fallait-il cependant toucher au fond même de 
cette thèse? Il m'a semblé, après réflexion, que ce 
serait me placer dans les conditions de sincérité les 
plus parfaites, que de reproduire ce livre à très peu 
près tel qu'il était, sauf à le faire suivre d'une sorte 
de complément. Ce sera un second volume formé 
d'une série d'études, auxquelles plusieurs revues ont 
accordé déjà leur bienveillante hospitalité. Le lecteur 
y trouvera des extraits assez nombreux du cours que 
j'ai eu l'honneur de professer pendant ces deux der- 
nières années à la Faculté des Lettres de Montpel- 
lier ; et il en dégagera suffisamment, à défaut d'un 
exposé systématique, la tendance dont j'ai indiqué 
le sens. 

Montpellier, ce 3 octobre 1897. 

G. MlLHAUD. 



CONDITIONS ET LIMITES 

DE LA 

CERTITUDE LOGIQUE 



Nous voulons montrer que la contradiction logique, 
par les conditions qu'elle exige pour se reconnaître, 
n'autorise aucune affirmation en dehors des faits parti- 
culiers directement observés, et dénoncer l'illusion de 
tous ceux qui nous apportent, au nom du principe de 
contradition, la solution définitive de problèmes dont 
la portée dépasse le domaine de l'expérience. Notre 
méthode reposera sur la distinction, fondamentale à nos 
yeux, de ce qui est donné si de ce qui est construit, 
dans les éléments de la pensée. Quant au plan, le voici 
en peu de mots : 

La première parlie a pour objet d'établir directement 
notre thèse. 

La deuxième partie la confirmera par un appel au 
témoignage des mathématiques. 

Nous nous attacherons, dans la troisième partie, à 
ruiner, par un examen direct, ce que les opinions 
couramment formulées sur quelques problèmes philo- 
sophiques présentent de manifestement contradictoire 
avec nos conclusions. 



G. MlLHAUD. 



1 



PREMIÈRE PARTIE 

CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



Nous ne manquons pas de mots pour exprimer qu'une 
chose nous apparaît comme impossible. Cela est in- 
croyable, incompréhensible, inconcevable, inimagi- 
nable, disons-nous, sans regarder de bien près au sens 
distinct que peut avoir chacune de ces expressions. Si 
cependant tous les cas où nous parlons ainsi impliquent 
en commun la croyance à une certaine impossibilité, la 
nature de cette impossibilité n'est pas toujours la même, 
et les motifs de notre opinion sont variés comme les 
circonstances où elle se produit* Peut-on attribuer cer- 
tains cas d'inconcevabilité au contradictoire ? En d'autres 
termes, peut-on ramener certaines affirmations qui 
nous répugnent à celle que A serait non-A ? A quelle 
condition cela sera-t-il possible , au moins dans cer- 
taine mesure? Et enfin notre connaissance des choses 
pourra-t-elle en tirer un profit spécial? Telles sont les 
questions auxquelles nous voudrions essayer de ré- 
pondre. 

Nous croyons que, pour étudier le rôle du contraclic- 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



3 



toirc, il n'y a pas lieu de séparer en deux catégories 
distinctes les cas cl'inconcevabilité, mais seulement de 
mesurer, en présence desmômes propositions, le degré 
d'objectivité ou de subjectivité qu'on laisse aux termes, 
dans la signification qu'on leur attribue. 

Essayons de nous faire comprendre. 

Et d'abord évitons tout malentendu sur le sens de ces 
termes : objectif et subjectif, qui reviendront quelque- 
fois sous notre plume. Nous ne concevons pas que l'es- 
prit puisse sortir de lui-môme : il ne connaît des choses 
que les états qu'elles suscitent en lui, que ses sensations, 
les idées qu'il acquiert ou qu'il peut se former, en vertu 
de sa nature, sur les données de la conscience et des 
sens. Ce domaine exclusif de sensations et d'idées est 
le seul où il ait accès. Sans doute, nous sommes ainsi 
faits que nous projetons au dehors le contenu de toute 
pensée. Un jugement que nous énonçons est toujours 
accompagné dans notre esprit d'un doute ou d'une 
croyance qui, à coup sûr, veut viser au delà du fait de 
conscience. Cela est si vrai, qu'il a fallu à l'homme un 
degré de culture fort avancé, il a fallu des siècles de 
méditation pour suggérer la distinction du sujet et de 
Fo yjetdans l'acte de pensée le plus simple. Mais où 
aboutit l'esprit dans cet effort instinctif de sortir de 
lu -môme? Lorsqu'il veut envisager, dans tout phéno- 
mène, en dehors de l'impression môme qu'il reçoit, 
q lelque chose qu'il lui oppose, à quoi parvient-il, sinon 
à former une idée encore ? Retenu en lui-même par une 
barrière infranchissable, môme au degré le plus élevé 
de l'objectivation apparente, l'esprit ne saurait trouver 
d'autre matière à ses idées que celle qu'il se forme lui- 
môme par son fonctionnement naturel. Notre connais- 
sance est donc, dans ce sens, essentiellement subjective, 
et la signification que nous donnerons à un terme quel- 
conque ne peut s'énoncer, en dernière analyse, qu'en 



4 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



éléments empruntés an domaine des sensations et des 
idées. 

Mais ne nous accordera-t-on pas, en retour, que l'es- 
prit, placé en face de ce domaine, peut jouer un rôle 
plus ou moins actif dans la formation de ses idées, et 
que, suivant que sa part dans cette élaboration est plus 
ou moins faible, l'idée se présente avec un aspect plus 
ou moins nécessaire, ou, si l'on veut, plus ou moins 
réel, c'est-à-dire plus ou moins semblable à ce qu'offre 
tout naturellement l'expérience ou l'intuition, à ce qui 
est emprunté de toutes pièces cà la série des sensations 
et des images qui défilent devant la conscience? N'ac- 
cordera-t-on pas que, suivant le rôle plus ou moins 
créateur, personnel, de l'intelligence, se dédoublant 
pour assister à ce défilé, le langage pourra désigner 
des choses s'offrant d'elles-mêmes ou des concepts\Au& 
ou moins artificiellement construits ? 

Certes, si nous portions notre attention sur le sens 
ordinaire de certains mots, il nous serait aisé d'éclairer 
notre distinction par quelques exemples. Que l'on com- 
pare entre eux les mots bleu, rouge, ce papier, cet en- 
crier, cet homme, homme, cheval, cercle, ellipse, lon- 
gueur d'un arc de courbe, chaleur spécifique, potentiel, 
probabilité mathématique, etc. A s'en rapporter au 
sens ordinaire de ces termes et à la seule impression 
qu'ils produisent sur nous, il nous semble difficile de 
ne pas sentir une gradation sur le caractère de moins 
en moins imposé, nécessaire, objectif de la chose dési- 
gnée. A première vue, tout le monde reconnaîtra que 
les éléments plus ou moins nombreux qui forment les 
premiers objets se trouvent donnés ensemble par l'ex- 
périence, sans dissociation ni recomposition , tandis 
que le choix spécial des matériaux qui servent à la 
construction des derniers leur communique un aspect 
plus fictif, plus conventionnel, plus subjectif. Nous 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 5 

n'avons nullement la pensée d'affirmer ici que ces im- 
pressions sont absolument légitimes et que les pre- 
miers mots cités ont un sens exclusivement objectif, 
tandis que la signification des derniers est exclusive- 
ment subjective ; pas plus d'ailleurs que nous ne son- 
geons à nous inspirer d'aucune classification habituelle 
(mots concrets ou abstraits, idées particulières ou géné- 
rales, expressions vulgaires ou scientifiques, définitions 
physiques ou mathématiques, etc.) pour nommer deux 
classes de choses, les unes objectives, les autres sub- 
jectives. 

Notre but est simplement d'abord de poser, sans ma- 
lentendu, une distinction entre ces deux qualificatifs, 
sauf à expliquer ensuite comment, dans tous les do- 
maines de la pensée, les termes d'un jugement quel- 
conque peuvent être affectés, pour ainsi dire, d'un 
coefficient variable entre deux limites extrêmes et in- 
diquant le degré d'objectivité que leur attribue celui 
qui parle. 

Commençons par fixer l'attention sur l'interprétation 
objective du langage, celle que nous semble réaliser, 
autant qu'il est possible, la logique de St. Mill, par 
exemple. 

En dehors des noms qui servent d'étiquettes à cer- 
tains sujets uniques, comme les noms propres, et qui 
ne font que dénoter les choses auxquelles ils s'ap- 
pliquent, sans impliquer aucune désignation d'attri- 
buts, quelle est, du point de vue réaliste où nous nous 
plaçons, la signification d'un nom concret ou abstrait? 
C'est l'ensemble des attributs connus ou inconnus, que 
l'expérience et l'observation sont capables de nous ré- 
véler comme lui appartenant. Certaines synthèses de 
phénomènes ou d'éléments idéaux ou sensationnels se 
posent devant nous et se détachent du champ de l'ex- 
périence par un certain nombre de propriétés qui nous 



6 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



frappent. Celles-ci suffisent pour les faire envisager 
comme des toute distincts, elles faire désigner par des 
noms; mais il faut voir sous chacun d'eux quelque chose 
qui ne se montre à nous que peu à peu, qui nous 
échappe toujours en partie : bref, dont la connaissance 
se fait sans cesse et indéfiniment. Dans les modifica- 
tions incessantes que subira cette connaissance, nous 
ne pouvons même pas affirmer que les attributs un à 
un découverts viendront simplement continuer une 
liste déjà dressée : l'expérience peut nous conduire à 
corriger cette liste en supprimant çà et là des attributs 
qui ne devaient pas y figurer. 

Qu'il s'agisse d'abord d'un objet concret particulier, 
ce papier, par exemple, sur lequel j'écris. Quelques pro- 
priétés sautent aux yeux tout d'abord : sa couleur, sa 
consistance, ses dimensions approximatives. Mais com- 
bien d'autres pourraient être révélées par une série 
d'expériences, telles que son poids spécifique, la nature 
du résidu que donnerait sa combustion, etc., et com- 
bien d'autres encore resteront toujours à découvrir? 

Qu'il soit question d'un terme général d'ordre con- 
cret: homme, cheval, eau, soufre, oiseau, — ■ (les noms 
abstraits s'y ramèneraient sans peine, la vertu étant la 
qualité de l'homme vertueux, la beauté, la qualité de 
ce qui est beau, etc.), - - les premières propriétés qui 
suggèrent un mot spécial pour une même chose ne sont 
plus fournies comme tantôt par une seule observation ; 
elles se dégagent d'observations répétées par le souve- 
nir qu'elles laissent d'un certain nombre d'impressions 
communes. Mais, à cela près, la connotation du mot 
présentera le même caractère de progrès continu et in- 
défini que dans le cas des objets particuliers. « Voici 
un corps inorganique, Feau, dit Taine (1). L'idée que 



(1) L'Intelligence, II, L IV, ch. i. 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



7 



j'en ai est celle <f un liquide sans odeur ni couleur, 
transparent, bon à boire, qui peut devenir glace ou va- 
peur, rien de plus ; du groupe énorme de caractères ou 
propriétés physiques et chimiques qui s'accompagnent 
et constituent Veau, je ne sais pas autre chose. Les phy- 
siciens et les chimistes viennent avec leurs balances, 
leurs thermomètres, leurs machines électriques, leurs 
instruments d'optique, leurs réactifs, et, entre leurs 
mains, les cinq ou six mailles qui composaient mon idée 
se multiplient jusqu'à former un vaste réseau. Mais ce 
réseau, si agrandi qu'on l'imagine, n'aura jamais autant 
de mailles qu'il y a de caractères dans l'objet auquel il 
correspond ; car il suffira toujours de trouver un corps 
nouveau pour lui en ajouter une. Au commencement 
du siècle, la découverte du potassium et du sodium a 
montré qu'au contact de certains métaux l'eau se dé- 
compose à froid. C'était là un caractère nouveau. Si 
nous avions en main les corps simples inconnus que 
les raies du spectre nous indiquent aujourd'hui dans les 
étoiles, et si nous pouvions soumettre l'eau à leur ac- 
tion, très certainement l'eau manifesterait des proprié- 
tés inconnues qu'il faudrait ajouter à la liste. En atten- 
dant, pour tout objet, cette liste demeure toujours 
ouverte. » Mais il y a plus, il ne faut pas se faire illusion 
sur le caractère de certitude et de fixité des attributs 
que porte cette liste provisoire. « Il est quelquefois dif- 
ficile, dit St. Mill (1), de décider jusqu'à quel point un 
mot particulier connote ou non, c'est-à-dire de savoir 
exactement, le cas ne s'étant pas présenté, quel degré 
de différence dans l'objet entraînerait une différence 
dans le nom. Ainsi il est clair que le mot homme con- 
note, outre l'animalité et la rationalité, une certaine 
forme extérieure ; mais il serait impossible de dire pré- 

(1) Logique, I, p. 38 (trad. Peisse) ; Paris, Félix Alcan. 



s 



LA CERTITUDE LOGÏ0UE 



cisément quelle forme, c'est-à-dire de décider quelle dé- 
viation de la forme ordinaire serait suffisante pour faire 
refuser le nom d'homme à une race nouvellement dé- 
couverte. La rationalité étant aussi une qualité qui ad- 
met des degrés, on n'a jamais déterminé quel est le 
minimum qu'une créature devrait posséder pour être 
considérée comme un être humain. Dans tous les cas 
de ce genre, la signification reste vague et indéter- 
minée. » 

Pour le besoin de certaines classifications scienti- 
fiques, on peut bien fixer son attention sur un petit 
groupe d'attributs d'une chose et créer ainsi des noms 
généraux ou génériques, que d'autres appellent con- 
cepts, dira St. Mill; mais nous ne pouvons les conce- 
voir que « comme formant une représentation conjoin- 
tement avec d'autres attributs qui n'existent pas dans 
le concept... La différence entre les parties de la même 
représentation qui sont en dedans et celles qui sont en 
dehors de ce que nous appelons le concept, ne consiste 
pas en ce que les premières sont l'objet de l'attention 
et que les secondes ne le sont pas, chacune de ces pro- 
positions n'est pas toujours vraie, mais en ce que, pré- 
voyant que nous désirerons fréquemment ou acciden- 
tellement porter notre attention sur les premières, nous 
avons inventé nous-mêmes ou reçu de nos devanciers 
un moyen artificiel de nous les rappeler, et qui sert 
aussi à fixer exclusivement notre attention sur ces par- 
ties, quand elles sont appelées dans l'esprit. » D'après 
cette manière de voir, par conséquent, les concepts 
sont au fond incapables d'être pensés, si ce n'est 
comme parties de quelque chose dont ils ne peuvent 
être séparés. 

Les définitions scientifiques, tout comme la significa- 
tion ordinaire des noms, sont d'ailleurs éminemment 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



9 



variables. « Leur objet principal est de marquer des 
limites dans une classification scientifique, et, comme 
les classifications sont continuellement modifiées à me- 
sure que la science avance, les définitions scientifiques 
varient aussi toujours. » 

Faudra-t-il excepter de ces considérations générales 
les définitions qui sortent du domaine des sciences 
physiques et naturelles ? Nullement. Prenons, par 
exemple, les notions géométriques. Que ce soit de l'ex- 
périence, comme le veut St. Mill, ou de l'intuition que 
se dégage l'idée de la ligne droite, c'est là une chose 
qui se pose comme objet d'étude à notre intelligence, et 
dont un travail analytique plus ou moins avancé nous 
permet d'énoncer, sous forme de postulats, les pro- 
priétés qui nous apparaissent successivement, — avec 
le sentiment d'ailleurs que nous ne les énonçons pas 
toutes, et que jamais nous n'oserons déclarer notre liste 
de postulats adéquate à la connotation de la ligne 
d roi te. 

S'agit-il du cercle ? C'est l'expérience ou l'intuition 
qui nous donnent une figure concrète, de forme spé- 
ciale, un rond parfait, où nous découvrons un centre, 
c'est-à-dire un point également éloigné de tous les 
points de la ligne. Cette propriété en entraînera d'autres. 
Mais on n'ira pas bien loin, si l'on n'introduit des no- 
tions nouvelles (ce que feront les géomètres en énon- 
çant de nouvelles définitions), comme la notion de la 
longueur de la circonférence, de Faire du cercle, etc., 
et si l'on n'étudie les figures formées par des combi- 
naisons de cercles et de droites, ou de plusieurs 
cercles, etc. , absolument comme, dans l'exemple de 
faîne, les propriétés de l'eau se multipliaient sans cesse 
par les recherches nouvelles auxquelles on la soumet- 
tait. 

Bref, dans cette façon d'interpréter la signification 

i. 



10 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



dos noms, qu'il s'agisse du langage usuel ou du langage 
scientifique, le nom désigne la chose inconnue, ou par- 
tiellement entrevue, qui s'offre à nous ; et la significa- 
tion ordinaire ou la définition scientifique se modifient 
et se corrigent sans cesse à mesure que notre connais- 
sance s'accroît. 

À cette manière d'entendre le sens des mots s'oppo- 
sent les concepts construits par le sujet. Puisant dans 
le champ des idées, des sensations et des images qui 
pénètrent la conscience, l'esprit se forme pour lui-même 
des agrégats clairement définis, au contour nettement 
délimité. Il peut procéder différemment dans les diffé- 
rents domaines où s'exerce son activité, depuis les 
sciences les plus abstraites jusqu'au langage vulgaire ; 
il peut se laisser guider dans son choix par tels ou tels 
motifs, et, en particulier, par le désir de se rapprocher 
le plus possible des synthèses naturelles dont il serait 
impuissant à donner des analyses complètes ; quoi qu'il 
en soit, les noms concrets ou abstraits désigneront pour 
lui des ensembles dont il a voulu lui-même arrêter le 
contenu. 

Ouvrons un traité d'algèbre ou de géométrie. Les dé- 
finitions qui se succèdent sans interruption s'énoncent 
toujours de la même manière : j'appelle de tel nom ce 
qui a telles propriétés ; on pourrait dire : ce à quoi j'at- 
tribue telles propriétés. Les mathématiques, présentées 
à la façon dont on les enseigne d'ordinaire, nous don- 
nent ainsi le plus saisissant exemple de la pensée s'exer- 
çant sur des concepts dont elle a elle-même fixé la 
connotation comme par décret. 

Dans les sciences d'observation, il ne manque pas 
d'abord de définitions formées de la même manière : 
telles sont celles de la chaleur spécifique, de la chaleur 
de fusion, du coefficient de dilatation, du potentiel, etc. 
Ge sont d'ailleurs ces notions définies avec précision 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 11 



qui permettent Introduction de la méthode mathéma- 
tique en physique. Mais, même en restant dans le do- 
maine exclusif de l'expérience. St. Mill accorde, nous 
l'avons vu, qu'il peut être utile de fixer son attention 
sur un groupe d'attributs déterminés d'une chose ; si 
dans l'esprit le nom se lie à ce groupe seulement, un 
concept se trouve formé. Mill a nié qu'il fût possible de 
le penser sans y joindre toute une synthèse d'attributs 
connus ou inconnus qui en sont inséparables dans la 
réalité. Penser signifie évidemment ici « se représenter 
comme réalisé, comme ayant une certaine forme, une 
étendue, etc. » Mais ne pense-t-on que ce qu'on ima- 
gine ? Dans les classifications, où, de l'aveu de Mill, c'est 
le contenu du nom général ou du concept qui guide 
l'esprit, n'est-ce pas lui aussi qui est pensé ? Ces syn- 
thèses, artificielles si l'on veut, mais du moins claire- 
ment définies, ne peuvent-elles servir de sujet à des 
propositions, abstraction faite de tout supplément d'at- 
tributs ? et ne pouvons-nous ensuite raisonner sur de 
pareilles propositions ? La question de savoir si, pen- 
dant que nous raisonnons ainsi, l'imagination vient 
compléter les concepts en leur donnant un corps nous 
importe fort peu, Il nous suffit que la signification des 
noms qui fait les propositions vraies ou fausses, le rai- 
sonnement rigoureux ou défectueux/ soit celle des con- 
cepts dont nous avons nous-mêmes tracé le contour. Et 
personne ne peut nier qu'il en soit ainsi. 

Enfin, ce qui est vrai du langage scientifique peut 
l'être aussi des termes usuels. Quand nous voulons in- 
diquer quel est l'objet dont nous parlons, il y a pour 
nous d'autres moyens que de nommer un synonyme ou 
d'énumérer tous les attributs que l'expérience peut nous 
montrer réunis dans l'objet. Le plus souvent nous 
ferons un choix parmi ces attributs, nous laissant gui- 
der soit par l'ordre dans lequel ces impressions se sont 



12 



LA CERTITUDE LOUIQl'E 



produites sur nous, soit par tous autres motifs psycho- 
logiques plus ou moins intéressants pour le philologue : 
et, pour donner la signification d'un nom dont nous 
faisons usage, nous désignons alors un concept nulle- 
ment défini. C'est d'ailleurs ainsi que procède la confec- 
tion d'un dictionnaire pour tous les noms concrets ou 
abstraits, particuliers ou généraux. 

On pourra demander comment certains phénomènes 
simples ne se composant que d'une sensation, comme 
la couleur bleue, par exemple, peuvent donner nais- 
sance à un concept. C'est ici sans doute le cas où, pour 
se former à lui-même sa chose, l'esprit peut le moins 
donner carrière à son activité ; c'est le cas où la 
construction du concept semble imposée avec le plus de 
nécessité. Le bleu c'est purement et simplement la sen- 
sation qui s'offre à la conscience quand nous voyons tel 
objet. Et pourtant, clans ce cas extrême d'une sensation 
unique constituant un concept, on peut dire que l'esprit 
intervient encore par le seul fait qu'il la distingue des 
sensations concomitantes ou successives, qu'il l'isole 
pour en faire une chose à laquelle il donne un nom. 

Enfin, on objectera peut-être que le pouvoir de for- 
mer des concepts définis a des limites et ne saurait 
s'étendre à certaines notions premières qui servent de 
base à toute science, et de condition peut-être à toute 
pensée, comme l'espace et le temps, par exemple. 
Quand nous énonçons une proposition contenant l'un 
de ces termes, doute-t-on cependant qu'il corresponde 
à une idée précise ? Que cette idée se réduise à celle 
d'un rapport de position, d'un ordre des coexistants 
possibles, s'il s'agit de l'espace, des successifs pos- 
sibles, s'il s'agit du temps, pourquoi ce rapport ne pour- 
rait-il pas, comme tel autre élément de connaissance, 
être choisi pour le contenu d'une notion? Si je dis : 
l'espace est illimité, cela signifiera avec précision qu'il 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



13 



n'y a pas de limite au pouvoir de mon esprit, de juxta- 
poser des choses les unes à la suite des autres. Et, du 
reste, est-ce que chacun n'a pas sa définition de l'es- 
pace ? Celle de Leibnitz ou celle de Kant ne sont pas 
celle de M. Spencer, qui y voit une chose indépendante 
de nous, et n'ont aucun rapport avec celle de Riemann 
ou de Helmholtz, qui en font un cas particulier de la 
multiplicité à trois éléments. Ce qui pourra être en 
question dans toute dispute sur l'espace, c'est la supé- 
riorité absolue de telle ou telle définition, mais non pas 
la possibilité même d'en former une. — Le géomètre, 
dira-t-on encore, ne pourra définir les premiers élé- 
ments, la ligne droite par exemple. Si Ton parle ainsi, 
c'est par un retour inconscient à l'interprétation objec- 
tive du langage. On veut dire que la définition de la 
droite ne sera jamais objectivement complète. Mais du 
point de vue où nous nous plaçons en ce moment, quand 
il s'agit seulement d'un sens précis à donner à ces mots 
ligne droite dans une proposition quelconque, quelle 
difficulté particulière voit-on? En quoi l'image de la 
ligne droite, de quelque façon que l'expérience ait aidé 
mon esprit à la former, ne peut-elle devenir l'objet de 
mon attention aussi bien que tel autre phénomène ? 
Est-il impossible d'observer les propriétés intuitives que 
j'y peux trouver, et d'en choisir quelques-unes pour 
fixer la définition de la droite ? Le géomètre ne procède 
pas autrement. La connotation du concept qu'il se forme 
de la droite est donnée par la liste de quelques postu- 
lats qu'il énonce avant toute chose. Ce qui peut cho- 
quer ici, c'est, non pas l'impossibilité de dresser une 
liste de propriétés qu'on choisira pour caractériser la 
droite, mais bien le fait que la définition de la droite, 
à l'aide de postulats, rappelle plutôt la méthode 
des sciences d'observation que la méthode mathéma- 
tique. 



1 4 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



Bref, à l'interprétation objective de la signification 
des noms peut s'opposer, à tous les degrés d< k la pen- 
sée, l'explication du langage par concepts nettement 
définis. Il est clair qu'en un sens la signification des 
mots ne perd pas le caractère provisoire que lui donne 
la première interprétation, car elle dépend, pourrait-on 
dire, sinon d'une expérience nouvelle, d'une conven- 
tion de l'esprit. Mais la différence essentielle, c'est que 
l'indétermination et le vague de la connotation ont fait 
place à la connaissance précise et certaine du contenu 
de la notion. 

Et maintenant que nous avons essayé d'expliquer la 
distinction des deux points de vue objectif et subjectif, 
et que nous les avons opposés l'un à l'autre comme 
deux pôles contraires de la pensée, reconnaissons bien 
vite que ce n'est que théoriquement et pour plus de 
clarté que nous les avons isolés l'un de l'autre. Il est 
aisé de voir combien serait vain et illusoire l'effort in- 
tellectuel d'un esprit qui voudrait opter exclusivement 
pour l'un de ces deux modes de pensée. 

D'une part, en effet, si nous voulons seulement com- 
prendre notre langage, ce qui est bien peu exiger, nous 
ne pouvons pas ne pas voir dans les choses certaines 
propriétés, remarquées une fois pour toutes, et qui 
nous servent au moins à les reconnaître. Quel que soit 
le rapport objectif qui liera cet ensemble de* propriétés 
à la chose dénommée, ce n'en est pas moins un substi- 
tut qui sert à la penser provisoirement. Ce substitut ne 
se confond pas dans l'esprit avec la chose même qui 
possède une foule innombrable d'attributs inconnus, 
soit ! Mais, lors même que le nom désigne un ensemble 
de propriétés dont les unes forment une liste dressée 
avec précision, et dont les autres sont inconnues, lors 
même que la connotation est déclarée être la somme 
d'un groupe déterminé d'attributs, A, et d'une s\n- 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 13 

thèse inconnue, X, n'est ce pas en fin de compte par 
une décision de celui qui parle que la signification du 
mot énoncé soit A + X? X n'est pas connu, mais il ne 
désigne pourtant pas n'importe quoi; c'est un en- 
semble de propriétés que nous sommes susceptibles de 
découvrir, à la suite d'observations futures, associées 
invariablement à quelques-unes de celles qui compo- 
sent A. Il ne faudrait donc pas perdre de vue, même 
dans ce cas extrême, le rôle de l'esprit d'où résultera 
toujours, pour la signification du nom, un caractère 
subjectif. 

Inversement, si nous essayons de ne voir sous les 
noms que des concepts au contour clairement limité, 
nous ne devons pas être victimes de l'illusion qui nous 
ferait jamais croire au succès complet de notre tenta- 
tive. Lorsque, pour définir un être géométrique, par 
exemple, nous énonçons un nombre déterminé de pro- 
priétés, n'empruntons-nous pas chacune d'elles au 
champ des sensations ou images que fait défiler devant 
la conscience l'expérience externe ou l'intuition, et ne 
l'empruntons-nous pas alors telle quelle apparaît, telle 
qu'elle est donnée, avec sa complexité, avec son con- 
tenu, dont l'analyse nous échappe? Le cercle, dira-t-on, 
est une ligne dont les points satisfont à telle condi- 
tion de distance. — Mais qu'est-ce donc qu'une ligne? 
A cette propriété, énoncée par un mot unique, peut 
correspondre une image familière à notre esprit ; mais, 
pour la séparer des autres et la prendre à part, de façon 
à en faire un élément de construction de quelque syn- 
thèse nouvelle, nous n'en sentons pas moins que nous 
transportons avec elle une chose non définie. On peut 
essayer de la construire elle-même, à l'aide d'éléments 
empruntés à d'autres images ou sensations, tels que 
le mouvement, la continuité ; mais, de quelque façon 
qu'on procède, nous pouvons répéter les mêmes re- 



16 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



marques à propos des matériaux ultimes nécessairement 
empruntés de toutespièces à l'expérience ou à l'intuition, 
et qu'on ne saurait réduire à des éléments plus simples. 
D'une manière générale, la méthode suivie pour cons- 
truire les définitions qui nous semblent les plus claires 
et les plus nettes consiste à nommer un à un un nombre 
déterminé d'attributs; on ne voit pas toujours que 
chacun d'eux, pour être clairemenl défini, soulèverait 
les mêmes difficultés que n'importe quelle chose. — On 
dira que le plus souvent ces attributs sont donnés 
comme sensations simples, irréductibles, comme celles 
du bleu, par exemple. Sans doute, mais appeler une 
sensation irréductible, c'est justement déclarer qu'on 
veut l'envisager du point de vue objectif, de celui qui 
nous met en présence d'une connotation non analysée, 
non décomposée. De sorte que, si les éléments ultimes 
de nos constructions sont reconnus irréductibles, il sera 
manifeste que le concept formé échappe à notre claire 
compréhension pour une part appréciable. 

Qu'est-ce à dire enfin, sinon que la pensée ne saurait 
jamais devenir ni exclusivement objective ni exclusi- 
vement subjective? que ce sont là seulement deux 
termes limites entre lesquels elle oscillera, n'atteignant 
jamais ni l'un ni l'autre, mais seulement tendant, sui- 
vant les circonstances, à se rapprocher plus ou moins 
de l'un ou de l'autre ? 

De quoi dépend maintenant la direction de ce mou- 
vement de la pensée ? On a vu d'abord, parles premiers 
exemples qui nous ont servi à établir notre distinction, 
puis par la gradation des différents ordres d'idées où 
nous avons voulu introduire chacune des deux inter- 
prétations objective et subjective, que l'objet pensé ne 
se prête pas avec la même aisance à l'une et à l'autre. 
Le sens d'un mot se ressent, dans l'usage habituel, d'un 
travail d'élaboration plus ou moins avancé, qui a servi 



CONDITIONS DU LA CONTRADICTION LOGIQUE 



17 



à le former : il est bien clair que des notions tirées du 
domaine mathématique, par exemple, ne sauraient se 
poser à notre esprit, comme objets donnés, à l'égal des 
corps physiques que nous avons sous les yeux. C'est 
par un effort réel de pensée que nous arriverons à sai- 
sir, à leur égard, l'élément donné qui autorisera l'inter- 
prétation objective; pour quelques-unes même, cela 
nous semblera impossible. Au contraire, le rôle concep- 
tuel de l'esprit dans certaines sensations irréductibles 
de couleur ou d'odeur, par exemple, n'est-il pas fort 
difficile à définir ? — Ainsi il paraît évident tout d'abord 
que, par elles-mêmes, les choses pensées comportent 
une signification plus ou moins subjective. 

Qui ne voit, en outre, que la nature spéciale du sujet, 
sa tournure d'esprit, ses opinions préalables sur la part 
et le rôle de l'entendement dans le donné, pourront le 
prédisposer d'une façon générale à l'une ou à l'autre 
des deux tendances? Nous nous sommes volontiers re- 
portés à St. Mill ou à Taine, pour faire mieux com- 
prendre la tendance objective ; pour l'autre, nous au- 
rions pu citer Hamilton. 

Mais au-dessus de ces deux sortes d'influences s'en 
trouve une capitale, qui n'est sans doute pas complète- 
ment étrangère à celles-là ; c'est le rapport de la pen- 
sée avec le degré de certitude que l'esprit veut lui com- 
muniquer. Plus l'affirmation voudra être apodictique, 
plus celui qui parle voudra démontrer, plus il tendra, 
qu'il en ait ou non conscience, à donner une significa- 
tion subjeclive aux termes de ses propositions. S'il 
souhaite d'atteindre ou de communiquer la certitude 
idéale, celle qui se placerait sous le contrôle du prin- 
cipe de contradiction, celle qui correspondrait dans nos 
esprits à l'affirmation que A n'est pas non-A, il s'effor- 
cera de réaliser le cas extrême de la construction de 
concepts complètement intelligibles, supprimant le plus 



18 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



possible tout élément donné par l'expérience ou l'intui- 
tion, et réussissan! d'ailleurs à faire naître la certitude 
logique, dans les limites où il réaliserait la pensée pu- 
rement intelligible, c'est-à-dire où une branche infinie 
d'une courbe rencontrerait son asymptote. 

Il n'est pas besoin d'insister sur ce que l'affirmation 
catégorique d'un fait exige d'abord que les termes de la 
proposition qui l'exprime aient une signification nette, 
claire, précise : cela n'est pas moins nécessaire pour que 
celui à qui l'on parle paisse être convaincu. Et si on se 
rappelle que l'interprétation objective ne permetde don- 
ner le sens des termes que d'une façon vague, indécise 
et instable, on n'aura pas de peine à comprendre que 
le désir d'affirmer et de convaincre appelle tout natu- 
rellement dans l'esprit le mode conceptuel. Mais ser- 
rons de plus près la question dans son rapport direct 
avec la contradiction; et, nous transportant, par une 
fiction, à l'un des pôles extrêmes et inacessibles de la 
pensée, commençons par montrer l'impossibilité radi- 
cale qu'il y aurait, avec l'interprétation objective, à 
invoquer l'inconcevable contradictoire. 

Soit A un nom quelconque, B celui d'un certain attri- 
but. Comment concevoir qu'il puisse être contradictoire 
d'associer B aux attributs connotés par À? Ceux-ci 
peuvent se partager en deux groupes : l'un comprend 
ceux que je suis capable d'énoncer, et qui jusqu'ici 
m'apparaissent comme entrant dans la connotation de 
A ; l'autre est une synthèse d'éléments qui me sont 
absolument inconnus. Ce n'est certes pas de l'un de ces 
derniers que je peux accuser B d'être le négatif; et, 
quant aux premiers, leur présence dans la connotation 
de A ne cesse d'impliquer un cloute : l'agrégat tout rela- 
tif et tout provisoire qu'ils forment est prêt à se corri- 
ger à la première occasion. Si l'un d'eux, a, par exemple, 
est non-B, et que l'expérience nous montre quelque A 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



19 



qui soit B, nous apprendrons par là que a n'entrait pas, 
comme nous l'avions cru, dans la connotation de A : il 
doit en être rayé, et il n'y aura plus dès lors aucune 
contradiction à l'union de A et de B. On n'avait vu que 
des cygnes blancs avant la découverte de l'Australie, et 
la blancheur pouvait entrer dans la connotation du 
cygne ; eùt-on été fondé à dire : il est contradictoire 
qu'un cygne soit noir? — Il s'agit là, il est vrai, d'une 
expérience grossière s'attachant à des qualités exté- 
rieures qui peuvent facilement n'être qu'accidentelles. 
Mais, qu'il s'agisse de ces relations plus essentielles, 
seinble-t-il, que le savant dégage des systèmes com- 
plexes de la nature : quand des expériences scienti- 
fiques, en nombre suffisant, dirigées avec toutes les 
précautions désirables, et suivantleslois les plus rigou- 
reuses de la méthode inductive, ont conduit à énoncer 
un rapport général entre deux faits, il semble qu'on 
pourra déclarer contradictoire un phénomène quel- 
conque en désaccord avec la loi énoncée; ce serait 
aussi dépourvu de sens que dans le cas du cygne blanc. 

Passe encore, dira-t-on, pour les inductions aux- 
quelles conduisent les sciences expérimentales. Mais, 
quelle que soit la position qiron prenne à l'égard de 
la signification des noms, comment peut-on, à l'exemple 
de St. Mill, ne pas mettre sur le compte du contra- 
dictoire l'inconcevabilité de l'objet tout blanc et en 
même temps tout noir, du carré rond, du fait que 2 et 2 
font 5 ? 

Si nous sommes choqués dans nos habitudes intel- 
lectuelles par l'opinion de St. Mill à l'égard de ces 
exemples, c'est que nous avons précisément coutume 
d'entendre ici, au sens subjectif, les termes des propo- 
sitions. Qu'on s'éloigne de cette attitude par un effort 
suffisant de la pensée, et on trouvera les conclusions 
de Mill absolument naturelles. 



20 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



Dire d'ap objet qu'il est tout noir, c'est déclarer qu'il 
produit sur nous une certaine sensation ; dire qu'il est 
tout blanc, c'est déclarer qu'il en produit une certaine 
autre : en quoi la simultanéité de deux impressions 
pourrait-elle être contradictoire? — C'est sous le même 
l'apport, clirez-vous, que le môme objet serait en même 
temps quelque chose et autre ! — Qu'entendez-vous, je 
vous prie, par ces mots : sous le même rapport? Vou- 
lez-vous dire ici : sous le rapport de la couleur? Mais 
vous savez bien que le même objet peut, sous ce rap- 
port, produire simultanément plusieurs impressions, et, 
si nous ne le savions pas d'ailleurs, c'est que nous ne 
l'aurions jamais observé; ce serait dans l'ordre de Y in- 
croyable et non du contradictoire. 

— Halte-là! direz-vous encore. Quand je déclare 
qu'un objet ne peut être sous le même rapport quelque 
chose et autre en même temps, par ces mots : « sous un 
même rapport » j'envisage l'objet sous un tel aspect 
qu'il y correspond une impression unique et non pas, 
par conséquent, deux simultanées. — Soit! Mais alors 
cette proposition : « un objet ne peut être sous le même 
rapport quelque chose et autre », énonce purement et 
simplement la définition spéciale que vous adoptez 
pour les mots « sous le même rapport », et il reste à 
montrer, dans l'exemple qui nous occupe, que ces mots 
sont vraiment à leur place; ou, en d'autres termes, à 
montrer justement ce qui est en question, à savoir que 
le même objet ne peut être, à la fois, tout noir et tout 
blanc. — Vous insistez et déclarez que l'attribut tout 
noir implique que l'objet donne une seule impression 
de couleur, que tout blanc implique de même qu'il en 
donne une seule autre, et que deux ensemble est con- 
tradictoire avec un seul, ou, si on veut, que deux est 
négatif de un. — Prenez garde, vous oubliez quelle 
attitude nous sommes convenus de prendre à l'égard 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



21 



de la signification des termes ; il faut recourir unique- 
ment au registre des faits de conscience, et non point 
à des définitions posées par nous. Ce registre nous 
offre, entre autres, des sensations toujours isolées, en 
effet, que nous nommons tout noir, tout blanc, tout 
rouge, etc. Nous n'y trouvons pas de sensations qui se 
composent simultanément de deux de celles-là ; voilà 
le fait. De même, nous connaissons les sensatious mar- 
quées parles mots : un, deux, trois, etc., et nous ne 
les connaissons qu'isolées ; jamais l'expérience ni l'in- 
tuition ne nous ont montré quelque chose qui fût 
deux, en même temps qu'un ou trois. On peut bien 
dire que cela n'a pas de sens pour nous, en tant que 
cela ne correspond à aucune sensation connue, comme 
on dirait qu'un qualificatif d'odeur n'a aucun sens 
non plus pour un animal dépourvu d'odorat; mais on 
n'est certainement pas autorisé à reconnaître le contra- 
dictoire dans l'inconcevabilité d'une chose simplement 
inconnue . 

Qu'on lise, à propos de l'inconcevabilité du fait, que 
deux et deux puissent faire cinq, cette citation emprun- 
tée par St. Mill à un auteur dont il partage évidemment 
les vues : « Considérez le cas que voici : Il y a un monde 
où toutes les fois que deux couples de choses sont pla- 
cées à proximité l'une de l'autre ou examinées ensemble, 
une cinquième chose est immédiatement créée et ame- 
née sous l'examen de l'esprit au moment où il unit deux 
à deux. Assurément, ce n'est pas inconcevable, car 
nous pouvons en concevoir le résultat, en pensant aux 
levées des jeux de cartes. On ne peut dire davantage 
que cela dépasse le pouvoir de la Toute-Puissance. Eh 
bien ! clans ce monde assurément deux et deux feraient 
cinq, c'est-à-dire que le résultat auquel arriverait l'es- 
prit en considérant deux fois deux serait de compter 
cinq. On voit par là qu'il n'est pas inconcevable que 



22 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



deux et deux puissent faire cinq; mais, d'autre part, il 
est très aise de voir pourquoi dans ce monde nous 
sommes tout à fait certains que deux et deux l'ont 
quatre. Il n'y a probablement pas un moment dans la 
vie où nous n'en fassions l'expérience. Nous le voyons 
toutes les fois que nous comptons quatre livres, quatre 
tables, quatre chaises, quatre hommes dans la rue, ou 
les quatre coins d'un pave, et nous en sommes plus 
sûrs que nous ne le sommes de voir le soleil se lever 
demain, parce que notre expérience de ce sujet s'ap- 
plique à une quantité inconcevable de cas (1). » 

Il n'y aurait qu'une manière de réfuter ces asser- 
tions, ce serait d'invoquer les définitions de deux, de 
trois et de quatre, — défini tions posées par nous et indé- 
pendantes de toute expérience nouvelle. Mais ce serait 
alors revenir au point de vue subjectif que nous suppo- 
sons exclu pour le moment. Quatre est un attribut 
d'une collection qui se traduit par une certaine impres- 
sion sur nous, sous le rapport de la couleur. Deux et 
deux font quatre, cela exprime que, toutes les fois que 
deux couples sont associées, elles fournissent une col- 
lection de quatre objets : exactement comme le vert et 
le rouge associés dans certaines conditions donnent du 
blanc. 

S'agit-il encore du rond carré, ce fameux exemple, à 
propos duquel nous avons tous eu une tendance à trai- 
ter de folie le refus de St. Mill de voir la contradiction, 
nous n'hésitons pas à trouver son attitude parfaitement 
explicable. On objectera que,, sans prendre position à 
l'égard de la signification des termes, on veut sortir 
cependant du domaine concret pour parler de choses 
géométriques. Que l'expérience ait plus ou moins aidé 
à la formation des images géométriques, elles n'en 



(1) Philosophie de Hamilton, tr. Gazelles, p. 83 * 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 23 

existent pas moins, dira-t-on, à l'état abstrait dans notre 
intuition. Or l'image correspondant an terme rond 
exclut de la façon la plus absolue limage que désigne 
te mot carré. — C'est juste, mais de quelle nature est 
cette exclusion? Quand notre esprit se pose en face des 
choses que lui offre la conscience, il peut être utile, 
sous divers rapports, de faire certaines distinctions, 
par exemple de séparer le concret de l'abstrait, de sé- 
parer les données directes de l'observation externe et 
les images formées une fois pour toutes dans l'intui- 
tion. Mais ici, quand il* s'agit de savoir si, oui ou non, 
deux attributs sont contradictoires, que viendrait faire 
semblable distinction ? Pourquoi l'impossibilité de réa- 
liser, dans l'intuition, la simultanéité de deux images 
devrait-elle prendre une signification plus haute que 
l'impossibilité de n'importe quelle sensation inconnue? 
— Le rond et le carré reçoivent bien en géométrie des 
définitions précises, mais il nous est interdit d'y faire 
appel, sous peine de céder à la tendance subjective. 

Enfin ces divers exemples où, pour rester fidèle à 
notre attitude, nous refusons d'accepter les définitions 
arithmétiques ou géométriques, vont provoquer une 
dernière objection : Avons-nous le droit de méconnaître 
le caractère des sciences mathématiques au point d'y 
conserver le point de vue objectif? — A cela nous ré- 
pondrons dans un chapitre ultérieur. Pour le moment, 
contentons-nous de déclarer que nous ne voyons pas 
de restriction à l'impossibilité radicale de parler de 
contradiction, tant qu'on maintient au langage sa signi- 
fication objective. 

St. Mill a pourtant fait une exception, en mettant à 
part cette proposition qu'une chose soit en même temps 
A et non-A. Ce cas extrême est celui où le logicien an- 
glais consent à reconnaître le contradictoire. — Certes, 
il n'y a pas lieu de s'étonner du nom spécial de contra- 



24 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



dictoire donné à ce cas d'inconcevabilité. Il faut bien 
de toutes façons que les mots aient un sens. Celui de 
contradictoire sera précisément de s'appliquer à la 
proposition précédente, sans quoi il n'en aurait aucun. 
Mais, cette réserve faite, St. Mi 1 L ne nous semble pas 
conséquent avec l'attitude qu'il a prise, en demandant 
une explication spéciale pour cette sorte d'inconcevable. 
Qu'il lui donne un nom particulier, c'est son droit, 
mais pourquoi ne pas le faire rentrer dans la catégorie 
générale des cas où la proposition rejetée par nous 
énonce simplement une chose manquant au registre 
auquel nous empruntons nos idées ? St. Mill sont le 
besoin de déclarer, à propos de cette proposition: « un 
homme ne peut être à la fois vivant et non vivant », 
qu'elle n'a aucun sens; c'est, pour lui, ce qui la dis- 
lingue d'autres cas d'inconcevable, comme rond, 
carré, etc. Tel n'est pas notre avis, et nous craignons 
que notre logicien, qui n'avait pas reculé devant les 
conséquences les plus effrayantes de sa manière d'en- 
tendre le langage, ne se soit laissé intimider par la né- 
cessité de faire un dernier pas bien insignifiant. Si, en 
disant qu'une chose ne peut être à la fois carrée et 
ronde, nous nous fondons sur l'incompatibilité, prou- 
vée par toute notre expérience, de deux sensations par- 
ticulières, n'en est-il pas de même quand nous disons 
qu'un homme n'est pas en même temps vivant et non 
vivant ? Avons-nous donc ici particulièrement l'im- 
pression que nous articulons des mots vides de sens? 
En niant la négative, en rejetant la proposition contra- 
dictoire, n'avons-nous pas conscience de rejeter quelque 
chose de faux ? Une proposition dépourvue de sens ne 
saurait être niée par nous, ni affirmée, elle appellerait 
de notre part une simple abstention de juger. Mais, en 
présence de cette monstruosité énoncée devant nous 
qu'un homme serai t vivant et non vivan t, que sommes- 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 25 

nous tentés de crier? est-ce : Je ne comprends pas? 
N'est-ce pas bien plutôt: Cela est faux, cela n'est pas 
possible! Nous nous trouvons môme là dans le cas où 
le droit de nier nous apparaît comme le plus incontes- 
table, le plus absolu. Eh bien donc, l'exception concé- 
dée par St. Mill ne nous semble pas justifiée. L'attri- 
but A, d'une part, l'attribut non-A, d'autre part, étant 
des sensations ou synthèses de sensations qui s'offrent 
à nous clans le registre des phénomènes connus, l'im- 
possibilité de les unir sera de tous points comparable 
à l'impossibilité d'unir le tout blanc et le tout noir, ou 
tels autres attributs que notre expérience de tous les 
instants nous montre séparés. — J'entends bien l'ob- 
jection: les mots « non-A » désignent dans l'esprit de 
St. Mill non pas un attribut indépendant de l'attribut A, 
trouvant sa place quelque part ailleurs dans la liste des 
sensations passées, et pour lequel il y ait lieu de cher- 
cher dans cette liste s'il ne se trouve jamais uni à A ; 
c'est un attribut qui consiste en le négatif de A ; qui, 
A étant posé, se définit non plus par telle ou telle sensa- 
tion spéciale, mais par sa propriété d'être absent là où 
A est présent. — A la bonne heure! Mais alors l'affir- 
mation que la même chose ne peut être en même temps 
A et non-A devient une tautologie ; elle est légitime et 
d'une vérité absolue en vertu de la définition de non-A. 
Et c'est enfin là un point capable d'apporter un éclair- 
cissement très net à notre thèse. Voilà St. Mill pris 
une fois, et une seule fois, en flagrant délit d'hésiter 
devant la nécessité simplement expérimentale (celle 
qui relève en somme de Yincroyable) de rejeter un cas 
d'inconcevabilité. Il n'ose pas déclarer, quoiqu'il le 
sente confusément, qu'il s'agit d'une fausseté absolue, 
prenant un caractère particulièrement manifeste-, né- 
cessaire ; il se retranche derrière l'impossibilité de voir 
clairement ce qu'il en est, invoque l'absence de signili- 

G. MlLHAUD. 2 



20 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



cation de la proposition .inconcevable : que se passe-t-il 
en réalité, qu'est-ce qui cause ce trouble dans son es- 
prit ? N'en doutez pas, le terrible logicien s'est laissé 
inconsciemment glisser pour une fois du point de vue 
objectif, d'où il voulait obstinément interpréter le sens 
de tous les termes, vers le point de vue subjectif. 

En résumé, si l'on s'abstient de toutes définitions en 
dehors de celles qui se laissent imposer par les repré- 
sentations empruntées directement et de toutes pièces 
au champ de la conscience, il est impossible de ren- 
contrer jamais d'autres cas d'inconcevabilité que ceux 
qu'explique l'absence pure et simple, dans cette sorte 
de registre, de la chose inconcevable. 

Aussitôt qu'on sentira le besoin de placer une vérité 
sous un contrôle plus élevé, si on veut affirmer qu'il 
s'agit non pas seulement d'une vérité toujours consta- 
tée, mais encore qui ne peut pas ne pas l'être; bref! 
dès qu'on souhaitera d'appuyer son dire sur une dé- 
monstration logique, il faudra alors de toute nécessité 
changer d'attitude, et s'efforcer de créer des définitions. 
Ce ne sera peut-être pas toujours conscient: nous ve- 
nons d'en voir un exemple dans Mill. En voici un autre 
que le lecteur vérifiera quand il voudra. Dites à un 
physicien que vous avez trouvé de l'ammoniaque non 
soluble clans l'eau. Il vous affirmera que c'est faux, et 
il apportera à ses dénégations la même vivacité que 
s'il s'agissait de réfuter l'existence de l'homme vivant 
et non vivant. Quelle est la raison de cette sûreté de 
ton? Le nombre, ou mieux la nature des expériences 
faites? Il y a là évidemment de quoi produire dans l'es- 
prit du physicien une croyance ferme, comparable à la 
certitude où nous sommes de voir le soleil se lever de- 
main. Mais enfin ici même le choc de la terre et d'un 
autre corps céleste pourrait déjouer nos prévisions, et 
nous l'admettons fort bien : le physicien, lui, n'accep- 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



21 



fera aucune restriction semblable.: cataclysme, boule- 
versement général, rien ne pourrait à ses yeux donner 
naissance à de l'ammoniaque qui ne serait pas soluble 
dans l'eau. Et pourquoi au fond? Il le dira lui-même en 
répondant tranquillement : « l'ammoniaque qui ne 
serait pas soluble dans l'eau ne serait plus de l'ammo- 
niaque. » La solubilité dans l'eau entre, pour lui, dans 
la définition qu'il s'est faite de ce gaz, et c'est en vertu 
de cette définition, que, quelles que soient les condi- 
tions de l'expérience future, l'ammoniaque non soluble 
réaliserait à ses yeux le contradictoire. 

En laissant de côté ces cas trop simples où les défi- 
nitions adoptées ramènent immédiatement une propo- 
sition à une tautologie, et sa négation à une contradic- 
tion, on comprend que, d'une manière générale, les no- 
tions construites par l'esprit autorisant une analyse, un 
décompte des attributs qu'elles connotent, la question 
de savoir si l'union de deux termes implique contradic- 
tion peut tout au moins se poser, puisqu'il suffit, pour y 
répondre, de voir si le négatif de A n'est justement pas 
donné parmi les attributs de B qu'on lui associe dans 
une môme proposition. — Certes, ce dernier problème 
n'est pas en général aussi facile qu'on pourrait croire. 
Nous avons dit, en effet, que quelques précautions que 
nous prenions pour réduire la part d'inconnu, dans la 
construction de nos concepts, il nous faut bien emprun- 
ter, en fin de compte, au domaine des images et des 
sensations les éléments ultimes. Il nous faut bien, par 
conséquent, apporter des matériaux irréductibles, tels 
qu'ils s'offrent à nous, avec la nature concrète, inintel- 
ligible qu'ils ont dans leur représentation. Comment 
alors jamais affirmer, à cause cle cette part qui échappe 
à notre esprit, que tels ou tels attributs sont compa- 
tibles, que tels autres sont contradictoires? Mais, cette 
réserve faite, nous pouvons réduire assez sérieusement 



28 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



les données de l'intuition ou des sens, qui deviendront 
les éléments de nos constructions, pour pouvoir énon- 
cer des propositions, et bâtir des raisonnements, où, si 
nous n'atteignons pas le contrôle idéal de la contradic- 
tion pare, nous nous en sentons du moins fort appro- 
chés. C'est ainsi, par exemple, qu'en définissant le 
cercle « le lieu des points situés à une distance cons- 
tante d'un point fixe » et le carré « une certaine figure 
formée de quatre droites », on peut dire, pour rejeter le 
cercle carré : sur une droite, il n'existe pas plus de 
deux points situés à une distance donnée d'un point 
donné ; sur quatre droites il n'en existe pas plus de 
huit, et en dehors de ceux-là, aucun point des côtés du 
carré n'appartiendra au cercle. C'est ainsi encore que 
pour montrer la contradiction qu'il y aurait à ce que 
deux et deux fissent cinq, il suffit de dire : Deux et deux 
c'est deux et un (ou trois) plus un, c'est-à-dire quatre ; 
ce n'est donc pas cinq. Et ainsi de suite. 

L'introduction des concepts définis, à signification 
claire et précise, permet donc seule, et permet dans 
des limites plus ou moins étendues, de poursuivre, si- 
non d'atteindre d'une façon adéquate, l'inconcevable 
contradictoire- Telle est la première conclusion que 
nous avions en vue et que nous nous étions proposé de 
justifier. 

Reste enfin une question décisive à traiter: s'il nous 
arrive dans les conditions que nous avons indiquées 
de reconnaître une proposition contradictoire , de 
quelle nature et de quelle importance sera le renseigne- 
ment ainsi acquis pour notre connaissance? Nous sau- 
rons que les concepts, tels que nous les avions formés, 
sont incompatibles; qu'en essayant de les associer, 
nous tentions l'impossible ; nous faisions de la mau- 
vaise besogne. Les êtres intellectuels que notre pensée 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



-29 



a enfantés, ne peuvent, sauf correction de l'un d'eux au 
moins, se trouver simultanément en présence dans 
notre esprit. Ce que nous avons appris, c'est donc 
quelque cbose de nous-mêmes. 

— Fort bien, dira-t-on, mais ce qui est contradic- 
toire pour notre pensée ne peut être conçu comme pos- 
sible ; nous sauronsdonc que les concepts jugés incom- 
patibles ne se trouveront jamais réalisés en même 
temps dans un même objet, et, par là, une éclaircie 
apparaît aussitôt sur les choses elles-mêmes. 

Qu'entendra-t-on d'abord par cette réalisation pos- 
sible ou impossible ? 

Si le réel désignait les noumènes, les choses en soi, 
que pourraient bien être des concepts réalisés ? Le rap- 
prochement des deux mots constituerait à nos yeux la 
chose la plus incompréhensible qui pût nous être pro- 
posée. — Mais, après tout, faisons abstraction de cette 
inconcevabilité. Soient A et B deux concepts contradic- 
toires ; supposons qu'aucun attribut de A ou B ne soit 
incompatible avec cet attribut nouveau, mystérieux, 
incompréhensible, qui est l'existence nouménale ; sup- 
posons, en d'autres termes, que ce dernier attribut 
puisse s'ajouter à ceux qui, de part et d'autre, formaient 
les synthèses A et B, sans qu'il soit nécessaire de rien 
retrancher à celles-ci ; il est clair que les nouveaux con- 
cepts résultant de cette addition, A' et B', s'excluront 
comme les premiers, puisque, par hypothèse, les élé- 
ments qui ne pouvaient être associés n'ont pas eu à 
disparaître. Dès lors, pourquoi ne concéderions-nous 
pas que deux concepts contradictoires ne peuvent se 
trouver réalisés simultanément dans le même objet ? 
Mais qu'y gagnera- t-on ? Sommes-nous en droit de dire 
qu'une hypothèse particulière sur le réel devant être 
rejetée, le nombre des hypothèses possibles se trouve 
restreint, et qu'enfin, au cas où l'on n'en concevrait que 

2. 



30 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



deux, le rejet de la première entraîne, la nécessité de 
l'autre ? 

Si à cette question: Où est M.X.., vous répondez : Il 
n'estpas à Paris, si grande que soit la surface du globe, 
quand on en retranche Paris, vous donnez certainement 
une information véritable. Mais, si vous répondez : 11 
n'estpas dans la Lune, vous n'apprenez rien à celui qui 
interroge. De même, quand, après avoir reconnu la con- 
tradiction de deux concepts, on déclare qu'ils ne se 
trouvent pas associés dans les choses, on rejette l'hy- 
pothèse que le réel contiendrait ensemble deux idées 
de l'esprit ; on supprime, parmi les choses possibles, 
dans le domaine du réel, la présence simultanée de 
deux étreS qui, par leur nature, appartiennent à un 
autre, à celui de la conscience. En vérité, il est difficile 
de voir notre connaissance du réel faire un pas en avant 
par cette exclusion. Quant au cas particulier où, une 
fois niée la présence simultanée de deux concepts dans 
les choses, nous ne pourrions concevoir qu'une seule 
autre hypothèse possible, il faut avouer que cela serait 
au-dessus de tout ce que le dogmatisme le plus exalté 
pourrait nous suggérer. 

Mais, objectera-t-on, s'il est permis de dire, avec l'in- 
tention de viser le réel. A n'est pas B, n'a-t-onpas le droit 
d'en tirer cette affirmation très positive : A est non-B ? — 
Halte-là ! cette façon de parler suppose avant tout qu'il 
y a un A réalisé ; or quel sens cela peut-il avoir? Tant 
qu'on se borne à énoncer : A et B ne peuvent être simulta- 
nément réalisés, nous laissons passer cette information 
qui n'implique rien de positif. Mais, dès qu'on la trans- 
forme de façon à sous-entenclre la certitude où l'on est 
que A est caché clans le noumène, elle tombe dans un 
ordre d'idées qui échappe à notre discussion logique. 
Et il nous semble difficile de ne pas approuver, quand 
il s'agit d'appliquer aux noumènes le principe çte l alter- 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 



31 



native, ces réflexions de St. Mill : « L'univers doit, dit- 
on, être fini ou infini. Mais que signifient ces mots? 
Qu'il doit avoir une grandeur infinie ou finie. Certaine- 
ment, il faut que les grandeurs soient finies ou infinies; 
mais, avant d'affirmer la môme chose du noumène Uni- 
vers, il faut établir que FUnivers, tel qu'il est en lui- 
même, est capable de l'attribut grandeur. Comment 
savons-nous si l'attribut grandeur n'est pas exclusive- 
ment une propriété de nos sensations, des états subjec- 
tifs que les objets produisent en nous? Ou, si on l'aime 
mieux, comment savons-nous que la grandeur n'est pas, 
ainsi que Kant le croyait, une forme de nos esprits, un 
attribut dont les lois de la pensée revêtent toutes nos 
conceptions, mais auquel peut-être il n'y a rien d'ana- 
logue dans le noumène, la chose en soi ? » 

Mais le réel s'entend aussi, et plus généralement au- 
jourd'hui, dans un autre sens. Nombre de penseurs 
veulent désigner parla « les phénomènes ». Examinons 
donc la question de leur point de vue, et revenons à 
cette affirmation que deux cas contradictoires ne se 
trouvent jamais réalisés ensemble. Il nous semble im- 
possible d'y voir autre chose que la déclaration sui- 
vante : jamais il n'arrivera qu'à l'occasion d'un même 
objet, d'une même synthèse de phénomènes, la cons- 
cience trouve réunies en elle-même les représentations 
de deux concepts contradictoires. Ce que nous avons 
jugé, à priori, pour ainsi dire, se trouvera vérifié par 
l'expérience. Celle-ci ne nous obligera jamais à revenir 
sur notre première affirmation, que telles représenta- 
tions ne peuvent se trouver ensemble dans notre pen- 
sée. — Sous cette nouvelle forme, le jugement porté 
sur les concepts est-il plus instructif? Si, après avoir 
dit : mon esprit est incapable d'avoir la représentation 
d'uu cercle carré, j'ajoute: jamais dans son fonctionne- 
ment naturel, au cours de l'expérience* rien ne viendra 



32 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



la lui suggérer, on ne voit pas quelle information nou- 
velle j'apporte ainsi. En tout cas, on voit bien que l'in- 
formation ne vise que le fonctionnement de l'esprit lui- 
même. 

— Peu importe, nous dira-t-on, que les attributs 
d'une chose soient ou non des concepts de notre esprit; 
si un objet possède certain attribut déterminé, en affir- 
mant qu'il ne possède pas tel autre, jugé contradictoire 
avec le premier, j'énonce un fait nouveau, et cette énon- 
ciation peut être positive, car, dire qu'une chose n'est 
pas B, c'est affirmer qu'elle est non-B, et, dans certains 
cas, non-B est un attribut connu avec autant de préci- 
sion que B. 

Portons toute notre attention sur l'hypothèse qu'im- 
plique cette manière de voir. On admet comme certain 
ce fait qu'une chose possède un attribut déterminé. 

Nous ne pouvons ici opposer, comme à propos des 
choses en soi, l'impossibilité radicale fondée sur la dif- 
férence de nature de la chose et de l'attribut. Mais au 
nom de quelle nécessité imposera-t-on tel attribut à tel 
concept ? Certes, à propos d'un objet isolé, si j'énonce 
une propriété que je perçois directement, si, par 
exemple, je dis que ce papier est blanc, je nomme un 
attribut certain de l'objet. Dans le concept que je me 
forme de ce papier, je ne peux pas ne pas introduire 
cet attribut, et il est clair qu'en pareil cas, je peux 
exclure tout attribut contradictoire : j'affirmerai, par 
exemple, que ce papier n'est pas noir. Mais c'est qu'ici 
le principe de contradiction, qui sert de guide à la pen- 
sée, s'appuie sur une affirmation positive que fournit 
une expérience directe. Si le principe de contradiction 
appliqué au réel ne devait aboutir qu'à des informations 
de ce genre, ce ne serait pas pour si peu qu'on songe- 
rait à disputer sur son utilité. La vérité est que, lors- 
qu'on y trouve une arme efficace pour la raison, on veut 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 33 

voir, tout en ne sortant pas du monde des phénomènes, 
au delà des phénomènes observables, ou, tout au moins, 
au delà des phénomènes individuels et particuliers ; 
nous avons le droit de demander alors au nom de quelle 
vérité logiquement incontestable on nous imposera ja- 
mais un attribut déterminé pour la formation du con- 
cept ? 

lnvoquera-t-on l'expérience ? Elle n'apporte de cer- 
titude que sur les faits observés. Jamais, en dépit de la 
fréquence des observations et du contrôle le plus rigou- 
reux, elle ne saurait nous donner le droit de nier un 
fait nouveau, quel qu'il soit, au nom d'une impossibilité 
formelle, d'une impossibilité de contradiction. Sous la 
garantie de l'expérience, il n'y a de formule rigoureu- 
sement exacte pour nous que celle qui résume les 
observations passées. Lorsque dix, cent, mille obser- 
vations particulières permettent de représenter leurs 
résultats par autant de points d'une courbe, dont le géo- 
mètre pourra connaître tous les autres points, ainsi que 
toutes les propriétés, rien ne peut permettre d'affirmer 
avec une certitude absolue qu'un seul autre point de 
la courbe correspondra à une expérience nouvelle. Si 
inconcevable donc que puisse être un concept A privé 
d'un attribut B, si c'est au nom de l'expérience qu'on 
affirme la nécessité de B dans A, on confond le contra- 
dictoire avec l'incroyable. 

Mais, en dehors de l'expérience, externe ou interne, 
que reste-t-il qu'on puisse invoquer ? — Ferait-on appel 
à des lois immuables de notre esprit qui lient les phé- 
nomènes entre eux par des relations constantes, en les 
faisant tomber sous les catégories ? Il faudrait d'abord 
prouver, pour échapper à notre critique, que ces lois 
diffèrent essentiellement des lois d'induction, et cette 
démonstration est impossible. Mais admettons qu'elles 
aient de plus, comme le voulait Kant, un caractère 



34 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



apriorique, d'où leur vienne leur universalité H leur né- 
cessité ; cela prouve seulement que le fonctionnement 
de l'esprit et sa propre nature sont inséparables de cer- 
tains rapports entre les choses, et, en supprimant un 
quelconque de ces rapports, nous nous heurtons à ce 
que M. Renouvier a appelé « l'incompréhensible » pour 
le distinguer du contradictoire. Si ce n'est plus Tin- 
croyable, c'est clone maintenant l'incompréhensible 
avec lequel on voudrait nous faire confondre le contra- 
dictoire. 

Enfin, peut-on nous imposer un attribut pour un con- 
cept, au nom d'une exigence primordiale de l'entende- 
ment? Peut-on nous dire : « A est nécessairement B, 
parce que, s'il ne l'était pas, nous penserions l'inintelli- 
gible? » — Nous ne saurions l'accepter, A et B dési- 
gnent, ne l'oublions pas, des concepts construits par 
l'esprit, et par conséquent séparément intelligibles, 
dans les limites où les concepts peuvent l'être. Com- 
ment voudriez-vous alors que cette proposition « A 
n'est pas B » fût inintelligible, ne pût être pensée, — 
si, bien entendu, A et non-B ne se détruisent pas 
comme contradictoires clans les termes, ce qui revient 
à dire : si cette proposition n'équivaut pas à « A n'est 
pas A » ? Le cloute n'est pas possible sur ce point. 
N'admettez-vous pas que ce premier jugement : « A est 
B », celui que vous déclarez nécessaire, a un sens pré- 
cis pour l'entendement ? Et cela n'implique-t-il pas de 
la façon la plus évidente que les termes A et B séparé- 
ment ont un sens défini ? Comment donc prétendre que 
A seul, sans B, ne pourrait se penser ? Prenez garde 
d'être victime d'une illusion qui vous fait prendre pour 
une nécessité logique ce qui n'est qu'un postulat. Vous 
l'affirmez au nom d'une croyance qu'expliquent vos 
habitudes in tellectuelles, vosopinions, l'impossibilité ou 
même la difficulté d'imaginer, de vous représenter le 



CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 35 

contraire, — peut-être quelque acte inconscient de votre 
volonté. — mais qui, en tout cas, ne se justifie pas par 
une contradiction. Descartes aurait-il imaginé, la pre- 
mière fois qu'il prononça son fameux Cogito, ergo sum, 
qu'une contestation dût s'élever au nom de la Logique? 
Pouvait-il ne pas croire que l'existence d'un substratum 
est impliquée dans tout phénomène de pensée, au point 
que celui-ci devienne insaisissable à l'entendement, 
inintelligible, dès qu'on en sépare le substratum ? Le 
simple fait de conscience, considéré en lui-même, ne 
suffit-il pas cependant à former pour l'esprit quelque 
chose de clair? C'est une croyance inébranlable et nul- 
lement la nécessité à laquelle nous acculerait l'inintel- 
ligible, qui oblige Descartes à postuler l'existence du 
moi substantiel. 

En résumé, le seul cas où le principe de contradic- 
tion pourrait nous apporter sur les choses une infor- 
mation dépassant l'expérience, celui où il serait permis 
d'affirmer à priori que B appartient nécessairement à 
A, ne se réalisera jamais. Une pareille affirmation, si 
inconcevable que soit la négative, ne reposera jamais 
sur Je fond d'une impossibilité logique. Quiconque se 
croira le droit de la formuler ne pourra puiser ce droit 
que dans une hypothèse à priori, dans un postulat plus 
ou moins explicitement posé, dans quelque vue méta- 
physique^ dans quelque système adopté une fois pour 
toutes, et ce n'est que par une illusion qui devra pou- 
voir être dénoncée, que les conséquences de cette affir- 
mation seront présentées au nom des exigences logiques 
de la pensée, c'est-à-dire au nom du principe de contra- 
diction. 

Nous avons donc le droit de conclure : 

S'il ne s'appuie pas sur l'observation directe de 
quelque fait particulier, ou sur quelque hypothèse à 
priori, depuis celle que légitime une incluclion dépas- 



36 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



sant les faits observés, jusqu'aux vues métaphysiques 
qui posent, une fois pour toutes, certaine matière, — 
le principe de contradiction n'autorise jamais aucune 
affirmation positive portant sur les choses. Ce n'est pas 
seulement le monde des noumènes qui échappe ainsi à 
l'esprit, armé de ce seul principe, c'est encore tout phé- 
nomène inobservable ou même inobservé. 



DEUXIÈME PARTIE 

CONDITIONS DE LA CERTITUDE LOGIQUE EN MATHÉMATIQUES 



Nous avons essayé d'établir qu'en dehors du domaine 
de l'observation nous sommes incapables d'affirmer, au 
nom du principe de contradiction, une vérité dont l'ob- 
jet ne soit pas une fiction de notre esprit. Or il est un 
ordre d'idées spécial, jouant un rôle de plus en plus im- 
portant dans la science générale, où chaque proposition 
nouvelle s'énonce et se démontre, semble-t-il, unique- 
ment sous le contrôle du principe de contradiction. Les 
mathématiques, dont nous voulons parler, viennent- 
elles par leur seule existence et par leurs progrès cons- 
tants dénoncer l'erreur de notre thèse ? — Car si, d'une 
part, elles ne procèdent que par déductions logiques, 
condition nécessaire à cet idéal de rigueur qui semble 
caractériser leurs démonstrations, et si, d'autre part, 
elles pénètrent chaque jour plus avant dans tous les 
domaines de la connaissance, au point que le rêve de 
Descartes semble proche de se réaliser, et la science 
en voie de devenir une mathématique universelle, 



38 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



comment croire qu'en dehors du domaine de l'observa- 
tion et de l'expérience l'esprit soit incapable de parve- 
nir à quelque vérité d'une certitude rationnelle ? 

Nous allons tâcher de montrer que la rigueur absolue 
dont les sciences mathématiques nous donnent l'im- 
pression appartient à une mathématique idéale dont 
elles participent plus ou moins, à une sorte de logique 
pure, qui se trouve au fond de tous leurs raisonne- 
ments, tout en étant distincte de ce qui fait leur objet. 
Ce qui la caractérise avant tout, c'est de n'admettre, 
dans le champ où elle s'exerce, que des créations de 
l'esprit; de sorte que, pour s'en rapprocher, les mathé- 
matiques perdent en objectivité ce qu'elles gagnent en 
rigueur; qu'il leur faut renoncer à cette prétention 
d'accroître notre connaissance du réel par une série de 
démonstrations purement logiques, et qu'alors leur 
exemple, loin d'affaiblir notre thèse, lui apporte, au 
contraire, une éclatante confirmation. 

Nous envisagerons d'abord ce qu'on est convenu 
d'appeler les mathématiques pures, et, cherchant les 
conditions de leur rigueur logique, nous les verrons se 
présenter sous un double aspect, fictif ou concret, sui- 
vant qu'elles veulent être plus ou moins rigoureuses. 
— portant ensuite notre attention sur les applications 
des mathématiques au monde physique, nous recon- 
naîtrons qu'elles ne sortent pas, dans leurs démonstra- 
tions, du domaine de la fiction, et que, vis-à-vis du réel, 
elles ne cessent jamais de jouer le rôle d'une langue 
bien faite. 



MATHÉMATIQUES PURES 



39 



CHAPITRE PREMIER 



MATHEMATIQUES PURES 



Il faut distinguer, quand on parle de l'évidence ma- 
thématique, deux: sens différents dans lesquels on en- 
tend ces mots. Il s'agit ou bien de l'intuition immédiate 
qui nous fait apercevoir la vérité de certaines proposi- 
tions, ou bien de la rigueur des déductions qu'impli- 
quent les raisonnements mathématiques. En d'autres 
termes, on a en vue ou bien les axiomes, les vérités 
premières et fondamentales, — ou bien la longue 
chaîne de propositions qui semble s'en déduire. 

Portons d'abord notre attention sur les axiomes. Des 
propositions comme celles-ci : Deux droites ne peuvent 
envelopper une portion d'espace ; — par un point, on 
ne peut mener qu'une seule parallèle à une droite, 
— etc., entraînent dans notre esprit une conviction 
absolue. Les faits qu'elles énoncent nous apparaissent 
avec une clarté et une certitude que rien ne semble pou- 
voir dépasser. C'est en somme dans les vérités de ce 
genre que Descartes plaçait le type de l'évidence la plus 
manifeste. Et c'est aussi l'universalité et la nécessité 
que semblent comporter de pareilles propositions qui 
ont donné lieu à la fameuse question de leur origine. 
Peu nous importe ici que cette origine soit expérimen- 
tale ou apriorique, que, de Kant ou de Mill, l'un ou 
l'autre ait raison. Un seul point nous intéresse: l'évi- 
dence des axiomes vient-elle du caractère contradic- 
toire de leurs négatives ? La nécessité qu'ils comportent 
est-elle la nécessité logique, celle qui se réclame du 



40 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



principe de contradiction ? En vérité, la réponse ne sau- 
rait être douteuse : Les propositions qui servent de 
point dé départ aux démonstrations mathématiques ne 
peuvent se démontrer, sans quoi le vrai point de départ 
se trouverait dans les prémisses de leur démonstration? 
et c'est à ces prémisses qu'appartiendrait la qualité 
d'axiomes. Elles n'impliquent donc nullement une 
nécessité logique; leur conclusion ne se trouve pas 
dans l'analyse du sujet. 

Et quoi, dira-t-on avec M. Renouvier, par exemple, 
n'est-il pas contradictoire que deux lignes droites en- 
veloppent un espace? — Contradictoire avec quoi? 
Avec le fait que ce sont des lignes droites? mais en 
quoi consiste ce fait? Que, suivant l'école critique, 
mon esprit soit doué du pouvoir de se former lui- 
même à priori l'intuition de la ligne droite, ou que 
cette intuition ait eu plus ou moins besoin de l'expé- 
rience, ce qu elle nous montre de la droite est tout ce 
que nous en savons : la ligne n'existe que par cette 
image que nous en fait voir une aperception immé- 
diate, commune sans doute à tous les hommes. Si l'im- 
possibilité pour deux droites d'envelopper un espace 
n'est pas considérée comme l'énoncé pur et simple 
d'une propriété de cette image, et qu'on en cherche 
une autre d'où celle-là résulte, on pourra dire, par 
exemple, que deux droites qui ont deux points com- 
muns coïncident, ou qu'une seule droite passe par deux 
points Mais qui ne voit qu'au fond c'est la même 
idée, traduite sous une autre forme? Certes on peut 
établir une différence entre ces propositions, absolu- 
ment comme on pourrait distinguer ces deux affirma- 
tions : une pointe de l'aiguille aimantée est dirigée 
vers le nord. — l'autre est dirigée vers le sud. Mais 
qui songerait à dire que l'une des deux propositions, 
prise en elle-même, implique une nécessité logique, 



MATHÉMATIQUES PURES 



il 



sous prétexte que l'autre pourrait s'énoncer la pre- 
mière? 

Enfin, si on disait : deux droites ne peuvent envelop- 
per un espace, parce que cela est contradictoire avec 
la représentation que nous possédons tous de la ligne 
droite, on ne ferait pas autre chose, sous apparence de 
logique, qu'énoncer simplement de cette représentation 
une propriété révélée par une intuition rapide. Le prin- 
cipe de contradiction n'interviendrait pas plus en réa- 
lité que si je croyais devoir déclarer ce papier blanc, 
parce que toute autre couleur serait contradictoire avec 
la sensation qu'il me donne. 

Ainsi, sans prendre parti pour aucune théorie sur 
l'origine des axiomes, on peut affirmer, nous semble- 
t— il, que l'évidence des propositions premières en 
mathématiques, si claire et si immédiate qu'elle pa- 
raisse, n'est pas celle qui relève du principe de con- 
tradiction. Elle est de même nature que celle qui ac- 
compagne l'observation, avec cette différence qu'ici 
fintuition se substitue à l'expérience pour nous donner 
ces propositions, dès que nous sommes d'âge à les com- 
prendre. 

Ces considérations suffiraient à la rigueur pour qu'il 
fût permis de contester aux sciences mathématiques 
leur caractère de nécessité exclusivement logique. Mais 
le nombre des axiomes qu'elles énoncent à leur début 
semble très petit, et, si vraiment les mathématiques, 
jusque dans leurs développements extrêmes, n'étaient 
plus qu'une chaîne de déductions se rattachant à ces 
premiers anneaux, nous serions obligés de reconnaître 
que l'usage du principe de contradiction est pour l'es- 
prit d'une fécondité merveilleuse. Essayons de mon- 
trer quelles restrictions il faut apporter à cette manière 
de voir. 

Il y a peu d'expressions dont on use plus dans l'en- 



42 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



seignement des mathématiques que de celle de rigueur. 
Cette démonstration, dira-t-on, manque de rigueur, 
celle-ci est plus rigoureuse, etc. Les mathématiciens 
seraient peut-être embarrassés pour définir les condi- 
tions d'une démonstration rigoureuse; mais du moins 
ils peuvent nous renseigner par la répugnance ou la 
satisfaction très variable que leur cause tel ou tel rai- 
sonnement. 

Supposons qu'il s'agisse de cette proposition toute 
simple : Si une droite rencontre un cercle en un point, 
elle le rencontre généralement en un second. — Es- 
sayez de raisonner ainsi : puisque la droite rencontre 
le cercle en un point, elle pénètre en ce point dans l'in- 
térieur du cercle ; puis, comme elle s'en va à l'infini, il 
faut bien qu'elle sorte du cercle, et qu'ainsi elle le ren- 
contre une seconde fois. Soyez assuré que votre 
démonstration sera mal accueillie. Ce n'est pas mathé- 
matique, vous dira-t-on ; c'est de l'observation pure et 
simple, du domaine des sciences expérimentales ; de la 
géométrie, jamais! — Vous protesterez; les éléments 
sur lesquels vous raisonnez ne sont nullement emprun- 
tés, tels du moins que vous vous les figurez, au monde 
sensible. Ce rond parfait et au contour infiniment 
mince, que nous montre une intuition fort claire, n'est" 
il pas un être idéal, appartenant au monde des formes 
géométriques? — Sans doute; mais, si claire, si immé- 
diate que soit l'intuition, si vous vous contentez d'énon- 
cer les vérités qu'elle vous donne directement, c'est une 
constatation que vous faites et non plus une démons- 
tration. — Vous insistez : une démonstration pourrait- 
elle se passer de reposer finalement sur la constatation 
pure et simple de quelque vérité ? Et n'y a-t il pas 
avantage à diminuer, à supprimer, si c'est possible, la 
distance qui nous sépare de cette vérité initiale? — 
Certainement oui, mais le malentendu ne tient qu'au 



MATHÉMATIQUES PURES 



43 



choix des vérités initiales. La méthode mathématique, 
vous dira-t-on, exige qu'on en réduise le nombre le 
plus possible et que toute proposition cesse d'être con- 
sidérée comme première si on peut la déduire logique- 
ment d'autres propositions déjà admises. Or le géo- 
mètre a déjà accepté comme données irréductibles le 
point et la droite avec leurs propriétés intuitives. Si cela 
peut lui suffire pour en tirer toute la géométrie, il ne 
doit plus rien admettre . 

Pour le théorème dont il s'agit, voici la démonstra- 
tion que nous donnera un professeur de géométrie : 
abaissons du centre 0 la 
perpendiculaire OH sur la 
droite qui, par hypothèse, 
passe déjà par le point A de 
la circonférence, et portons 
sur cette droite à partir de 
H une longueur HA' égale 
à HA, et de sens contraire. 
OA' sera égal à OA à cause 
de l'égalité des triangles 
OHA, OHA' ; A' est donc un 
second point de la droite situé sur la circonférence. 

Voilà donc une démonstration parfaite? S'il disait 
toute sa pensée, noire géomètre répondrait peut-être 
non. N'importe, c'est plus rigoureux, vous affirmera-t-il. 
Mais vous, de vous récrier cette fois : qu'est devenu 
mon cercle? Je vois de tout dans cette démonstration 
géométrique, excepté le cercle dont il est question, ce 
rond, qui sépare le plan en deux régions, l'une inté- 
rieure, l'autre extérieure. 

— Précisément, toutes ces vues concrètes ont dis- 
paru, et se trouvent remplacées par la propriété qui 
sert de définition à la circonférence, à savoir que ses 
points sont à une distance constante du centre. La no- 





44 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



lion de la distance de deux points, si elle n'est pas pu- 
rement intelligible, et affecte encore un minimum de 
forme saisissable par la seule intuition, réalise du moins 
une simplification notable. 

— Simplification est un admirable euphémisme! 
Dites plutôt substitution, escamotage, car enfin il faut 
s'entendre. Cet être géométrique qui, si abstrait, si 
idéal qu'on se le figure, reste une forme et participe de 
la qualité, ne peut ainsi se remplacer par une simple 
propriété de quantité. Les points de cercle, les points 
situés à une distance constante d'un point fixe forment 
une donnée que je ne peux juger adéquate à celle du 
cercle. J'ai beau les multiplier, les resserrer, je ne fais 
nullement apparaître le cercle, à moins que, ayant beau- 
coup supprimé, on n'ajoute plus encore, et qu'on ne 
prétende créer le cercle de toutes pièces en douant le 
point de cercle d'un mouvement continu... 

— Mouvement, continuité! Notre géomètre s'en gar- 
derait bien ! Non ; il ne connaît et ne veut connaître 
que le point de cercle situé sur toute direction issue du 
centre. S'il prononce le mot cercle, c'est une façon de 
parler qui lui sert à désigner ces points, ou, comme il 
dit, le lieu de ces points. Si enfin vous avez besoin de 
vous figurer sous ce mot une forme déterminée, tant pis 
pour vous : ses raisonnements ont la prétention de s'en 
passer. Ils gagnent ainsi en rigueur ce qu'ils perdent en 
représentation sensible. 

— Vous voilà celte fois édifié : la forme, la qualité, 
qui faisaient du cercle un être de l'intuition, semblent 
bien avoir disparu. Mais alors n'était-il pas juste de dire 
que le cercle avait disparu lui aussi? Cette propriété 
qui le remplace, par définition, dans les déductions du 
géomètre, et par laquelle celui-ci s'éloigne du domaine 
de l imagination et des sens pour pénétrer plus avant 
dans celui de l'intelligible pur, savons-nous seulement 



MATHÉMATIQUES PURES 



dans quel rapport elle est avec l'objet dont elle tient la 
place ? Ne sera-ce pas l'ombre, l'illusion, au lieu de la 
chose elle-même ? 

Du moins, est-ce que, pour avoir substitué ainsi des 
fantômes aux êtres de l'intuition, le mathématicien va 
se déclarer complètement satisfait ? — Ne le croyez pas. 
Il a laissé subsister dans son raisonnement les notions 
de point, de droite, de distance, qui sont instinctive- 
ment pour lui une gêne clans sa poursuite de la rigueur 
idéale. N'y a-t-il pas là encore un ensemble d'éléments 
donnés clans l'intuition qui échappent à toute analyse, 
à une claire compréhension, qui l'empêchent par con- 
séquent de se rendre un compte précis de la légitimité 
de la suite de ses déductions ? Au fond, nous insistons 
ici plus qu'il n'insisterait lui-même, et ce n'était d'ail- 
leurs pas une consultation de logique que nous lui 
demandions, c'est à son sens de la rigueur, à son flair 
de mathématicien que nous nous adressions. Le point 
essentiel à noter pour nous, c'est, sans en trop cher- 
cher la raison, qu'il se refuse à parler de rigueur abso- 
lue tant qu'il manie encore le peu d'éléments sensibles 
qu'il n'a pu éliminer. Et, si vous le pressez enfin, il ne 
sera pas à court de vous proposer mieux. — Soit : 
x 1 -+- y~ — R 2 ,dira- t-il, l'équation du cercle ; y — mx + /?, 
celle de la droite. En remplaçant y par mx-\- p clans la 
première, nous formerons l'équation x 1 + [mx + p) 2 
= Pt 2 dont les racines sont les abscisses des points de ren- 
contre des deux lignes. Par hypothèse, l'une des racines 
est réelle, donc l'autre l'est aussi ; et il y a un second 
point de rencontre, dès qu'il y en a un premier. 

Cette fois, nous voilà bien loin de tout ce qui formait 
l'objet même de la question. Ce n'est pas seulement le 
cercle qui disparaît, c'est toute figure, toute droite, 
tout point. Ces équations, clirez-vous, ne servent à la 
démonstration que parce qu'elles correspondent aux 

3. 



46 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



éléments géométriques, droite et cercle, que parce 
qu'elles traduisent, en un certain langage, les proprié- 
tés de ces lignes ; x, y, R, ont dû représenter des lon- 
gueurs pour que les équations fussent justifiées. — Sans 
doute ces transformations algébriques ont été suggé- 
rées par des problèmes concrets, et, pour les interpré- 
ter concrètement, il faut rappeler leur origine, mais 
qu'importe? En elles-mêmes, isolées de cette interpré- 
tation, elles satisfont largement le besoin de rigueur 
du mathématicien, parce qu'il a le sentiment de pou- 
voir établir tout ce qui touche à ces transformations 
par identités successives. Son instinct l'a amené à sé- 
parer, aussi nettement que possible, la matière à propos 
de laquelle quelque chose est à démontrer, et une sorte 
de cadre, une forme faite de démonstration pure, où peut 
mieux s'exercer le contrôle du principe de contradic- 
tion. La matière, il l'oublie, et, si vous vouliez la lui rap- 
peler absolument, en observant qu'il parle lui-même 
encore de cercle, de droite et de point, il vous répon- 
drait ceci: Libre à vous de voir sous mes expressions 
des images concrètes; pour moi, un point, c'est un 
groupe de deux valeurs attribuées l'une à la lettre x, 
l'autre à la lettre y ; un cercle, c'est l'ensemble des 
couples de deux valeurs qui substituées à x et y, satis- 
font à telle équation ; une droite, de même. Les points 
cle rencontre de mes lignes, ce sont les couples de va- 
leurs de x et de y convenant simultanément à mes 
équations ; autrement dit, ce sont les solutions d'un sys- 
tème d'équations simultanées. — A cette condition en- 
fin, notre géomètre sent-il qu'il atteint la rigueur abso- 
lue dont il a soif ? Il faut reconnaître que le plus souvent, 
s'il n'y réfléchit pas quelque peu, il se déclarera idéale- 
ment satisfait. Et, à la réflexion, s'il aperçoit à la base 
même de son analyse algébrique quelques notions irré- 
ductibles s'imposant synthétiquement, ce sera là si peu 



MATHÉMATIQUES PURES 



de chose près des données concrètes qui donnent lieu 
d'utiliser cette analyse, que sa quiétude n'en sera pas 
fortement troublée. Du moins, il aura le sentiment 
d'avoir atteint les limites extrêmes delà rigueur qui lui 
est accessible, quand il aura épuisé, autant que cela est 
possible, la matière objective, concrète, synthétique, 
des idées qu'il manie dans son langage. 

Que conclure maintenant de cette consultation? A 
nous fier à l'instinct du mathématicien, la condition de 
la rigueur est nettement saisissable. Il faut que l'intui- 
tion s'efface le plus possible, que les éléments sensibles 
disparaissent, ainsi que toutes les notions qui s'en dé- 
gagent pour nous directement. L'esprit sent que ces 
données lui échappent, qu'il ne saurait les faire entrer 
dans un raisonnement où chaque proposition doit être 
sinon identique, du moins analytique ; et, acceptant de 
ces données un minimum qu'il ne pourrait rejeter sans 
renoncer à toute science, il s'efforce de diminuer sans 
cesse le rôle de l'intuition, de voir le moins possible, 
afin de mieux démontrer. 

Mais comment pourra progresser une science dont 
telle est la prétention ? Fondée sur certaines données, 
quelles qu'elles soient, elle aura vite, semble-t-il, épuisé 
les conséquences des axiomes qui les expriment, et 
bientôt parcouru sa carrière, si elle se refuse désormais 
à ne rien emprunter au monde de l'expérience ou de 
l'intuition ; tel n'est pas le cas des sciences mathéma- 
tiques, qui se continuent sans trêve aucours des siècles 
avec une vigueur et une fécondité toujours croissantes. 
Qu'est-ce donc qui entretient et prolonge sans cesse 
leur existence? — A en juger par la seule lecture d'un 
traité de mathématiques, ce sont visiblement les « défi- 
nitions ». Avec chaque définition s'introduit dans la 
suite des déductions un élément nouveau, et il s'y in- 
troduit sans la rompre. Cet élément est, en effet, un 



48 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



concept construit à l'aide d'éléments anciens, déjà admis 
dans les raisonnements antérieurs. 11 se trouve cons- 
titué de par la volonté et le choix arbitraire de notre 
esprit, comme une somme de propriétés déterminées 
devant seulement remplir cette double condition de 
ne point se contredire, et de se résoudre chacune 
en notions que pouvait exprimer jusque-là le langage 
mathématique. Ces propriétés s'énoncent en propo- 
sitions évidemment analytiques, puisque le sujet 
y représente, par définition, la synthèse d'éléments 
qu'énumère la série des attributs. Rien n'empêche la 
notion ainsi créée d'entrer dansunesuite de déductions; 
elle est toute prête à prendre place dans l'engrenage 
des raisonnements mathématiques. 

Certes, quand l'esprit se plaît à créer lui-même les 
êtres sur lesquels son activité va s'exercer, il ne se livre 
pas à un simple jeu. Ce n'est pas la fantaisie pure qui 
lui sert de guide. L'intuition ou l'expérience ont sug- 
géré quelque objet d'étude ; ou bien des vérités sont 
apparues d'elles-mêmes, dont un instinct plus ou moins 
exercé fait pressentir l'importance et la fécondité. Au 
début, ces notions peuvent s'introduire avec leur na- 
ture complexe, et les chercheurs n'attendent pas, pour 
s'y appliquer, qu'un travail d'épuration vienne garantir 
la continuité parfaite de la chaîne de déductions lo- 
giques. Peu leur importe que leurs raisonnements pré- 
sentent un mélange de propositions analytiques et de 
postulats. C'est généralement plus tard que, par besoin 
de rigueur, les postulats deviennent des vérités de défi- 
nition. 

S'agit-il de cette notion : « la longueur d'une circonfé- 
rence », l'intuition du cercle la fournit d'abord dans sa 
complexité, et avec son, caractère concret ; un postulat 
permet de la faire entrer dans le domaine des re- 
cherches géométriques, à savoir: la longueur du cercle 



MATHÉMATIQUES PURES 



49 



est la limite des périmètres des polygones inscrits dont 
tous les côtés tendent simultanément vers zéro. Enfin, 
les recherches relatives à cet élément acquièrent leur 
forme définitive, et se présentent comme la suite toute 
naturelle des recherches, antérieures, sans solution de 
continuité dans l'enchaînement logique des proposi- 
tions, du jour où cette longueur de la circonférence est 
par définition ce que le postulat primitif demandait 
qu'elle fût. 

C'est évidemment simplifier beaucoup les choses que 
de réduire ainsi la formation d'un concept à deux mo- 
ments déterminés. Les phases du travail d'élaboration, 
s'exerçant sur des données concrètes pour en tirer des 
notions intelligibles, peuvent être infiniment variées. 
Qu'il nous suffise ici de dénoncer ce travail, dont le be- 
soin de rigueur impose la nécessité. 

Du reste, au lieu d'époques successives auxquelles 
correspondent des interprétations différentes de la 
même notion, on peut parler de points de vue distincts, 
d'où l'envisagent les penseurs, suivant l'idée qu'ils se 
font des sciences mathématiques. Pour les uns, la 
forme ne se sépare pas de la matière, la science théo- 
rique de la science concrète ou appliquée, ils n'en con- 
naissent qu'une, s'appliquant directement aux objets 
de l'intuition ou du monde physique. Derrière les défi- 
nitions, ils ne cessent pas de voir les axiomes ou postu- 
lats auxquels elles ont essayé de se substituer. Les 
autres, au contraire, laissant de côté l'origine des idées, 
s'attachent à isoler, à séparer des éléments plus ou 
moins concrets qui lui servent de gangue, une science 
pure de l'esprit, et c'est elle seule qu'ils veulent voir 
dans les sciences mathématiques. 

Les premiers contesteront à celles-ci leur certitude 
logique, et, trouvant dans une suite innombrable de 
postulats l'aliment qui sans cesse vient y exciter Facli- 



50 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



vitô de l'esprit, ils ne verront que dans la nature de 
leur objet une raison de les distinguer des autres 
sciences. — Les seconds croiront à un domaine intel- 
lectuel tout spécial, d'où la synthèse est exclue, où 
toutes lesvérités serésolvent en jugements analytiques, 
et résultent naturellement et rigoureusement les unes 
des autres. 

A ces deux points de vue distincts se rattachent la 
plupart des discussions que peut susciter la méthode 
des sciences mathématiques. 

S'agit-il de justifier l'application de ces sciences au 
monde physique ? D'un côté, la question ne se pose 
même pas, car les objets mathématiques sont emprun- 
tés à la réalité sensible, soit que l'esprit les en tire par 
son procédé habituel d'abstraction, soit qu'une intui- 
tion directe les lui donne, et, dans le second cas, peu 
importe la nature de cette intuition. Pour St. Mill qui ne 
voit pas dans cette intuition un domaine spécial de re- 
présentations abstraites, et pour Kant, aux yeux de qui 
elle nous fait connaître à priori les rapports d'espace 
et de temps, conditions formelles de toutes représenta- 
tions sensibles, les conclusions d'une science qui lui 
emprunte sa matière s'appliqueront d'elles mômes au 
monde de l'expérience. L'accord s'expliquera d'un côté 
par la nature expérimentale des mathématiques, de 
l'autre, par l'impossibilité où se trouve l'expérience 
d'échapper aux lois de l'intuition à priori. 

Au contraire, ceux qui veulent suivre la mathéma- 
tique pure dans sa tendance à rejeter toute donnée de 
Tintuition ou des sens, ceux qui, après avoir accepté un 
minimum irréductible d'éléments concrets, s'efforcent 
de construire ensuite sur celte base un échafaudage 
purement logique où n'entrent que des êtres intellec- 
tuels, pour ainsi dire, que des fantômes d'idées, ceux- 
là se trouvent en présence d'un difficile problème, dès 



MATHÉMATIQUES PURES 



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qu'il faut justifier la moindre application physique. Ils 
ont sacrifié au souci de la rigueur celui du caractère 
objectif de leurs études. Et n'est-ce pas à eux que s'ap- 
plique cette remarque de Mill : « Je crois que le carac- 
tère de nécessité assigné aux vérités des mathéma- 
tiques, et môme la certitude particulière qu'on leur 
attribue sont une illusion qui ne se maintient qu'en 
supposant que ces vérités se rapportent à des objets et 
à des propriétés d'objets purement imaginaires. » Il n'y 
aurait illusion., à proprement parler, que du moment où 
cette mathématique croirait être l'expression même de 
la réalité. Par son caractère éminemment subjectif, elle 
ne peut franchir les bornes de la théorie pure : A moins 
qu'on ne demande d'admettre en un postulat unique, si 
l'on veut, mais d'une généralité^étrangement audacieuse, 
une sorte d'harmonie préétablie entre les choses et les 
concepts de l'entendement, entre le réel et l'intelli- 
gible. 

Est-il question du caractère analytique ou synthétique 
des jugements mathématiques, la différence des deux 
points de vue entraîne ici des réponses contraires, les 
uns n'acceptant que comme postulat ce que les autres 
énoncent par définition. 

Enfin, de cette dernière question il faut rapprocher 
cette autre, si souvent débattue, des rôles comparés de 
l'axiome et de la définition dans les démonstrations ma- 
thématiques. Les uns ont prétendu que les axiomes n'y 
interviennent pas et que les définitions sont leurs élé- 
ments essentiels; les autres ont au contraire voulu 
faire reposer les démonstrations sur les axiomes. Ainsi 
qu'on l'a fait remarquer (1), une première confusion 
empêchait qu'on se mît d'accord : les axiomes géné- 
raux ou communs, principes de pensée, dans tous les 



(1) Cf. Liard, Des Définitions géométriques, et Rabier, Logique. 



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LA CERTITUDE LOGIQUE 



domaines où s'exerce l'intelligence, n'étaient pas suffi- 
samment distingués des postulats spéciaux à chacune 
des sciences mathématiques. La question ne pouvait et 
ne devait être intéressante que pour ces axiomes d'un 
genre tout particulier, chargés d'énoncer, en des pro- 
positions aussi simples que possible, les données natu- 
relles qui leur servent de base. Mais en le faisant remar- 
quer, et en essayant de dissiper ainsi tout malentendu, 
on n'a guère tenu compte d'ordinaire que des axiomes 
fondamentaux, de ceux qui se trouvent énoncés au dé- 
but môme de chacune des sciences mathématiques. On 
semble alors avoir définitivement tranché le débat par 
cette conclusion : Au début, les démonstrations se fon- 
dent sur les axiomes, puis indéfiniment sur les défini- 
tions. Tout naturellement sur son chemin on se heurte 
a une contestation de la part de ceux qui, refusant d'en- 
visager la mathématique idéale, prétendent ne con- 
naître que les sciences mathématiques appliquées. 
Ceux-ci démasquent les postulats cachés derrière les 
définitions des premiers, et concluent que le rôle pré- 
pondérant appartient aux axiomes. 

Ces deux points de vue distincts, d'où résulte fatale- 
ment une divergence si nettement marquée d'opinion, 
sont-ils l'un et l'autre légitimes ? Aucun des deux ne 
nous semble avoir le droit d'exclure l'autre d'une façon 
absolue. 

Fixons d'abord les différences. De part et d'autre on 
accepte que la méthode des sciences mathématiques 
soit démonstrative, mais on ne s'accorde pas sur la fa- 
çon dont s'introduisent dans l'engrenage des déductions 
les éléments nouveaux qui servent de point de départ 
aux développements successifs. D'un côté, c'est par une 
définition arbitrairement énoncée qu'on les crée, pour 
ainsi dire, en donnant en même temps la série de leurs 
propriétés; de l'autre, on énonce la même série de pro- 



MATHÉMATIQUES PURES 



53 



priétéSi sous forme d'axiomes synthétiques. D'un côté, 
par conséquent, on se donne l'illusion d'une seule et 
longue chaîne logique partant d'un premier anneau, 
posé une fois pour toutes; de l'autre, on se condamne à 
briser la chaîne et à la partager en une série illimitée 
de morceaux. Il nous semble possible de défendre cha- 
cune des deux manières de voir contre les partisans 
trop exclusifs de l'autre. 

Stuart Mill prétend d'un côté qu'il est impossible 
l'échapper à la nécessité des postulats : les définitions 
n'y parviendraient qu'en apparence. Prenant pour 
exemple celle du cercle que donne FAiclide, « cette défi- 
nition, dit-il, analysée, offre deux propositions, dont 
l'une est relative par hypothèse à un point de fait, et 
l'autre est une définition légitime : il peut exister une 
figure dont tous les points de la ligne qui la termine 
sont à une égale distance d'un point intérieur ; toute 
figure ayant celte propriété est appelée un cercle. » 

S'il devait être question, dans les démonstrations du 
géomètre, d'un cercle matériel emprunté au monde phy- 
sique, St. Mill aurait cent fois raison : l'existence du 
cercle ne pourrait s'énoncer que sous la forme d'un pos- 
tulat tellement évident à tous les yeux, que nous croyons 
inutile d'insister. Mais, d'abord, est-il besoin de dire 
que le géomètre rejettera absolument ce rond en bois 
ou en métal, par exemple, et refusera d'y voir l'être 
abstrait qu'il veut étudier ? Que ce soit ou non l'expé- 
rience qui ait fourni, clans de nombreuses circonstances, 
l'occasion de percevoir des corps dont la forme ait sug- 
géré l'image parfaite et infiniment mince de l'intuition, 
peu importe : c'est celle-ci d'abord qu'on doit substituer 
au cercle matériel, si on veut essayer de chasser les 
postulats. Mais aurait-on le droit de déclarer qu'on y 
aura réussi, en nommant cette figure « celle dont tous 
les points sont également éloignés du centre ? » N'est-il 



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LA CERTITUDE LOGIQUE 



pas évident au contraire que le postulat subsiste pour 
ne plus viser, il est vrai, qu'une chose de l'intuition ? 
St. Mill n'affirme pas que son cercle a une existence 
matérielle ; il semble prévoir même le cas, sans le dis- 
cuter, où le cercle serait fourni par l'intuition. « Si les 
postulats, dit-il. sont admis par l'intuition ou par preuve, 
c'est une matière à disputer, mais de toutes manières 
ils sont les prémisses des théorèmes. » Réduit à être 
une forme que notre imagination nous représente sans 
peine, si cet être d'intuition s'offre à nous comme un 
objet d'étude et que nous énoncions, comme proposition 
fondamentale, que tous les points sont également dis- 
tants d'un point intérieur, nous formulons un postulat. 
C'est là une propriété qu'on pourra prétendre trouver 
dans l'examen analytique de l'image en question, tout 
comme on découvre, par une étude attentive, les pro- 
priétés chimiques d'un corps ; mais on ne saurait 
affirmer sans postulat que cette image coïncide avec 
une chose que caractériserait la propriété énoncée. 
Ainsi, il ne suffit pas, pour supprimer la nécessité 
d'un postulat, de substituer l'intuition à l'expérience 
externe. 

Un pas de plus atténue la difficulté, c'est celui que 
Ton fait en définissant le cercle, non plus le rond abs- 
trait dont la forme se dégage pour nous des ronds ma- 
tériels qu'offre l'expérience, mais la ligne engendrée par 
une extrémité d'une droite de longueur constante, dont 
l'autre extrémité reste fixe, et qui tourne d'un mouve- 
ment uniforme autour de ce dernier point. Cette fois le 
postulat est-il supprimé ? Au fond, pour supprimer le 
postulat particulier du cercle, cette définition en im- 
plique d'autres, très généraux, il est vrai, mais terrible- 
ment complexes, celui-ci, par exemple : « Le mouve- 
ment d'un point peut engendrer une ligne continue. » 
Sans parler de la vérité d'une telle proposition, ne voit- 



MATHÉMATIQUES PURES 



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on pas que sa signification elle-même est des plus diffi- 
ciles à entendre ? 

Les notions de ligne et de continuité ne sont pas nou- 
velles, dira-t-on, quand on aborde l'étude de la circon- 
férence. N'a-t-on pas avant tout introduit la droite en 
géométrie, et la notion de la droite ne contient-elle pas 
déjà celle de ligne et celle de continuité ? Cela est in- 
discutable, mais il n'est pas moins certain que la défi- 
nition du cercle par génération continue revient alors 
à la suivan te : le cercle sera la figure obtenue par le dé- 
placement d'un point assujetti à rester à une distance 
fixe dïin point déterminé, dans des conditions telles 
que quelque chose soit engendré, ayant en commun 
avec la droite cette propriété d'être une ligne continue. 
Il est difficile de ne pas avouer qu'on admet alors la 
possibilité d'une génération semblable, et Stuart Mill 
ne demanderait peut-être rien de plus. 

Enfin, on pourrait dire : le postulat qui énoncera la 
possibilité de la génération des figures par le mouve- 
ment d'un point n'a qu'à s'ajouter, dès le début, à la 
liste des premiers axiomes, et nous en voilà débarrassés 
désormais. C'est une erreur : ce postulat se contentera 
d'affirmer, sans rien expliquer ; nous ne saurons ja- 
mais comprendre en quoi consiste cette création de 
figures, et, chaque fois que nous voudrons la supposer 
réalisée dans un cas particulier, nous devrons admettre 
que les conditions spéciales auxquelles est assujetti le 
point mobile, ne rendent pas impossible l'existence si- 
multanée des autres conditions mystérieuses delà géné- 
ration continue. Il n'y aura certainement aucune diffi- 
culté à le faire, mais l'essentiel est de savoir qu'on 
admettra quelque chose. 

Non : pour se permettre de supprimer le postulat, il 
faut faire un pas de plus et renoncer à créer une ligne 
continue, de sorte que la question de son existence, 



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LA CERTITUDE LOGIQUE 



même intuitive, n'ait plus à se poser. Que la circonfé- 
rence, cessant de correspondre à l'image intuitive, de 
vienne pour le géomètre un ensemble de points, un 
système de points, un lieu de points, assujettis à rester 
à une distance déterminée d'un point fixe, — les mots 
ensemble, système, lieu, impliquant une seule idée, à 
savoir que les points dont il s'agit ont une propriété 
commune, — que pourra t-il y aVoir d'impossible, non 
plus dans l'existence du cercle, mais dans la construc- 
tion d'un point quelconque du cercle? Sur une direction 
quelconque issue d'un point fixerje marque un second 
point à une distance donnée du premier; j'en obtiens 
ainsi autant que j'en veux. Ce sont là des construc- 
tions dont la possibilité résulte des notions déjà posées 
de droite, de point, de distance. C'est une vue nouvelle, 
une synthèse spéciale d'éléments déjà acquis, et non 
pas un être nouveau, que l'esprit se plaît à introduire 
à la suite des premières propositions sur la droite et le 
point. Il semble que quelque chose soit survenu seule- 
ment dans la forme et non dans la matière de la géo- 
métrie théorique. Un postulat nouveau paraît donc inu- 
tile. La possibilité d'existence pour la notion qui vient 
de se former, c'est uniquement l'absence de contradic- 
tion. Or les éléments que l'esprit groupe à son gré sont 
déjà posés en petit nombre, soit par des axiomes, soit 
par des définitions, l'absence de contradiction ne 
semble pas devoir s'exprimer en un postulat spécial. 

Certes, à rigoureusement parler, quelque hésitation 
pourrait provenir de la nature inconnue, incomplète- 
ment analysée, des premiers éléments que l'on groupe 
à son gré. Un postulat n'est-il pas nécessaire pour 
assurer la compatibilité du groupement nouveau des 
éléments avec la part d'inconnu qu'implique leur no- 
tion? Sans doute, mais le géomètre rationaliste peut 
diminuer encore la difficulté en déclarant que la notion 



MATHÉMATIQUES PURES 



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utilisée se réduit pour lui, par définition, à l'ensemble 
des propriétés par lesquelles il a eu l'occasion de la 
faire intervenir : Ce ne sera pas une chose dont il aura 
entrevu certaines propriétés, et qui en comprend d'au- 
tres à découvrir, c'est un être qui n'a de sens que par 
les propriétés énoncées à son occasion. Que par un 
point donné quelconque passent autant de droites qu'on 
voudra,, que sur une direction, à partir d'un point, 
il existe toujours un second point situé à une distance 
donnée du premier, ce seront des faits compris clans la 
définition des points, droites et distances. — Enfin, il 
est certain que le besoin du postulat se ferait moins 
sentir si, à l'exemple -du géomètre, dont nous avons 
exposé les idées au début de ce chapitre, nous laissions 
définitivement de côté toute donnée géométrique pour 
nous transporter dans l'analyse pure. 

Mais, sans sortir de la géométrie proprement dite, il 
nous semble que, réduit au lieu des points situés à une 
distance constante d'un point donné, — les idées de 
mouvement, de continuité et de ligne étant exclues, — 
le cercle se trouve suffisamment dépouillé des qualités 
concrètes de son image intuitive, pour que Stuart Mill 
lui-même ne postulât plus la réalité de l'existence, et 
pour qu'il n'eût cette fois qu'un seul reproche à adres- 
ser à la définition, à savoir, non plus de dissimuler un 
postulat, mais de supprimer toute chose réelle au sens 
où il entendrait ce mot. Et sur ce point il n'y aurait 
qu'à lui donner raison. Mais la question n'est pas de 
savoir si la science théorique ainsi constituée, avec un 
minimum si ténu de données concrètes, eût pu lui 
plaire ou s'il l'eût traitée de chimère, il s'agit seulement 
d'établir contre lui la possibilité de cette science. 

De leur côté, les philosophes conceptualistes sont 
trop exclusifs quand ils contestent le droit de dénoncer 
les postulats que cachent souvent les définitions. 



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LA CERTITUDE LOGIQUE 



Souvent en effet une définition nouvelle est cons- 
truite avec le souci d'affubler l'être Actif des propriétés 
caractéristiques de l'objet concret (1), et, de la sorte, 
rien n'est changé dans la marche de la science, parce 
qu'au postulat qui énonçait ces propriétés on aura sub- 
stitué la définition qui les pose. Cela est si vrai, que, 
lorsqu'il s'agit des axiomes primitifs, on n'a aucune 
peine à le reconnaître : « La géométrie débute, dit 
M. Liard, par l'intuition des figures et de leurs pro- 
priétés élémentaires ; l'aperceplion de ces propriétés, 
voilà la source des raisonnements géométriques. Mais 
nous pouvons exprimer ces propriétés par des axiomes 
ou des définitions, sans introduire aucune différence 
dans la nature de nos démonstrations... Il semblerait 
alors possible de ramener tous les axiomes à des défi- 
nitions, puisque axiome et définition énoncent des pro- j 
priétés intuitivement connues. On peut le faire; mais 
ce serait compliquer outre mesure et sans profit réel le ' 
système des définitions. » 

Ainsi, à propos des axiomes du début on n'ajouterait 
pas une importance extrême à l'échange de ces deux 
choses, postulat et définition. Pourquoi donc se borner I 
à un groupe spécial d'axiomes? Quand on appellera I 
longueur de la circonférence la limite des périmètres I 
des polygones inscrits, et qu'ainsi on dissimulera ce 
postulat intuitif : la longueur de la circonférence est la î 
limite des polygones inscrits, en quoi cette façon de 
procéder s'écartera-t-elle de celle qu'on admet au début I 
de la géométrie? Puisqulci on parlait de définition f* 

(1) Il n'en est pas toujours ainsi : l'activité de l'esprit peut créer des J 
notions où il n'y a lieu de chercher l'expression directe d'aucun objet 
concret réel ou même possible. Mais alors il faut indiquer un certain , 
mode de correspondance entre cette notion et les choses, et, pour cela, | 
énoncer des propositions qui pourront être envisagées comme de véri-L 
tables postulats. 



MATHÉMATIQUES PURES 



59 



substituée à l'axiome, pourquoi là ne voudra-t-on plus 
voir que la définition ? 

Bien plus, si cette sorte d'équivalence des axiomes 
et des définitions peut manquer de clarté, ce n'est qu'à 
propos des premiers axiomes. Une définition s'exprime 
eu effet, nous l'avons dit, à l'aide d'éléments antérieu- 
rement posés. Au cours du développement des 
sciences mathématiques, rien n'est plus facile à com- 
prendre, mais au début même de ces sciences, il faut 
bien apporter en des propositions synthétiques des 
éléments premiers qu'on ne définit pas. Sans doute, on 
peut essayer de donner, comme définition de ces 
éléments, l'ensemble des propositions premières, en 
convenant de supprimer le sens intuitif des mots, et 
d'énoncer des définitions verbales. Elles seraient en 
tout cas d'un genre nouveau, servant à définir simul- 
tanément le sujet et l'attribut. Il vaut mieux avouer 
que la substitution des définitions aux postulats ne doit 
pas aller jusqu'aux points de départ eux-mêmes des 
sciences mathématiques. Mais du moins si cette diffi- 
culté n'empêche pas d'en entrevoir la possibilité dès le 
début, à plus forte raison doit-on l'admettre dans la 
suite des développements. 

Ainsi, à nos yeux, les deux points de vue qu'on pour- 
rait appeler conceptualiste et réaliste sont l'un et 
l'autre justifiés dans certaines limites. Les philosophes 
qui ont préféré l'un, dans leur manière d'envisager les 
mathématiques, ont eu le tort d'exclure l'autre. N'ont-ils 
pas d'ailleurs chacun sa raison d'être? Nous rejetons 
volontiers la répartition adoptée d'ordinaire des 
sciences mathématiques en sciences pures et appli- 
quées : cette distinction se retrouvera, non plus entre 
deux catégories de sciences, mais entre les deux côtés, 
les deux faces de toute science mathématique. D'une 
part, elle a pour matière une suite d'objets empruntés 



60 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



à l'intuition ou à l'expérience; c'est une brandie de la 
science générale dont le but est la connaissance d'un 
domaine particulier. De l'autre, c'est une méthode spé- 
ciale, une voie déterminée par laquelle l'esprit procède 
dans la recherche de la vérité. Par son premier carac- 
tère, elle reste ouverte sans cesse à des données nou- 
velles qui viennent faciliter ses progrès et accroître sa 
fécondité. Par son second, elle soumet ces données, 
avant de les accueillir, à une élaboration spéciale, elle 
exige de pouvoir les construire elle-même à l'aide de 
ses propres ressources, de pouvoir les définir. 

Et maintenant, si l'on cite les mathématiques comme 
l'exemple d'un prodigieux accroissement de connais- 
sances sortant en apparence les unes des autres, sous 
la garantie du principe de contradiction, nous sommes 
en droit de répondre : De quelles connaissances s'agit- 
il? S'il est question des vérités énoncées dans cetti 
mathématique rationnelle idéale qui plane au-dessus 
des sciences mathématiques proprement dites, 
essayant de les recouvrir le plus complètement possi- 
ble de sa trame ininterrompue, il est certain que plus 
elle y réussit, plus aussi s'accentue le caractère fictif j 
des notions qu'elle étudie. Tout se démontre, soit : rien 
alors, en dehors des conceptions de l'esprit, ne se ! 
trouve établi. Que s'il s'agit des progrès réalisés clans j 
la connaissance d'une matière, fournie, suivant les uns I 
par une intuition directe, tirée, suivant les autres, des 
données des sens par une abstraction de l'esprit, ilj 
ne faut plus alors parler de certitude logique ni des 
cette rigueur qui prétend ne relever que du principe) 
de contradiction. 



MATHÉMATIQUES PURES 



CHAPITRE II 

MATHÉMATIQUES PURES (suite) 



Pour laisser les idées se suivre plus naturellement, 
nous avons donné peu de place aux exemples, nous 
réservant d'éclaircir encore et d'achever de justifier 
nos assertions, en montrant quelles transformations 
l'analyse pure a dû faire subir à ses notions fondamen- 
tales, pour s'identifier de plus en plus avec la mathéma- 
tique idéale que nous avons définie. 

A. — Le nombre arithmétique. 

1. — L'idée primitive du nombre est évidemment 
celle que fournit une collection d'objets distincts. Le 
nombre est tout d'abord concret, il ne se sépare pas de 
la collection à laquelle on le fait correspondre. 

Un premier pas fait clans le sens de l'abstraction, ou 
dans Féloignement de la qualité sensible, conduit au 
concept du nombre abstrait, collection d'unités indé- 
terminées. L'esprit se forme une suite illimitée de 
nombres, dont chacun est défini par la propriété d'avoir 
une unité de plus que le précédent. Mais, en procédant 
ainsi, il n'abandonne pas complètement le domaine con- 
cret, et, s'il laisse indéterminé le genre des unités, il ne 
se représente pas moins chaque nombre comme une 
collection nouvelle qu'il obtient en introduisant un 
objet de plus dans la précédente. Cette image de la col- 
lection concrète va lui fournir les premiers principes fon- 
damentaux, ceux qui aboutissent à la formation des 

G. MlLHAUD. 4 



62 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



nombres par addition. Il ressort clairement, en effet, 
de la représentation concrète, que l'ordre dans lequel 
on envisagera successivement les objets de la collec- 
tion, pour les compter, n'influera pas sur leur nombre; 
que, si par la réunion de deux collections d'objets on 
veut en faire une troisième, il suffit d'ajouter à l une 
successivement tous les objets de l'autre ; que dans 
cette opération on peut, sans rien changer au résul- 
tat, échanger les rôles des deux collections ; que si l'une 
des deux est déjà formée par la réunion de plusieurs 
collections, il revient au môme de réunir avec l'autre 
chacune des collections partielles, ou successivement 
chacun des objets qui l#s composent. Ces postulats sont 
les fondements de l'addition arithmétique ; de la sous- 
traction, par conséquent, qui se définit comme opéra- 
tion inverse de la précédente ; de la multiplication, qui 
se réduit à une série d'additions ; enfin de la division, 
qui théoriquement se ramène à une série de soustrac- 
tions. Par eux se trouvent donc introduites les pre- 
mières relations simples entre les nombres, les pre- 
mières égalités exprimant que la même collection 
peut se former de plusieurs manières, et enfin sur ces 
égalités repose toute la théorie des nombres en- 
tiers. 

2. — La comparaison des grandeurs de même espèce 
conduit bientôt au concept de nombre fractionnaire : 
c'est toujours au fond le nombre entier, mais les objets 
de la collection deviennent des parties aliquotes de 
l'unité primitive. Celle-ci est supposée divisible en un 
nombre quelconque de parties égales. 

En posant le concept nouveau comme une générali- 
sation du nombre, en appelant désormais de ce nom le 
symbole numérique destiné à indiquer comment une 
quantité quelconque est composée à l'aide de la quantité 
unité, l'esprit réalise un progrès dans la voie qui 



MATHÉMATIQUES PURES 



63 



l'éloigné du sensible; mais il n'en est pas encore aussi 
loin qu'on pourrait croire. Toute la théorie et le calcul 
des fractions reposent en effet sur un nouvel appel à la 
représentation des quantités concrètes. Qu'entendra- 
t-on quand on dira que | est égal à 2? Il est clair que 

si a est égal à a\ et b à b', l'égalité ? = y se trouvera 
suffisamment justifiée sans commentaire. Mais est-il 
nécessaire que ces conditions soient remplies pour 
qu'il puisse être question d'égalité ? Non, assurément, 
pourvu que l'égalité porte sur les quantités concrètes 
que mesurent les deux fractions. Il faut donc se repré- 
senter deux grandeurs de même espèce, emprunter, par 
exemple, à l'intuition géométrique l'image de deux lon- 
gueurs, formées l'uneen portantàla suite^foisla b me par- 
tie de l'unité, l'autre en portant a' fois la b /me partie de 
cette même unité : l'égalité | = |! signifiera simplement 
que les deux longueurs obtenues peuvent coïncider. 
L'inégalité ~ > |, s'entendra d'une façon analogue. Le 
théorème fondamental, suivant lequel la fraction n'est 
pas altérée quand on multiplie ou divise les deux termes 
par un même nombre, s'établit alors, presque sans 
démonstration, par un appel direct à la représentation 
concrète : Si le numérateur a est multiplié par n, il faut 
prendre n fois plus de parties pour former la longueur 
correspondant à la première fraction, cette longueur 
devient clone n fois plus grande, etc. L'addition des 
fractions n'a pas d'autre sens que l'addition des quanti- 
tés concrètes qu'elles mesurent. Le produit | X fi ' re P ré " 
sentera la longueur que mesurerait^ |, si la longueur | 
était prise pour unité, d'où la règle qui sert à trouver 
ce produit. Bref, c'est de la représentation sensible que 
l'esprit tirera tous les éléments nouveaux nécessaires à 
l'étude des fractions, 
3. — Toute grandeur n'est pas nécessairement la 



64 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



somme d'an certain nombre de parties aliquotès de la 
grandeur unité, si petites qu'on les choisisse. Ainsi la 
diagonale d'un carré ne contient un nombre exact d<> 
fois aucune partie aliquote du côté, elle est incommen- 
surable avec lui, comme le savaient déjà les pythagori- 
ciens. Si donc le côté est pris pour unité de longueur, 
il ne correspondra, pour la diagonale, aucun nombre 
entier ou fractionnaire qui en soit la mesure. Pour 
qu'on puisse encore parler du nombre qui mesurera la 
diagonale, il faut que ce concept subisse une trans- 
formation nouvelle; il faut que le nombre devienne 
définitivement un symbole que, par définition, on 
fera correspondre à tout état de grandeur, quel qu'il 
soit. 

Que sera la valeur d'un nombre incommensurable, 
comparée, soit aux nombres entiers ou fractionnaires, 
soit à d'autres nombres incommensurables? Quel sera 
le sens des opérations effectuées sur des nombres, dont 
l'un au moins est incommensurable ? La représenta tion 
des quantités concrètes donnera la réponse à ces ques- 
tions. 

Il est clair d'abord que, si a est un nombre incommen- 
surable, c'est-à-dire le symbole arithmétique d'une 
longueur A incommensurable avec l'unité, et si b est 
le symbole répondant à la longueur B, les relations 
a=b, a>b y a<b signifieront simplement que A etB 
ont entra elles les mêmes relations de grandeur ; a + b 
représentera la somme des longueurs A et B, a — b leur 
différence, somme et différence qui conservent d'ail- 
leurs une signification précise indépendante de la na- 
ture des nombres a et b. 

Pour aller plus loin, il faut définir les valeurs appro- 
chées du nombre incommensurable. Supposons la lon- 
gueur unité divisée, en n parties égales : soit / la lon- 
gueur commune à ces parties. Si nous portons / sur la 



M A T ï I É M A T 10 CES PURES 



longueur incommensurable AB, à partir de A, autant cle 
fois que ce sera possible, B se trouvera compris entre le 

dernier point de di- 
vision ainsi obtenu, 

I : ^r"g 7 et * 8 P°* n î ^' situé 

au delà de B, sur la 
ligne AB, et tel que CC soit égal à Si, par exemple, 
on a AC = /X P- AC = / X (P + l)i ie nombre in- 
commensurable a, qu'on fera correspondre à AB, sera 
compris entre ceux qui mesurent AC et AC, c'est-à- 
dire entre ^ et puisque cela signifie simplement 

que AB est compris entre AC et AC. Il n'y a plus qu'à 
faire croître n indéfiniment, ou faire tendre / vers 
zéro : on fera naître une double série de longueurs 
telles que AC et AC, de plus en plus approchées de 
AB, et admettant AB pour leur limite commune, 
puisque CC tend vers zéro. On pourra dire, en 
d'autres termes, sans exprimer autre chose, que les 
deux séries de valeurs telles que ; - et 1 admet- 
tent pour limite commune le nombre incommensu- 
rable a. Ce sont là les valeurs approchées du nombre 
incommensurable qui entreront à sa place dans les cal- 
culs pratiques. 

Tout cela est clair, mais jusqu'ici nous apercevons 
une chose indispensable pour qu'il soit permis de 
parler de nombre incommensurable, c'est la connais- 
sance préalable d'une quantité incommensurable con- 
crète à laquelle il corresponde, et qui lui serve, pour 
ainsi dire, de substratum. Cette condition, nécessaire 
à l'existence d'un nombre incommensurable, peut dis- 
paraître. 

La quantité AB posée à priori est, avons-nous dit, la 
limite commune des deux séries de longueurs telles 
que AC et AC, ou encore a est la limite commune des deux 
séries de valeurs approchées telles que^et^t- 1 . Les 

4. 



66 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



nombres de la première série sont moindres qiùm 
nombre quelconque de la deuxième, et la différence 
entre deux valeurs de môme dénominateur ( ; - et £-±-h 
tend vers zéro, puisqu'on fait croître n indéfiniment. 
Eh bien! réciproquement, supposons que, dans une 
question quelconque, nous soyons conduits à deux 
suites illimitées de nombres présentant ces deux mêmes 
propriétés : Si nous imaginons une espèce de quantité 
telle que à chacun de ces nombres puisse correspondre 
un état de la quantité, nous aurons deux suites d'états 
q Li q z ...., <7 n ..., et Q,, Q*..., Q n ..., dont les premiers 
restent inférieurs aux seconds, la différence deve- 
nant d'ailleurs aussi petite qu'on veut. Faisant un der- 
nier appel à l'intuition sensible, à cette vue de conti- 
nuité qu'implique pour rimagination au moins la repré- 
sentation d'une durée ou d'une étendue, et qui nous 
montre, entre ces deux suites d'états de la quantité, un 
état nouveau, ne se confondant avec aucun des autres, 
supérieur aux premiers, inférieur aux seconds, nous 
admettrons par un postulat spécial qu'un pareil état 
existe. Il peut être commensurable, ce dont on s'assu- 
rerait en constatant qu'un certain nombre entier ou 
fractionnaire est la limite commune des deux suites de 
valeurs. En général, il sera incommensurable, et nous 
nous trouvons ainsi avoir fait naître la quantité incom- 
mensurable nécessaire à la signification du nombre, sans 
que cette quantité ait été posée à priori. 

Si le postulat d'où elle a pu sortir est un appel à la 
représentation sensible, il ne réalise pas moins, par 
son caractère de généralité, un progrès immense dans 
la voie qui nous en éloigne. Désormais, un nombre in- 
commensurable sera simplement défini par deux suites 
abstraites S et S' répondant aux conditions indiquées; 
il sera déterminé par les valeurs approchées dont il est 
la limite. Rien n'est plus facile alors que de définir le 



MATHÉMATIQUES PURES 



07 



produit ou le quotient de deux nombres incommensu- 
rables ; que de définir yj N~ quand N n'est pas un 
carré, etc. 

4. — Mais le postulat lui-même peut disparaître en- 
fin. Il suffit de renoncer à voir la quantité incommen- 
surable sous le symbole qui y correspond, et de conve- 
nir que les deux suites de nombres, S et S f , quand elles 
ne sont pas séparées par un entier ou une fraction, 
définissent un nombre incommensurable. Par définition 
il sera plus grand qu'un nombre de la première suite, 
et plus petit qu'un nombre de la deuxième. Par défini- 
tion les opérations sur les nombres incommensurables 
seront telles que rien ne soit changé à leur calcul, et 
que tout se passe, au point de vue des résultats, 
comme si, au lieu de s'en tenir à un symbolisme pur, 
on avait conservé, dans rétablissement des principes, 
l'intuition des quantités concrètes. Mais qu'importe? 
Tépuration se fait, la notion du nombre incommensu- 
rable se dépouille de toute aperception sensible ; les 
postulats disparaissent, et, à part les données intui- 
tives qu ont exigées les notions premières d'entiers et 
de fractions, le nombre se pose comme une création de 
l'esprit (1). Au fond, sans doute, les postulats se 
cachent pour se montrer de nouveau à l'occasion d'une 
application concrète. Ils ne sont que déplacés : si pour 
une grandeur quelconque on veut parler d'un état cor- 
respondant à quelque symbole incommensurable, il 
faudra admettre que, par sa nature, elle est susceptible 
d'une pareille détermination; ce qui revient encore à 
dire que, d'une part, elle peut prendre toute valeur 
marquée par un nombre fractionnaire, et que, d'autre 
part, entre deux suites d'états mesurés par des séries 

(1) On trouve aussi dans les traités d'analyse d'autres méthodes de 
définition des incommensurables ; au fond, elles ne diffèrent pas essen- 
tiellement de celle que nous indiquons ici. 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



de nombres telles que S et S', il existe un état intermé- 
diaire de la grandeur. Du moins la rigueur logique des 
constructions de l'esprit se trouve de plus en plus net- 
tement séparée des conditions objectives auxquelles 
elles pourront être utilisées. 

5. — Revenant maintenant en arrière, envisageons à 
leur tour les données premières relatives à la fraction 
et au nombre entier, et voyons si elles ne se réduisent 
pas aussi entre les mains des analystes modernes. Pour 
la fraction, la question est des plus simples. Rien 
n'empêche de laisser de côté le partage de l'unité on 
parties égales, et la formation de diverses quantités par 
la répétition de parties aliquotes de cette unité. Il suf- 
fira d'appeler fraction le symbole ~ où a et b sont des 
nombres entiers quelconques ; d'appeler égales deux 
fractions formées des mêmes nombres quand on a divisé 
de part et d'autre les deux termes par tous leurs fac- 
teurs communs. De cette définition résulte, en particu- 
lier, ce point fondamental que la valeur d'une fraction 
n'est pas altérée si on multiplie ou qu'on divise les deux 
termes par un même nombre : d'où la simplification 
des fractions et leur réduction au même dénomina- 
teur; d'où enfin les règles de calcul, dont le but se défi- 
nira par le résultat lui-même.. Ainsi/ajouter ou multi- 
plier deux fractions, ce sera former de nouvelles frac- 
tions à l'aide de telle série de calculs, etc. 

Reste seulement alors, pour servir de fondement à 
l'analyse, une certaine quantité de données intuitives, 
celle qu'implique la notion du nombre entier. Il serait 
illusoire de vouloir la supprimer complètement, du 
moins il est possible de la réduire encore à un mini- 
mum indispensable. Signalons, par exemple, la suite 
d'idées qui permet à Helmholtz de résoudre ce problème 
de reconstruction logique. Elle consiste à supprimer la 
notion concrète de la collection, avec tous les postulats 



MATHÉMATIQUES PURES 



69 



qu'elle implique, et fonde le concept du nombre sur 
Tidée de succession clans le temps, que suffit à nous 
donner le souvenir d'un étatpsychique passé se mêlant 
dans la conscience à une représentation actuelle. Celte 
idée de succession nous permet de construire une série 
de symboles dont chacun sera défini par la propriété 
devenir après le précédent. Il reste alors (1) à définir, 

(1) Portons notre attention sur un terme de cette série (pour plus de 
commodité nous représenterons les différents termes par des signes ab- 
solument quelconques), puis sur chacun de ceux qui suivent dans 
l'ordre où ils se présentent, et désignons-les respectivement par un, 
deux, trois. . Cela s'appellera compter^ Les notations du système 
décimal, par exemple, nous permettront d'aller aussi longtemps que 
nous voudrons, sans jamais répéter d'ailleurs la même désignation, ou. 
suivant l'expression que nous conviendrons d'adopter, le même nombre-, 
Nous appellerons supérieurs à un nombre tous ceux qui- le suivent 
dans notre série ; inférieurs, tous ceux qui !e précèdent. Deux nombres 
correspondant à des éléments distincts de la série sont dits inégaux : 
l'un d'eux est nécessairement supérieur à l'autre. Deux nombres cor- 
respondant au même élément et qui, pour une raison quelconque, au- 
ront reçu deux désignations distinctes, seront dits égaux. 11 résulte 
évidemment de cette définition que deux nombres égaux à un troisième 
sont égaux entre eux. 

Addition, a étant un nombre quelconque, nous représenterons par 
a -f- 1 le nombre suivant, de sorte que, si b était la première désigna- 
tion de ce dernier nombre, quand on avait compté un, deux, trois, etc., 
à partir d'un élément déterminé de la série, on a, par définition, 
l'égalité = [a + 1). Plus généralement, nous représenterons par 
a + b) le nombre de la série qu'on serait amené à désigner par b, si 
on avait compté un pour le nombre (a -j- 1), deux pour le nombre 
| a + 1) + 1], etc. Cette définition a pour conséquence immédiate 
l'égalité 

(1) {a + b) + 1 = a + (b + 1) 

le nombre marqué par le premier membre est, en effet, celui qui suit 
[a -f- b) ; on y est donc conduit en comptant un, deux, trois, etc., à 
partir de {a + 1) jusqu'à (6 +1), de sorte que, par définition, ce 
nombre peut être encore désigné par [a + (b -f- 1)]. Ainsi de nos pre- 
mières définitions résulteront les égalités 

{a '+ i) + 1 == a -f (i + 1\ au a ,-f- 2 . 
(a + 2) + 1 ' = a -f 3 

L'addition se trouve de la sorte complètement définie. On voit immé- 
diatement que cette opération marquée par le symbole (a + b) a un 
résultat unique, chacun des termes de ce processus étant lui-même 



70 LA CERTITUDE LOGIQUE 

à l'aide de ces symboles, des opérations telles que les 
postulats fondamentaux, fournis par Faperception des 
collections concrètes, en résultent logiquement, et que 

bien déterminé, de sorte que la défi n i tion même de l'addition implique 
cet axiome : deux nombres égaux, ajoutés à un même troisième, donnent 
des résultats égaux. 

Trois caractères essentiels la distinguent encore de l'addition ordi- 
naire : 1° la loi d'associalivité [(a + 6) + c — a + (b -f- c)] n'est éta- 
blie que pour le cas c = l ; 2° l'addition n'est pas donnée comme inver- 
sible : dans l'opération marquée par (a -f b) les rôles de a et de b ne 
sont pas les mômes. Si nous disons que (a + b) est le résultat obtenu 
en ajoutant b à a, il n'est pas évident que le résultat obtenu en ajou- 
tant a à b lui est égal ; 3° il n'est nullement évident que, si l'un des 
deux termes a ou b est changé, le résultat (a + b) est également 
changé. 

Il reste donc a montrer qu'on peut déduire logiquement des premières 
délinitions ces trois propriétés de l'addition ordinaire. 

1. — Loi d'associativité. (a -\- b) -f- c — a + (b + c) (2). L'égalité 
a lieu pour c = 1, ainsi que nous l'avons remarqué. Il suffit alors, 
pour en établir la généralité, de montrer que, si elle est vraie pour un 
nombre c, elle est encore vraie pour c -f- 1. Or, en vertu de (1), nous 
avons 

[(a + b) + c] + 1 = (a + 6). + {c + i); 

D'autre part l'égalité (2) étant supposée vraie pour le nombre c, nous 
avons 

(a + b) -f- c = a + [b + c), 

de sorte que nous pouvons écrire 

\(a + b) + c] + 1 = [a + {b + c)] + i 
= a + [(b + c) + 1]= a + [b + (c + 1)], 

et finalement, 

[a + b) + {g + 1} == a + [b + (c + 1)] 
C. Q. F. D. 

2 — Loi de réversibilité, a-f- b — b -f a. 

Considérons d'abord le cas particulier où b est 1. L'égalité à démon- 
trer est alors 
(3) a + 1 = 1 + a 

Remarquons que, pour a = : 1, elle est vérifiée d'elle-même, les deux 
nombres désignant le résultat de la même opération (1 — f- 1 ) . Il suffit 
donc de montrer que, si elle est exacte pour un nombre a, elle l'est en- 
core pour a + 1. Or, en vertu de (l),nous avons 

{t + a)'+-l = l + (a + 1). 
Admettons que l'égalité (3) soit exacte pour a, nous pouvons écrire 
(1 + a)+ ! = (« + 1) + i, 



MATHÉMATIQUES PURES 



71 



rien ne soit changé à la théorie de l'addition des 
nombres. Sur cette hase unique et si simple, la notion 
de l'antériorité d'nn fait par rapport à un autre, se 
trouvera donc construite rationnellement toute l'arith- 

et, par suite, 

l + (a+ !) = («+ 

L'égalité (3) est donc établie pour tout nombre mis à la place de a. 

Passons maintenant au cas général: b est quelconque. Gomme l'éga- 
lité à établir est déjà démontrée pour le cas où b est 1, il suffit de 
faire voir que, si elle est exacte pour un nombre 6, ede l'est pour b -f 1. 
Or, en vertu de (I), nous avons 

(a + 6)+l=«+(Hl) 
Supposant notre égalité exacte pour h, et nous appuyant sur (3), nous 
pouvons écrire 

(a + b) + 1 == (b + a) + 1 = 1 + (b + a) 
= (1 + b) + a (6 + 1) •+ a 

Donc 

5 + (Hi)^(è + t) + a. 

C Q. F. D. 

3. — Si l'on remplace l'un des deux nombres par un autre qui lui 
soit inégal, le résultat de l'addition sera aussi inégal au premier. 

Observons d'abord que nos définitions premières ont pour consé- 
quence immédiate que, si deux nombres sont inégaux, et, par suite, si 
l'un est supérieur à l'autre, il existe un nombre déterminé qui, ajouté 
au second, fournit le premier, et, réciproquement, ce fait suffit à établir 
que les deux nombres sont inégaux. 

Dès lors, soit f un nombre supérieur à a, et désignons par b le 
nombre tel que l'on ait 

a -f b = f 

Nous avons : 

p + f =z c + (a + b) = (c + a) + b 

c -f- a est donc nécessairement différent de c + f. Deux nombres iné- 
gaux ajoutés au même nombre donnent des résultats inégaux. 
En outre, puisque 

*+/=/+ c 
et c -f- a = a + c, 

nous avons : 

f + c = (a + c) + b 

f -\-c et a + c sont inégaux : le même nombre ajouté à des nombres 
inégaux fournit des résultats inégaux. 

L'addition, telle que nous l'avons définie, se confond donc par toutes 
ses conséquences avec celle qui avait son origine dans l'intuition di- 
recte des collections d'objets. 



11 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



naétique, et, comme on va le voir, l'analyse tout en- 
tière. 

13. — La quantité algébrique. 

L'algèbre n'est tout d'abord qu'une arithmétique où 
les nombres sont remplacés par des lettres, et où une 
formule, c'est-à-dire un tableau d'opérations à effec- 
tuer, se substitue au résultat numérique particulier, 
dans la solution d'un problème. Un symbole nouveau 
et propre à l'algèbre prend naissance avec les quantités 
négatives. Quelle en est l'origine ? C'est sans doute la 
considération des grandeurs susceptibles de varier 
dans deux sens opposés, comme une distance ou une 
durée. Si l'inconnue d'un problème doit se calculer par 
la formule x — a — 6, et que b soit plus grand que a, 
le problème n'admet pas de solution. Mais, dans le cas 
particulier où il s'agit d'une de ces quantités qu'on peut 
mesurer, à partir d'un état déterminé, dans deux direc- 
tions contraires, on reconnaît que la solution x = b — a 
répond à un problème ne différant du premier que par 
le sens où on fait, varier l'inconnue. Plus généralement, 
l'idée paraît naturelle de compter certaines grandeurs 
positivement dans un sens, négativement dans l'autre, 
partout où elles interviennent, et on n'a pas de peine à 
vérifier, dans une foule de questions, que cette conven- 
tion généralise et simplifie, en permettant de résoudre 
par une formule unique un certain nombre de pro- 
blèmes distincts. Mais en laissant subsister le lien qui 
unit les nombres négatifs aux grandeurs elles-mèines, 
on peut difficilement éclaircir avec rigueur tous les 
points qui s'y rattachent. On sait tous les fantômes et 
toutes les obscurités que les meilleurs esprits se sont 
déclarés impuissants à dissiper; c'est précisément que 
pour eux la quantité négative était l'être nécessaire, le 
substratum indispensable que désigne le symbole. 



MATHÉMATIQUES PURES 



73 



L'interprétation des calculs devient alors fort difficile. 
Comment justifier seulement la règle de multiplication 
des nombres négatifs ? Gomment même en donner le 
sens? Aujourd'hui tous les nuages ont disparu grâce à 
la séparation nettement tranchée entre un pur symbo- 
lisme d'une part, et, de l'autre, les interprétations pos- 
sibles ou impossibles suivant les conditions concrètes. 
En peu de mots, voici comment se définissent mainte- 
nanties nombres négatifs ainsi que les opérations effec- 
tuées sur eux. 

En choisissant d'abord les valeurs numériques attri- 
buées aux lettres de telle façon que tous les calculs 
indiqués par les signes algébriques puissent se faire 
normalement, on appelle somme, différence, produit 
de deux polynômes (1), un nouveau polynôme dont la 
valeur numérique soit la somme, ou la différence, ou 
le produit des premiers, après la substitution des 
nombres aux lettres. Les règles qui fourniront le nou- 
veau polynôme se déduisent de là tout naturellement. 
On supprime alors la restriction qui limitait le choix 
des valeurs attribuées aux lettres. Le sens des calculs 
et des raisonnements que Ton a faits disparaît en môme 
temps, une définition va y suppléer : on appellera 
somme, différence, produit de deux polynômes, le po- 
lynôme nouveau formé à l'aide des premiers, en vertu 
des règles précédemment obtenues. L'application mé- 
canique de ces règles, abstraction faite de toute signi- 
fication des lettres ou des calculs, servira toute seule à 
déterminer ici le but et le résultat de chaque opération. 
Les nombres négatifs, purs symboles de la forme — N 
(où N est nombre quelconque, entier, fractionnaire ou 
incommensurable), seront enfin posés comme des po- 
lynômes réduits à un terme, de sorte que les opéra- 

(1) Suites de termes de la forme A -)- B — C où A, B,C sont 

des produits de facteurs. 



G. Milhaud. 



7-4 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



tions principales effectuées sur eux se trouvent com- 
plètement définies. Les égalités portant sur des 
expressions où entrent de pareils nombres se trouvent 
définies par les régies de calcul elles-mêmes qui, effec- 
tuées dans chacun des deux membres, donnent de part 
et d'autre môme résultat. L'inégalité a besoin d'une 
définition nouvelle : on dira que l'on a A>B, A etB 
désignant des nombres quelconques .(positifs ou néga- 
tifs), si la différence A — B est un nombre positif; au 
contraire, on dira que l'on a A<B, si A — Best un 
nombre négatif. Gomme conséquence, il est clair que : 
1° tout nombre positif est plus grand qu'un nombre 
négatif quelconque; 2° de deux nombres négatifs, le 
plus grand est celui qui est formé avec le plus petit 
nombre arithmétique. 

Ainsi se trouve construite une série illimitée de 
signes partant de zéro et se succédant en ordre inverse 
des nombres arithmétiques; avec la série de ces nom- 
bres, elle forme une échelle double de symboles allant 
dans deux sens contraires de zéro à l'infini : celle pré- 
cisément sans doute à laquelle conduisait l'intuition 
d'une distance variable, comptée à partir d'un point 
fixe dans deux directions opposées. Mais l'analyse a 
voulu la reconstruire pour elle, sauf à laisser le soin, 
à quiconque en fera une application concrète, de justi- 
fier la légitimité de son application. 

Après le nombre négatif, c'est le nombre imaginaire 
qui s'introduit tout naturellement, à l'occasion de ce 
problème simple : Trouver un nombre dont le carré 
soit A. Si A est positif, l'arithmétique donne un 
nombre a entier, fractionnaire ou incommensurable, 
répondant à la question, et l'algèbre se contente d'y 
joindre — a, dont le carré est le môme. Mais, si A est 
négatif, il n'existe plus aucun nombre défini jusqu'ici, 
positif ou négatif, qui, multiplié par lui-môme, repro- 



MATHÉMATIQUES PURES 



75 



duise À; autant vaut dire que le problème posé ne peut 
se résoudre avec les symboles jusqu'ici introduits : qu'à 
cela ne tienne, on créera un symbole nouveau dont le 
carré soit un nombre négatif, et les nombres imagi- 
naires naîtront ainsi. Cette fois, il n'est pas facile aux 
esprits les plus acharnés à chercher l'être, la chose 
sous le signe, de trouver un substratum concret repré- 
senté par le symbole imaginaire, comme une collection 
d'objets l'était par le nombre entier : et de là viennent 
toutes les difficultés qui ont paru surgir par l'introduc- 
tion des imaginaires. Mais, au fond, l'analyse n'a pas 
brusquement ici changé sa méthode, comme on pour- 
rait le croire. Elle ne se trouve vraiment chez elle qu'au 
milieu de purs symboles, dont elle fixe elle-même les 
relations. Le nombre imaginaire arrive pour elle aussi 
naturellement que le nombre entier, celui-ci est un 
signe comme celui-là ; ni l'un ni l'autre ne prennent 
de signification permettant un usage pratique que lors- 
que l'esprit vient placer sous le langage symbolique 
une interprétation appropriée à l'usage qu'il en veut 
faire. 

On trouve encore chez quelques mathématiciens 
l'idée qu'il n'y a pas de convention arbitraire dans cette 
propriété de — 1, d'être le carré de \j — ï. Nous crai- 
gnons qu'ils ne soient victimes d'une erreur due à la 
persistance du signe \J . Sans convention, \J- — 1 ne 
signifie rien, l'opération que rappelle ce signe n'étant 
définie que s'il porte sur un nombre positif. Sans cloute, 
la convention sera naturellement amenée, cela est 
clair; mais, quant à affirmer sa nécessité, c'est mécon- 
naître le caractère même de l'analyse. 

Du reste, bien qu'il ne se cache, à l'origine de la 
quantité imaginaire, aucune quantité concrète, l'ana- 
lyse fait même disparaître toute trace de cette origine, 
expérimentale jusqu'à un certain point (l'expérience 



76 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



portant ici sur dos résultats de calcul). Et voici com- 
ment elle procède : 

Sera dite quantité imaginaire toute expression de 
la forme a + b\j — 1, ou encore, pour simplifier l'écri- 
ture, a -H bi, où a et b sont des nombre positifs ou né- 
gatifs, et i un symbole auquel on convient d'appliquer 
toutes les règles de calcul algébrique, sauf que son 
carré se remplacera par — 1. L'égalité a + bi = a ,J r b'i 



Ces définitions suffisent pour que des calculs de dif- 
férentes sortes, effectués sur des imaginaires, se déga- 
gent une foule de relations souvent très précieuses, non 
seulement pour l'analyse, qui y puise des transforma- 
tions commodes de certaines expressions algébriques, 
mais pour l'arithmétique même et le domaine des 
nombres réels. Comment cela est-il possible? Com- 
ment le symbole i ne gêne-t-il pas? Mais en quoi gêne- 
rait-il, puisque toute égalité où il entre se dédouble en 
deux relations entre quantités réelles? 

Du reste, le symbole a-\-bi trouve une représenta- 
tion géométrique simple sur laquelle nous n'avons pas 
à insister : Qu'y a-t-il là que de très naturel? L'esprit 
ne peut-il essayer, — et cela de bien des manières, — 
de faire correspondre, par d'ingénieuses conventions, 
un symbole, quel qu'il soit, à certaines réalités con- 
crètes ? 



La notion de fonction est tout d'abord cette idée gé- 
nérale de relation entre deux phénomènes quelconques, 
suivant laquelle l'un variant, l'autre varie aussi. Cette 
notion s'applique d'abord aux grandeurs concrètes qui 
figurent dans ces phénomènes. C'est ainsi qu'on dira : 
Le temps nécessaire pour creuser une tranchée dépend, 



signifiera, par définition 




C. — Fonction. 



MATHÉMATIQUES PURES 



77 



est fonction du nombre des ouvriers employés, du 
nombre d'heures dont se compose leur journée, de 
leur force musculaire, de la nature plus ou moins ré- 
sistante du terrain, etc. On prévoit quelle va être la 
première transformation qu'imposera l'analyse à cette 
idée: tout phénomène, toute grandeur concrète vont 
disparaître. Une quantité y sera fonction d'une autre, 
x, si y est donné comme expression algébrique où 
entre x, c'est-à-dire comme résultat d'une suite de 
calculs à effectuer sur des nombres quelconques, parmi 
lesquels se trouve x. Exemple, y = x - t • 

Les opérations peuvent d'ailleurs sortir du cadre des 
calculs algébriques proprement dits. C'est ainsi que 
viennent s'ajouter les fonctions dites transcendantes, 
telles que, y = a x , y — log\r, les fonctions trigonomé- 
triques, sinus, cosinus, etc. C'est ainsi encore qu'aux 
opérations ordinaires s'ajoutent celles de différenlia- 
tion et d'intégration. 

La fonction exponentielle, y = a x , s'introduit tout 
naturellement. L'arithmétique définit le sens de a°° 
{a > o) six prend une valeur entière : l'analyse donne 
une signification à ce symbole pour x fractionnaire, 
incommensurable, négatif. La fonction logarithmique, 
y —\o^x, se pose comme Tin verse de la précédente, 
c'est-à-dire que, si Ton ay = a x ,x sera, par définition, 
logarithme de y. 

Les fonctions trigonomélriques ont leur origine dans 
l'intuition géométrique. Elles désignent d'abord des 
rapports de longueurs servant à introduire les angles 
dans les calculs. Mais toutes ces fonctions sin#, 
cos^, etc., se développent en séries convergentes, 
dont chaque terme est de la forme a X et l'analyse 
n'a pas de peine à les faire siennes, à les reconstruire 
sans préoccupation intuitive, en partant de ces séries 
pour les définir. Le calcul des séries convergentes per- 



78 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



met ensuite de retrouver les relations fondamentales 
que la considération directe des arcs de cercle avait 
d'abord fait connaître; et finalement les fonctions tri- 
gonométriques se trouvent venir après les autres, sans 
qu'aucune trace de discontinuité se laisse voir dans 
l'écbaufage ainsi construit. 

La différentiation d'une fonction, quoique trouvant 
son interprétation intuitive dans le problème de la tan- 
gente à une courbe, ou de la vitesse dans un mouve- 
ment non uniforme, se définit aisément par la résolu- 
tion d'un problème d'algèbre pure : recherche de la 
limite d'un rapport dont les deux: termes tendent simul- 
tanément vers zéro. 

^intégrale définie, d'abord apparue comme expri- 
mant une aire limitée par un arc de courbe et certaines 
droites, finit, elle aussi, par se dégager de tout élément 
concret. Elle se prête aujourd'hui à une définition pu- 
rement symbolique et se pose comme la limite d'une 
somme de termes dont le nombre croît indéfiniment, 
tandis que chacun tend vers zéro; toutes les propriétés 
de l'intégrale peuvent s'établir sans qu'on revienne ja- 
mais à la représentation concrète. 

Bien d'autres fonctions naissent de la considération 
de certaines intégrales, bien d'autres se formeront à 
l'avenir : quelle que soit leur origine, quelle que soit 
l'occasion que l'expérience offre de les envisager, leur 
définition, par l'analyse et pour l'analyse, se fait de 
telle sorte qu'elles continuent naturellement la cons- 
truction abstraite qu'édifie le mathématicien. 

Dans la définition nouvelle de toute fonction, x est 
d'abord un nombre positif ou négatif : par une généra- 
lisation naturelle, la signification purement symbolique 
s'étend aisément au cas où x prend une valeur imagi- 
naire. 

Enfin, l'idée de fonction subit une dernière transfor- 



MATHÉMATIQUES PURES 



79 



motion : s'éloignant encore davantage, si c'est possible, 
de tout lien impératif entre une donnée, fût-ce une for- 
mule, et la signification qui en résulte, supprimant toute 
espèce de signe permanent de fonction, l'analyse recon- 
naît y pour fonction de x, si seulement il plaît à l'esprit 
de décider que y prendra telles ou telles valeurs pour 
telles ou telles valeurs de x. Exemple : décidons que y 
sera égale à i, lorsque x prendra une valeur entière 
quelconque, n, que y sera pour toute valeur frac- 
tionnaire de x, égale à 1 pour x = 0. L'ensemble des 
valeurs de y que nous venons par décret, pour ainsi 
dire, de faire correspondre à x, forme une fonction. On 
sent ici d'une façon saisissante, quelle évolution a su- 
bie la notion depuis son origine concrète jusqu'à cet état 
de construction artificielle et arbitraire. 

D. — Continuité. 

L'idée première a son origine dans l'intuition d'une 
étendue ou d'une durée. En quoiconsiste-t-elle au fond? 
Dans les discussions philosophiques, la continuité 
d'une grandeur concrète est le plus souvent la divisibi- 
lité indéfinie, ou la propriété de pouvoir descendre au- 
dessous de toute quantité assignable. La notion qui va 
pénétrer dans le domaine de l'analyse exige quelque 
chose de plus. Imaginons, en effet, une sorte de gran- 
deur telle que, une fois choisi pour unité un état par- 
ticulier de la grandeur, elle ne nous fournisse, en va- 
riant de toutes les manières possibles, que des états 
mesurés par des nombres de la forme où N est un en- 
tier. Si nous admettons que toute détermination delà 
grandeur, correspondant à un pareil nombre, existe, on 
ne saurait nier qu'elle puisse descendre au-dessous de 
toute quantité. Il suffira, en effet, de choisir N assez 
grand. Nous ne pourrons pas cependant attribuer à 



so 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



celte grandeur la continuité mathématique, parce que, 

entre deux valeurs consécutives que nous en con- 

11 . 
naissons, j^^qp-p nous en imaginons une infinité d'autres 

qu'elle ne prend certainement pas. Faisons un pas de 
plus et supposons que notre grandeur passe par tous 
les états commensurables sans pouvoir jamais (toujours 
par rapport à l'unité spéciale) devenir incommensu- 
rable : La discontinuité persiste, quoique les trous, pour 
ainsi dire, nous paraissent moins considérables. On 
peut varier encore les hypothèses et admettre, par 
exemple, que la grandeur soit susceptible de corres- 
pondre à tout nombre entier, fractionnaire, incom- 
mensurable, sauf aux nombres fractionnaires de la 
forme-, ou encore sauf aux nombres incommensurables 
de la forme y/N, etc. Dans tous ces cas-là, nous ne pou- 
vons pas faire correspondre la variation de la grandeur 
à celle d'une étendue rectiligne, par exemple, et nous 
avons la sensation de trous, de vicies, qui nous empê- 
chent d'appeler la grandeur continue. 

Est continue, dit-on quelquefois (1), toute quantité 
qui, entre deux états quelconques, peut passer par tous 
les états intermédiaires. Mais comment comprendre ces 
mots tous les états intermédiaires? S'il s'agissait seule- 
ment des états intermédiaires existant pour elle, toute 
quantité répondrait à cette définition qui ne postulerait 
aucune propriété spéciale. 11 faut évidemment entendre 
par tous les états intermédiaires tous ceux que peut 
prendre une grandeur continue, et alors la définition 
ne s'applique vraiment qu'aux quantités continues, 
mais ne nous apprend rien sur les conditions qu'elle 
exige. Elle revient à la suivante : Est continue toute 
quantité qui est continue. Cependant il suffira de se re- 

(1) Duhamel, par exemple (les Méthodes dans les sciences de rai- 
sonnemcni) . 



MATHÉMATIQUES PURES 



81 



portera une grandeur prise pour type de la continuité, 
telle que letendue rectiligne, et la définition deviendra 
plus claire. Mais elle repose sur une vue intuitive. Or 
l'analyse, en élaborant la notion du nombre, a abouti 
précisément à la substitution d'une échelle de symboles 
à la suite des états d'une longueur continue. Rien n'est 
donc plus simple que d'entendre par « tous les états 
in termédiaires » tous les états mesurés par les nombres 
commensurables ou incommensurables que l'analyse 
peut construire entre deux nombres donnés. Et ainsi 
non seulement nous ne nous fonderons plus sur la vue 
intuitive de l'étendue rectiligne, mais, par un renverse- 
ment permis dans nos constructions logiques, les états 
de l étendue rectiligne elle-même seront, par définition, 
ceux qui correspondront aux nombres de notre échelle. 

Supprimons enfin la quantité concrète variable et 
n'envisageons que le symbole x : nous dirons que la 
variation de x est continue, si x s'identifie avec le 
nombre algébrique, positif ou négatif, tel que l'analyse 
Fa créé et généralisé. 

Mais il s'agit jusqu'ici de ce qu'on pourrait appeler la 
continuité absolue, la continuité de la variable arbi- 
traire. La notion la plus féconde en analyse est celle de 
la continuité relative, ou de la continuité de la fonction. 
Considérons une fonction y de x. La continuité dey est 
tout naturellement la continuité de la suite des valeurs 
qu elle prend, lorsque x varie d'une manière continue, 
la propriété, si on veut, dé passer par toute valeur com- 
prise entre deux de ses valeurs particulières. Mais il 
reste dans cette notion comme un vague appel à la re- 
présentation concrète de la quantité qui devient, qui 
s'écoule, donnant naissance à une suite d'états. L'ana- 
lyse a transformé cette définition, et voici comment s'ex- 
priment les traités actuels : On dit que la fonction de 
x, f{x) est continue pour une valeur a donnée à x 9 s'il 



82 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



existe un nombre a tel que, pour toute valeur h moindre 
en valeur absolue que a, la différence f (a-\- h) — f(a) 
soit elle-même inférieure, en valeur absolue, à un 
nombre fixé d'avance, aussi petit qu'on veut. — x pre- 
nant ensuite toute valeur comprise entre 1 et 3, par 
exemple, la fonction est continue dans cet intervalle si 
elle l'est pour chaque valeur de x, Il est aisé de voir 
que toute fonction continue dans ce sens nouveau, 
prend bien toute valeur comprise entre deux particu- 
lières quelconques. 

On sent avec quel soin l'analyse résout, décompose 
le continu, avec quel soin, pourrait-on dire, elle le sup- 
prime. Elle détruit tout ce qui, de près ou de loin, res- 
semble à une suite, à une trame ininterrompue* Si on 
y emploie parfois cette expression : toutes les valeurs 
comprises entre a et b, toutes les valeurs de la fonc- 
tion, etc. , c'est une façon de parler signifiant seulement: 
une valeur quelconque comprise entre a et b, une va- 
leur quelconque de la fonction, etc. Non seulement le 
concept de tout nombre, ou d'un nombre quelconque 
parmi une infinité de possibles, est absolument clair 
par lui-même, mais encore, à mesure que s'affine le 
sentiment de la rigueur, il s'impose pour être substitué 
à la notion confuse de suite ou d'ensemble. 

E. — La limite. 

Nous avons déjà parlé de limite : il convient de reve- 
nir sur cette notion fondamentale, qui sert de base au 
calcul de l'infini. 

Elle est primitivement empruntée à des phénomènes 
naturels, où une suite graduée de changements se pré- 
sente comme aboutissant à un terme final, comme limi- 
tée par ce terme. La nuit absolue qui succède au cré- 
puscule peut se poser comme terme de la décroissance 
de la lueur du jour. Le débit d'une source diminuant 



MATHÉMATIQUES PURES 



B3 



jusqu'à épuisement, le tarissement de la source se pré- 
sentera comme la limite de cette diminution, etc. La 
notion, pour passer de ce premier degré naturel et con- 
cret à l'état où l'utilise la mathématique déductive, se 
dépouille de tous les éléments intuitifs. 

L'idée de limite ne s'appliquera d'abord rigoureuse- 
ment qu'à la quantité. On pourra dire, dans un langage 
imagé, que le polygone inscrit dans un cercle, dont les 
côtés tendent simultanément vers zéro, leur nombre 
augmentant indéfiniment, a pour limite la circonfé- 
rence ; qu'une ellipse dont les axes croissent indéfini- 
ment, dans des conditions déterminées, a pour limite 
une parabole, etc. Ce sont là façons de parler exprimant 
que telles quantités ont telles limites, et les quantités 
sont ici celles dont les figures ouïes formes sont l'occa- 
sion; ainsi, l'aire du cercle, la longueur de sa circonfé- 
rence, son rayon, etc. C'est, par exemple, la longueur 
du périmètre du polygone inscrit qui a pour limite la 
longueur de la circonférence ; c'est l'aire du polygone 
qui a pour limite l'aire du cercle ; c'est la longueur de 
l'apothème quia pour limite le rayon. De même, dans le 
cas de l'ellipse variable, c'est, par exemple, l'ordonnée 
correspondant à une abscisse déterminée qui a pour li- 
mite l'ordonnée de môme abscisse dans la parabole, etc. 
Cette première restriction, imposée à la limite, supprime 
d'un coup ce qu'il y aurait évidemment d'inintelligible 
dans la transformation qualitative d'une chose, d'une 
forme, par exemple, en une autre d'espèce différente. La 
mathématique rigoureuse n'envisage nullement des li- 
gnes briséesiendant à devenir courbes, pas plus que des 
ellipses tendant à devenir paraboles. Le langage peut 
subsister sous cette forme, l'idée que traduira l'analyse 
sera complètement exempte de la variation qualita- 
tive. 

Ce n'est pas tout. Le terme d'une variation quel- 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



conque, dans les phénomènes qui tombent sous nos 
yeux, est véritablement atteint; c'est môme ainsi qu'il 
est connu et se pose comme limite : Nous voyons, par 
exemple, le pendule ébranlé parvenir à l'état de repos, 
qui nous apparaît comme limite d'un mouvement oscil- 
latoire de plus en plus faible. Il y ? dans ce fait 
d'une variation, décomposée en degr ' n . ^simaux, et 
parvenant cependant à son terme .. , chose d'in- 
compréhensible. Entre la valeur b, ..9 (quel que 
soit le nombre des 9) et la valeur 1, on conçoit une série 
illimitée de nouveaux nombres, où la suite des 9 se pro- 
longe de plus en plus, sans que la valeur 1 soit jamais 
atteinte. Entre un polygone inscrit de n côtés [quel que 
soit n] et la circonférence où les côtés sont tous nuls, 
on conçoit de même un abîme infranchissable pour 
l'entendement. Tous ceux qui ont reproché à la méthode 
des limites ce saut pour ainsi dire vertigineux par-des- 
sus un abîme infranchissable, ont ils bien compris que 
l'analyse mathématique sait se mettre à l'abri de ce 
reproche ? Ce passage à la limite d une quantité variable, 
ce fait que la quantité parviendrait au dernier des états 
successifs qu'une variation illimitée nous donnerait à 
concevoir, est absolument étranger à la notion mathé- 
matique de la limite. Celle-ci porte exclusivement, par 
définition, sur ce que la différence entre la quantité va- 
riable et une certaine quantité fixe peut tomber au-des- 
sous de toute valeur assignée arbitrairement. Ainsi, 

dire que 0,99 9 a pour limite 1, quand le nombre des 

9 augmente indéfiniment, cela signifie: Si petite que 
soit assignée d'avance une valeur numérique, je peux 
désigner un nombre de 9 à partir duquel la différence 
entre 1 et le nombre décimal reste inférieur à cette va- 
leur. 

Mais, objectera-t-on, lorsque d'une égalité entre va- 
riables X = Y on tire que la limite de X est égale à la 



MATHÉMATIQUES PURES 



85 



limite de Y, ne passe-t-on pas vraiment à la limite ? Ne 
suit-on pas séparément les variables jusqu'à les voir 
atteindre leurs limites respectives, pour dire ensuite : 
Ce qui était vrai en général reste vrai à la limite î — Ce 
n'est qu'en apparence, ou pour exprimer parfois rapide- 
ment les faits, qu'on use d'un tel langage. Le raisonne- 
ment rigoureux est des plus simples : L désignant la li- 
mite de X, la différence entre X et L tombe au-dessous 
de toute valeur; mais X étant constamment égal à Y, 
cette différence n'est autre que la différence entre Y et 
L, et, puisque celle-ci tombe au-dessous de toute valeur, 
L est limite de Y. 

Et quoi, dira-t-on encore, si d'une proposition rela- 
tive aune sécante on déduit quelque théorème relatif à 
la tangente, en un point d'une courbe, ne suit-on pas la 
rotation delà sécante autour du point considéré jusqu'à 
ce qu'elle devienne tangente ? Nullement; toute quan- 
tité se rapportant à la tangente (l'angle, par exemple, 
que fera sa direction avec un axe fixe) est posée comme 
limite de la quantité analogue relative à la sécante, en 
ce sens que la différence entre les deux éléments peut 
devenir aussi petite qu'on veut. 

Ainsi, il ne faut pas s'y tromper : la notion de limite 
sur laquelle raisonne l'analyse laisse complètement en 
dehors d'elle le fait de savoir si la variable atteint sa 
limite. Cette question, évidemment inséparable de tout 
problème concret ou objectif, où il s'agit de limite, dis- 
paraît dans la notion mathématique. Avec elle dispa- 
raissent aussi les chimères qui ont empêché si long- 
temps, et de nos jours encore parfois, les meilleurs 
esprits de reconnaître la rigueur des calculs fondés sur 
l'idée de limite. 

Et c'est toujours d'ailleurs, nous le constatons, au 
même prix que la rigueur est apparue : la notion a dû 
se dépouiller, pour l'analyse, non seulement de toute 



86 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



idée de variation qualitative, comme nous l'avions 
remarqué d'abord, mais encore d'un élément objectif 
qui échappait à une compréhensibilité suffisante, le 

passage à la limite. 

F. — Lignes et surfaces. 

L'algèbre s'est appliquée à la géométrie dès que, les 
longueurs étant désignées par des lettres, il a plu à 
quelque mathématicien de traduire un théorème de géo- 
métrie par une équation. Cela ne suffisait pas pour qu'une 
géométrie analytique pût prendre naissance. Avant tout, 
il fallait que toute relation entre quantités géométriques 
pût s'exprimer algébriquement. Or, cette première con- 
dition exigeait elle-même un double progrès dans la 
voie qui mène de la forme intuitive à l'intelligible. 

D'une part, les angles, qui figurent en même temps 
que les longueurs dans les relations, devaient trouver 
pour substituts ces éléments nouveaux qu'a introduits 
la trigonométrie, et qui sont des rapports de longueurs. 

D'autre part, il fallait donner un sens aux expressions 
algébriques quelconques portant sur des longueurs. 
Expliquons-nous. Si a et b désignent deux longueurs, 
a-\-b , a — b représentent de nouvelles longueurs clai- 
rement définies. Que désignait le produit aX.b pour les 
prédécesseurs de Descartes? Le rectangle qui a pour 
côtés a, b. — a\a\a était le cube construit sur la 
longueur a. Jusque-là, c'est fort bien; mais à ne pas 
sortir de la représen tation intuitive de quelque être géo- 
métrique spécial répondant à l'expression littérale, on 
ne saurait aller bien loin. Que pourrait bien signifier, 
par exemple, le produit a X b X c X à ? Ce n'est pas un 
des moindres titres de Descartes à notre admiration, 
que d'avoir dispensé désormais toute expression, portant 
ainsi sur des longueurs, de la nécessité d'une interpré- 
tation concrète spéciale, en donnant le moyen de cons- 



MATHÉMATIQUES PURES 



87 



traire, dans chaque cas, une longueur correspondante. 
Soit n la longueur égale à 1, c'est-à-dire l'unité choisie, 
a X b désignera la longueur x telle que l'on ait la pro- 
portion y t — le produit a X b \ c représentera une 

y c 

nouvelle longueur y telle que l'on ait : j = - (x étant la 
longueur qui représente aXb)', et ainsi de suite. Il n'y 
aurait qu'à substituer aux longueurs les nombres qui les 
mesurent, et toute expression algébrique portant sur des 
longueurs pourrait devenir purement et simplement un 
nombre. Mais la conception de Descartes, pour qui en 
somme la longueur jouait le rôle de la quantité type, suf- 
fisait en tout cas pour que le passage d'une relation géo- 
métrique à une relation algébrique ne rencontrât plus 
de difficultés, et pour que la géométrie analytique prit 
naissance. 

Après qu'on a choisi un système de coordonnées pour 
tout point du plan, par exemple ses distances à deux 
droites fixes, il devient possible de traduire par une 
relation entre ces coordonnées la propriété caractéristi- 
que du point qui décrit une courbe, ou inversement de 
concevoir une courbe, lieu des points dont les coordon- 
nées sont liées par une équation donnée. 

Ce progrès immense dans l'évolution des idées va 
profiter à la géométrie, mais bien plus encore à l'ana- 
lyse. Celle-ci va s'assimiler les êtres géométriques, qui 
seront pour elles des représentations graphiques de 
fonctions. Dans la figure concrète, c'est la fonction et 
ses propriétés qui l'intéressent : aussi les lignes de la 
géométrie plane deviennent-elles pour elle des lieux de 
points dont les coordonnées sont l'une une certaine 
fonction déterminée de l'autre. Par des considérations 
analogues, trois coordonnées correspondant à un point 
de l'espace, une surface devient simplement un lieu de 
points, dont une coordonnée est une fonction détermi- 
née des deux autres ; une ligne, dans l'espace, un lieu 



ss 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



de points dont deux coordonnées sont des fonctions de 
la troisième. — Il va sans dire qu à la distance où nous 
sommes de la quantité concrète, les points, les lignes et 
les surfaces imaginaires s'introduisent tout naturelle- 
ment, ainsi d'ailleurs que se forme, par une généralisa- 
tion facile, le concept de l'espace à n dimensions. 



CHAPITRE III 

ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 

Les mathématiques, quand elles sortent du domaine 
restreint de l'analyse et de la géométrie, ne changent 
pas leur méthode. Mais alors l'emprunt fait au monde 
de r expérience, qui sert de préface à chaque applica- 
tion, est clairement visible. La préoccupation de ratta- 
cher toute branche nouvelle au tronc primitif, de 
résoudre les données spéciales de chaque cas en élé- 
ments pouvant se définir à l'aide des notions abstraites 
déjà acquises est parfois peu apparente. La mathéma- 
tique peut sembler perdre son originalité propre et ma- 
nier dans ses équations ou ses formules autre chose 
que la quantité pure. Il importe donc d'insister sur ce 
point, que, là où elle pénètre, elle reste fidèle à sa mé- 
thode première. 

I 

Pour choisir un exemple se prêtant plus particulière 
ment à l'expression de notre pensée, portons notre- 
attention sur la science du mouvement, 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 89 

Tous les traités énoncent au début de la dynamique 
trois principes fondamentaux. D'abord la loi d'inertie: 
un corps persiste indéfiniment dans son état de repos 
ou de mouvement rectiligne uniforme, si aucune force 
ne vient agir sur lui. 

En second lieu, le principe de l'égalité entre l'action 
et la réaction : Si un point matériel A est soumis à 
une force émanant d'un second point B, réciproque- 
ment du point A émane une force égale et de sens 
contraire agissant sur B. 

Enfin, le principe des mouvements relatifs : Lors- 
qu'un système de points est animé d'un mouvement de 
translation, une force venant à agir sur l'un des points 
du système lui imprime un mouvement indépendant du 
mouvement de translation. 

Quelle est la nature de ces principes? Faut-il y voir 
des vérités intuitives qui puissent frapper par leur 
évidence tout être qui pense? Nous ne supposons pas 
que personne ait songé sérieusement à le soutenir, et, 
en tout cas, il nous suffira, pour dissiper tous les 
doutes, de constater la tardive apparition de ces prin- 
cipes dans l'histoire des idées Sans dire exactement 
qui le premier a énoncé chacun d eux (ce qui ne semble 
facile que pour le second, dû à Newton), il est permis 
d'affirmer qu'ils ne sont pas antérieurs à Galilée. Loin 
donc qu'ils constituent des vérités que notre entende- 
ment doive saisir d'un coup, ils ont exigé, pour appa- 
raître, qu'après de longs siècles de méditation la pen- 
sée humaine eût atteint un degré suffisant de inatu 
ri té. 

Tout au moins depuis que le génie de Galilée, de 
Kepler, de Huyghens, de Newton a inscrit ces prin- 
cipes au seuil d'une science qui progresse tous les 
jours, comment leur certitude s'impose-t-elle à notre 
esprit? 



90 LA CERTITUDE LOGIQUE 

Sommes-nous capables de les démontrer par La seule 
force du raisonnement? À lire certaines méditations 
sur ce sujet, on croirait vraiment que cette illusion a 
pu quelquefois se produire. 

« Soit un corps seul et en repos, dit Euler, on de- 
mande s'il demeurera en repos ou s'il commencera à se 
mouvoir. Comme il n'y a aucune raison qui le porte à 
se mouvoir d'un côté plutôt que d'un autre, on conclut 

qu'il demeurera toujours en repos Donc, quand 

nous voyons qu'un corps qui a été en repos commence 
à se mouvoir, nous pouvons être assurés que ce mou- 
vement a été causé par une force externe capable de 
le mettre en mouvement, et que ce corps, s'il était seul 
et sans communication avec d'autres corps, serait tou- 
jours resté en repos (1). » — Voilà pour la première 
partie de la loi d'inertie, celle qui concerne la conser- 
vation du repos. Quant à la deuxième partie, celle qui 
vise la conservation de la direction et de la vitesse : 
« Examinons, dit Euler, si par la voie du raisonne- 
ment nous pouvons parvenir à la décision de cette 
question (2). » Et de fait, après avoir donné quelques 
définitions indispensables pour la clarté, il prétend bien 
résoudre la question par le raisonnement que voici : 
« On ne saurait concevoir pourquoi le corps se détour- 
nerait de sa route d'un côté plutôt que d'un autre ; donc, 
puisque rien n'arrive sans raison, il s'ensuit que le 
corps en question conservera toujours la même direc- 
tion De la môme manière, on soutient aussi que la 

vitesse du corps dont je parle ne saurait changer, parce 
qu'il faudrait qu'elle augmentât ou qu'elle diminuât, 
mais il n'y aurait aucune raison qui pourrait produire 
un tel changement, d'où l'on conclut que ce corps con- 



(1) Euler, Lettres à line princesse d' Allemagne , 2 e partie, lettre III. 

(2) Euler, Lettre IV. 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 91 

tinuera toujours à se mouvoir avec la môme vitesse et 
suivant la même direction. » 

L'insuffisance de cette prétendue démonstration est 
trop frappante pour qu'il soit nécessaire de beaucoup 

insister. « Il n'y a pas de raison pour que » ne 

signifie en réalité que ceci : « Nous ne voyons pas de 

raison pour que » Ce n'est même pas ici l'inconce- 

vabilité de la négative qui déterminerait l'assentiment, 
c'est la simple difficulté de la démontrer, ou d'en don- 
ner une raison. 

Mais alors, si la démonstration à priori de nos prin- 
cipes implique une illusion, à quelle source puisent-ils 
le caractère de certitude que nous leur accordons? La 
plupart des savants et des philosophes qui ont eu à se 
prononcer sur ce point ont affirmé que ce sont des 
vérités d'expérience. A propos de la loi d'inertie, Aug. 
Comte, par exemple, a écrit : « Elle ne saurait avoir de 
réalité qu'autant qu'on la conçoit comme basée sur 
l'observation. Mais, sous ce point de vue, Vexaetitude 
en est évidente, d'après les faits les plus com- 
muns, etc. (1) » 

Il serait difficile de contester l'origine expérimentale 
des lois sur lesquelles repose la mécanique. Il est trop 
clair, et l'histoire le prouve suffisamment, qu'elles ont 
attendu, pour naître, le triomphe définitif de la mé- 
thode expérimentale. Si elles n'ont pas été tout d'abord 
énoncées avec une clarté parfaite, elles ont jailli spon- 
tanément, pour ainsi dire, des travaux de Galilée sur la 
chute des corps. Mais, en acceptant que l'observation 
les ait suggérées, nous n'admettons nullement qu'elle 
soit capable de les démontrer, et nous ne comprenons 
même pas comment cela serait possible. Il entre, en 
effet, dans les énoncés de ces lois, des notions dont la 



(1) Cours de philosophie positive, XV e leçon. 



<)2 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



réalité concrète échappe à toute observation. Saurons- 
nous jamais, en présence d'un point matériel au repos 
ou en mouvement, à quelles forces il est ou n'est pas 
soumis? 

Auguste Comte nous semble mille fois plus clair 
quand il dit : « Tous les faits nous prouvent que, si le 
mouvement primitivement imprimé se ralentit toujours 
graduellement et finit par s'éteindre entièrement, cela 
provient des résistances que les corps rencontrent 
sans cesse, et sans lesquelles l'expérience nous porte 
à penser que la vitesse demeurerait indéfiniment cons- 
tante, puisque nous voyons augmenter sensiblement la 
durée de ce mouvement à mesure que nous diminuons 
l'intensité de ces obstacles. » 

Cette façon de parler : « nous porte à penser », im- 
plique le sentiment assez vif de l'impuissance à tirer 
de l'expérience une démonstration directe, et nous 
croyons inutile d'y insister davantage. 

Que sont donc enfin ces principes de la dynamique? 
Ils sont cette expression spéciale d'idées suggérées par 
l'expérience, qui tient le milieu entre le sensible et l'in- 
telligible, qui d'une part emprunte assez à l'observa- 
tion directe des phénomènes pour faire pressentir la 
fécondité du principe, et d'autre part renferme assez 
d'éléments idéaux pour permettre à la mathématique 
pure de fonder sur eux, sans rien perdre de sa rigueur, 
un chapitre nouveau. Postulats de l'expérience, vis-à- 
vis de cette mathématique à laquelle ils ont ménagé l'ac- 
cès, ils vont être, disons le mot, de simples définitions. 

Une fois posées les définitions de la vitesse et de 
l'accélération par des considérations purement géomé- 
triques, n'était la signification spéciale du paramètre t, 
le temps, quantité dont nous parlerons tout à l'heure, 
la loi de l'inertie énonce les conditions où on dira qu'un 
point matériel est soumis à une force. 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 93 

Par définition, une force agira toutes les fois que le 
mouvement d'un point ne sera pas rectiligne et uni- 
forme, c'est-à-dire toutes les fois que la direction ou la 
valeur de la vitesse varieront. 

Le cas du mouvement rectiligne uniformément varie 
se trouve, en vertu des conventions déjà faites, corres- 
pondre à une force constante. La démonstration tirée 
de la loi des mouvements relatifs y ramène par un che- 
min si court, qu'on pourrait, sans changer grand'cliose 
à la suite des idées, énoncer ici une définition au lieu 
d'un théorème. Bref, la mécanique va procéder comme si 
on avait posé dès le début qu'un point, animé d'un mou- 
vement uniformément varié, sera dit soumis à une force 
constante et proportionnelle à la vitesse imprimée après 
l'unité de temps. Le rapport constant de l'intensité de 
la force à cette vitesse, qui se trouve être ici l'accélé- 
ration, est ce qu'on appelle la masse du point matériel. 

Quand le mouvement d'un point est rectiligne, mais 
non plus uniformément varié, on dit qu'il est soumis 
aune force variable, dirigée clans le sens du mouve- 
ment, et égale à chaque instant à la force qui communi- 
querait à ce point de masse déterminée l'accélération 
correspondant a cet instant; en d'autres termes, si Ton 
tient compte de la définition de la masse, cela revient 
à définir l'intensité de la force : le produit de la masse 
par l'accélération. Enfin, dans le cas du mouvement cur- 
viligne, on arrive à cette double notion de l'intensité de 
la force (à savoir, le produit de la masse par l'accéléra- 
tion) et de sa direction (à savoir, celle de l'accélération), 
et cette double notion peut être envisagée comme con- 
tenant alors la définition de la force qui, dans le mou- 
vement le plus général, agit à chaque instant sur le 
point matériel. 

Nous sommes loin, on le voit, de l'idée métaphy- 
sique de la force, envisagée comme cause du mouve- 



94 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



ment. Il est tout naturel que la science positive rejette 
au même titre que les autres ce noumène spécial et 
qu'ici, comme dans toutes les occasions où le principe 
de causalité semble jouer un rôle, elle exclue toute 
considération métaphysique. Et, en vérité, ce but est 
si complètement atteint, qu'un traité de mécanique, 
suivant la judicieuse remarque de M. Calinon, se 
comprend aussi bien dans les deux hypothèses où la 
force est cause du mouvement et où elle en est, au con- 
traire, la conséquence (1). « La force, dit encore M. Ca- 
linon est, comme la vitesse et l'accélération, une cir- 
constance du mouvement; il y a entre la force et le 
mouvement, non pas relation de cause à effet, mais dé- 
pendance, comme, par exemple, entre le rayon d'un 
cercle et sa surface. » On ne saurait mieux dire ; mais 
ce qui nous intéresse particulièrement et sur quoi nous 
voulons attirer l'attention, c'est le caractère mathéma- 
tique de cette circonstance qui se nomme la force. Non 
seulement elle a perdu toute signification métaphy- 
sique, mais encore elle porte à un très haut degré la 
marque d'une création de l'esprit. Suggéré par l'obser- 
vation des mouvements, cet élément n'en est pas moins 
défini par le mathématicien en direction et en quantité 
de telle manière que la notion en soit désormais adé- 
quate à cette définition. Comme la vitesse, comme l'ac- 
célération, à propos des phénomènes de mouvement, 
comme la longueur de la circonférence en géométrie, 
à propos de la circonférence, l'idée de force, dès qu'elle 
pénètre 1 dans le domaine propre du principe de con- 
tradiction, devient un concept délimité par l'esprit qui 
en dicte lui-même le contenu. 

Mais nous n'avons rien dit jusqu'ici d'un élément 
dont dépendent les lois fondamentales de la méca- 



(1) Revue philosophique, mars 1887. 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 9o 



nique, et par suite dont dépend aussi la notion de la 
force. Le « temps » entre dans les définitions de la 
vitesse et de l'accélération. A. la vérité, il n'est pas 
nécessaire de donner un sens concret à la quantité 
désignée par t clans les équations de la dynamique 
pour qu'elles aient en elles-mêmes une signification. 
Il suffit seulement d'y voir une variable continue sus- 
ceptible de prendre toutes les valeurs réelles positives 
et négatives. Mais ces équations ne devant s'écrire qu'à 
l'occasion de phénomènes concrets de mouvements 
observés, il faut bien indiquer le moyen de mesurer 
cette quantité variable. D'un autre point de vue, on 
peut dire que, si les lois fondamentales ont été suggé- 
rées par l'observation, il a bien fallu dans les phéno- 
mènes observés connaître chaque fois les valeurs de t. 
Le temps est, comme la force, une circonstance du 
mouvement, mais c'est celle qui, s'ajoutant aux cir- 
constances purement géométriques, permet à la méca- 
nique de sortir de la géométrie pure, et à la cinématique 
de naître et de s'appliquer. Il lui faut nécessairement 
une définition concrète. L'idée toute naturelle de mesu- 
rer le temps d'après un mouvement périodique facile- 
ment observable, dont les phases successives représen- 
tent par convention des temps égaux, est certainement 
fort ancienne, et le mouvement diurne s'est sans doute 
offert de lui-même aux premiers penseurs qu'a préoc- 
cupés cette question. Une nouvelle convention, à savoir 
que les oscillations du pendule ont des durées égales, 
a conduit à l'horloge à secondes, c'est-à-dire au pen- 
dule qui donne un nombre déterminé d'oscillations 
pendant une rotation terrestre. Et c'est finalement un 
certain nombre de battements de ce pendule qui repré- 
sente, dans toute observation, la valeur du temps. Il 
importe de voir ici clairement la part de la fiction. Dira- 
t-on que la rotation terrestre est certainement uniforme* 



96 



LA CERTITUDE LOGIQUË 



ou que la terre tourne du même angle en des temps 
égaux? Dira-on ensuite que les oscillations du pendule 
ont certainement môme durée ? Comment pourrait-on 
établir de semblables propositions, quel sens seulement 
pourrait-on leur donner avant d'avoir défini des durées 
égales ? Selon quelques auteurs, il faut entendre par là 
des intervalles de temps dans lesquels se produisent, 
à des époques différentes, des phénomènes identiques. 
Mais que signifient ces mots « phénomènes iden- 
tiques » ? Si l'identité doit porter sur toutes les cir- 
constances du phénomène, l'idée est une chimère in- 
compréhensible. Si elle doit se limiter à quelques cir- 
constances déterminées, il faut dire lesquelles, et la 
fiction réapparaît alors tout entière. — On ne songerait 
jamais à invoquer un sens de la durée qui nous ferait 
apprécier une certaine égalité impossible pourtant à 
définir. Il faut bien se résoudre alors à voir, dans l'éga- 
lité des durées et dans la mesure du temps fondée sur 
la périodicité de certains mouvements, une part de 
convention. 

Si maintenant nous revenons à la notion mécanique 
de la force, dont nous avons reconnu déjà le caractère 
fictif quand nous laissions encore de côté la significa- 
tion de la quantité t, nous sentirons sans peine com- 
bien s'augmente la fiction, lorsque l'élément nouveau, 
que nous avons associé à d'autres pour former le 
concept, implique lui-même une certainê part d'arbi- 
traire. 

Qu'en présence d'un mouvement matériel offert par 
l'expérience nous énoncions une relation quelconque 
entre les concepts de temps, de vitesse, d'accélération, 
de masse, de force, qu'exprimerons-nous au fond sinon 
une vue spéciale de l'esprit, quelque chose de purement 
intelligible, non pas même impliqué clans le phénomène 
observé, ce qui n'aurait aucun sens, mais seulement 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 97 

pensé par nous à l'occasion de ce phénomène ? Ce sera, 
si l'on veut, une façon de penser et déparier correspon- 
dant à la chose observée ; disons le mot, ce sera un lan- 
gage spécial, créé par l'esprit pour la désigner. Si les 
phénomènes de mouvement se prêtent désormais à la 
méthode mathématique et à des raisonnements rigou- 
reux, c'est qu'ils pourront se traduire dans une langue 
parfaite. 

Une question se pose alors. Fictive ou non au début, 
suggérée d'abord par des conceptions plus ou moins na- 
turelles, mais en tout cas hypothétiques, cette langue ne 
va-t-elle pas nous conduire à des lois dont la vérification 
expérimentale, en prouvant leur portée objective, éta- 
blira en même temps la valeur réelle des conventions 
premières ? C'est poser en question, à propos de la 
mathématique appliquée, l'impuissance du principe 
de contradiclion à nous faire sortir de l'intelligible pur. 

Pour répondre plus clairement et prendre un exemple 
bien connu, rappelons la genèse de la loi de l'attraction 
universelle. 

Les observa tions de Tycho-Brahé sur les mouvements 
des planètes permettent à Kepler d'énoncer les lois sui- 
vantes : 1° les planètes se meuvent clans des courbes 
planes, et leurs rayons vecteurs décrivent des aires pro- 
portionnelles aux temps ; 2° les planètes décrivent des 
ellipses dont le Soleil occupe un foyer ; 3° les cubes des 
grands axes de ces ellipses sont entre eux comme les 
carrés des temps employés aies décrire. 

Ces lois expriment, entre des faits géométriques et 
des faits de durée, des relations qui, se trouvant corres- 
pondre à un certain nombre de phénomènes observés, 
sont données par induction comme devant corres- 
pondre à toute une espèce de phénomènes. Le mode de 
correspondance est lui-même défini d'une façon pré- 
cise. A propos de telle planète, on sait comment mesu- 

G. MlLHAUD. 



1)8 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



rer tous les éléments qui entrent dans ces relations. Il 
est donc aisé de comprendre comment, d'une part, les 
observations particulières ont pu se traduire en ce lan- 
gage, et. d'autre part, comment désormais des données 
intelligibles, fournies par la loi dans un cas particulier, 
on passera au phénomène correspondant. Que les lois 
de Kepler nous permettent donc de fixer, à une époque 
quelconque, la position d'une planète dans le ciel, et 
que l'observation confirme la prévision : dira-t-on qne 
les lois elles-mêmes se trouvent objectivement véri- 
fiées? que l'on doit attribuer désormais aux éléments 
géométriques envisagés une existence concrète, et que 
la durée quantité cesse d'être une fiction? Nullement. 
Ce qui est vérifié par l'observation, c'est d'abord, à 
l'égard des phénomènes, une induction ordinaire : un 
phénomène nouveau est à rapprocher d'autres déjà 
observés ; et ensuite, c'est l'accord de la pensée avec 
elle-même, c'est la rigueur du langage qui, dans l'inter- 
prétation, a su rester conséquent avec lui-même. Mais 
quant au caractère de nécessité de ce langage, dont on 
voudrait trouver la preuve dans la vérification expéri- 
mentale des lois, il faut y renoncer. Qu'un seul des élé- 
ments fictifs qui le composent soit changé ; que, par 
exemple, la durée ne se calcule plus de la même ma- 
nière, qu'en d'autres termes on choisisse, pour définir 
et compter des temps égaux, les phases d'un autre 
mouvement que la rotation terrestre, et voilà la pre- 
mière et la troisième loi complètement changées (1). 
Les phénomènes célestes qui reliaient entre eux les 
anciennes lois seront reliés par les nouvelles. L'avenir 
sera prévu tout aussi bien, les vérifications expérimen- 
tales ne feront pas défaut. Elles continueront à justifier 
une induction naturelle et à prouver que nous ma- 



(1) Voir Calinon, Revue philosophique, 1887. 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 99 

nions pour notre usage une langue qui ne se contredit 
pas. 

— Newton vient après Kepler et dit : « Les planètes ne 
se meuvent pas en ligne droite, donc une force agit sur 
elles, dont il y a lieu de chercher la direction et l'in- 
tensité. » Traduisons : Il nous plaît, à propos du mou- 
vement des planètes, de considérer, en outre des élé- 
ments géométriques et de durée, cette quantité dirigée 
que définit la mécanique et qu'elle appelle une force. 
En vertu de sa définition même, cette quantité est ici 
différente de zéro, et elle a une direction et une inten- 
sité variables. 

Par une démonstration purement mathématique où 
n'entrent que des éléments géométriques, et où le temps 
lui-même n'est autre chose qu'une variable continue t, 
sans signification concrète, dont dépendent la vitesse, 
l'accélération, la position du point matériel sur sa tra- 
jectoire, on établit le théorème suivant : Si la trajec- 
toire d'un mobile est plane, et si les aires décrites par 
le rayon qui joint le mobile à un point fixe sont pro- 
portionnelles à t, la direction sur laquelle il faut porter 
l'accélération, et par suite la force, est, pour toute va- 
leur de t, celle qui va du mobile au point fixe. Or la 
première loi de Kepler exprime précisément que les 
hypothèses de ce théorème sont réalisées pour le mou- 
vement des planètes, si on prend pour t le nombre des 
oscillations du pendule à secondes. A cette condition 
on pourra clone énoncer cette proposition nouvelle : 
La force qui agit sur les planètes est dirigée vers le 
Soleil, ou, comme on dit, les planètes sont soumises à 
une force attractive. La notion de force étant ainsi sura- 
joutée à celles qui entraient déjà clans les lois de 
Kepler, il en résulte une modification du langage. Ce 
qui s'exprimait d'une certaine façon, à l'aide des pre- 
mières notions, s'exprimera autrement en fonction ed 



100 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



termes nouveaux. Et on sera autorisé à remplacer une 
partie au moins des lois primitives par cette loi de la 
force. 

Il serait puéril d'insister sur l'absence complète de 
signification métaphysique de la loi nouvelle. Mais il y 
a plus, et ce que nous cherchons à rendre manifeste, 
c'est l'absence de toute signification absol ue relative aux 
phénomènes. Elle ne dit rien de plus au fond que les 
lois de Kepler, lesquelles avaient simplement pré- 
senté sous un jour spécial à l'esprit, dans un lan- 
gage fait par lui et pour lui, le contenu des observations 
de Tycho-Brahé. Si nous disons : les planètes sont atti- 
rées par le Soleil, nous ne sortons pas de l'intelligible, 
nous n'énonçons même pas une propriété nouvelle sen- 
sible des phénomènes. 

Il y a une tendance à croire que, si la loi n'explique 
pas, malgré le grand mot d'attraction, la cause du mou- 
vement de la planète vers le Soleil, du moins ce mou- 
vement existe, sauf qu'il est contrarié par un autre, 
d'où résulte le mouvement observé. Et précisément, en 
raison de l'impossibilité d'observer directement le mou- 
vement atttractif, la mécanique céleste, en nous en appre- 
nant l'existence, nous ferait réaliser un progrès notable 
dans la connaissance des phénomènes. Une s'agit plus ici 
de fantômes métaphysiques à écarter, mais bien d'une 
confusion entre l'intelligible et le monde des phénomènes. 

Un mot suffira pour détruire toute illusion. Qu'on se 
rappelle la condition toute particulière relative à la me- 
sure du temps que sous-entendait la loi de Kepler, et 
qu'on suppose seulement changée la définition de la 
durée, c'est-à-dire le nombre qui, clans les observa- 
tions, doit se substituer au paramètre t de la méca- 
nique rationnelle, ~- l'accélération, etpar suite la force, 
que nous disons agir sur les planètes, ne passe plus 
&r le Soleil. Le mouvement attractif disparaît. Delà 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 101 

nouvelle loi qu'il faudrait substituer à celle de Kepler 
se tirerait encore logiquement une loi relative à la 
force, et, suivant les définitions adoptées, l'énoncé 
pourrait différer plus ou moins du premier, la force au- 
rait telle ou telle direction. Que devient dans tout cela 
la propriété sensible révélée par la loi? 

— Continuons : La direction de la force une fois con- 
nue, quelle en est l'intensité? On établit en mécanique 
rationnelle, par de simples considérations de géométrie 
et d'analyse, une formule donnant l'expression d'une 
force qui passe par un point fixe, quand on connaît 
l'équation de la trajectoire plane. Delà deuxième loi de 
Kepler on déduit alors aisément que l'intensité de la 
force attractive relative à une planète a pour va- 
leur où m est la masse de la planète, r le rayon 
vecteur, k une certaine constante. Et on dit : la force 
est en raison inverse du carré de la distance, etpropor- 
tionnelle à la masse. Enfin, de la troisième loi de Kepler 
on déduit ce fait que la constante k est la môme pour 
toutes les planètes. 

Voilà donc les lois de Kepler remplacées désormais 
par d'autres qui ne disent rien de plus sur les phéno- 
mènes célestes, mais qui disent autrement. Le pas- 
sage des unes aux autres se faisant par des raisonne- 
ments rigoureux, il est clair que celles-ci recevront de 
l'expérience la même vérification que les autres, celle 
qu'une induction autorise quand elle se fonde sur les 
observations précises et correctes de Ïycbo-Brahé, et 
que rend plus facile la simplicité du langage. 

On sait comment Newton fut conduit de ces lois par- 
ticulières à la grande loi de la gravitation universelle. 
Les lois de Kepler vérifiées pour les satellites de chaque 
planète, par rapport à la planète, autorisent l'extension 
de la force attractive aux planètes avec une formule 
analogue pour l'intensité. On calcule l'accélération de 

6. 



102 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



la Lune due à la force attractive de la Terre, et on cons- 
tate qu'à la distance du rayon terrestre, substituée à 
celle des deux astres, elle devient justement égale à 
celle de la pesanteur. De là, la généralisation de cette 
force centrale s'exerçant sur tous les corps à distance 
quelconque. Puis cette remarque, faite à propos de la 
pesanteur, que la force attractive s'exerce également 
sur toutes les molécules d'un corps, et le principe de 
Faction et de la réaction donnent finalement la loi de la 
gravitation : Deux points matériels quelconques s'at- 
tirent mutuellement, proportionnellement à leurs 
masses, et en raison inverse du carré de leur distance. 
Loi vraiment admirable de simplicité, d'un maniement 
autrement aisé que les lois de Kepler, à fortiori que les 
faits qui leur servaient de base ! Loi dont la fécondité 
peut bien à elle seule justifier, à tous les yeux, les fic- 
tions qui ont servi de point de départ à la mécanique 
céleste, mais à la condition que cette justification soit 
comprise. Si nous avons su dans cette étude exprimer 
notre pensée, on jugera comme nous que les vérifica- 
tions expérimentales de toutes sortes, qu'elle recevra, 
non seulement ne prouveront l'existence d'aucune at- 
traction, au sens métaphysique du mot, mais encore 
n'établiront aucun lien nécessaire entre les phénomènes 
eux-mêmes et nos fictions; celles-ci forment un lan- 
gage d'une perfection incontestable, mais ce langage ne 
cesse d'appartenir au domaine de l'intelligible, et de se 
former parallèlement à l'observation des faits, sans 
que jamais nous puissions juger objectivement néces- 
saire, sous prétexte de vérification, un seul des éléments 
dont il est formé. 

II 

Nous nous sommes borné à un exemple fourni par la 
mécanique. Des considérations analogues trouveront 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 103 



leur place dans tous les cas où la mathématique pénètre 
dans le domaine des faits. On saura chaque fois mon- 
trer un certain nombre de fictions lui donnant accès, 
et lui permettant de jouer le rôle que nous avons tâché 
de définir. Mais les principes suggérés par l'observa- 
tion, et qui fournissent entre ces éléments nouveaux 
les premières relations, les équations fondamentales, 
forment parfois ce qu'on appelle une hypothèse scienti- 
fique. Il semble qu'il y ait ici plus qu'un simple langage 
adapté à un ordre de phénomènes. Une tentative d'ex- 
plication s'y ajoute, et la mathématique, en servant 
d'intermédiaire entre l'hypothèse et les faits, et per- 
mettant ainsi de la mettre à l'épreuve de l'observation, 
paraît capable d'en donner une démonstration, et de 
joueralors un rôle effectif dans la connaissance. Voyons 
de plus près ce qu'il en est. 

Un certain nombre de faits observés suggèrent une 
théorie dont le premier caractère indispensable est 
d'expliquer ces faits eux-mêmes. L'explication consiste 
d'ailleurs à les relier, par l'intermédiaire du langage 
scientifique, à d'autres faits qu'elle donne comme anté- 
cédents. Quelle qu'elle soit, pour l'unique raison que 
des phénomènes d'un certain ordre y trouvent un rap- 
port commun, il n'est pas surprenant que des phéno- 
mènes non encore observés se trouvent aussi répondre 
aux relations qu'énonce la théorie nouvelle. L'observa- 
tion ne tarde donc pas à grossir le nombre des faits qui 
s'expliquent par elle. Il peut arriver que ce nombre 
devienne très grand, et qu'en même temps des consé- 
quences prévues de l'hypothèse se réalisent. Dirons- 
nous alors avec Cournot que « la probabilité de l'hypo- 
thèse peut aller jusqu'à ne laisser aucune place au 
doute dans un esprit éclairé ? » C'est là un jugement 
que nous ne saurions accepter sans réserves. Qu'on 
songe, par exemple, à l'hypothèse de laNébuleuse. 



104 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



Les mouvements des planètes qui s'effectuent dans 
des orbites presque circulaires, à peu près dans le plan 
de l'équateur solaire et dans le sens de la rotation du 
soleil, avaient suggéré à Laplace l'idée de leur attribuer 
une origine commune dans la nébuleuse solaire. Sa 
théorie rendait compte du mouvement des onze pla- 
nètes et des dix-huit satellites que l'on connaissait de 
son temps. Les astronomes ont depuis découvert plus 
de 200 petites planètes entre les orbites de Mars et de 
Jupiter, une énorme planète, Neptune, au delà d'Ura- 
nus, et tous ces corps, sans compter de nouveaux sa- 
tellites trouvés autour de Saturne, de Mars et de Nep- 
tune, circulent comme les premiers. Voilà donc un 
ensemble imposant de données dont tes unes ont sug- 
géré l'hypothèse, et dont les autres semblent en être 
une merveilleuse confirmation. L'expérience de Pla- 
teau est venue mettre sous nos yeux une réalisation 
saisissante de cette hypothèse. En outre l'existence de 
plus en plus probable du feu central, sous l'écorce ter- 
restre, est un des faits les plus significatifs en faveur 
de l'origine ignée de notre planète. Et enfin le spectacle 
de certaines nébuleuses à noyau central, qui depuis 
Herschell a sollicité la curiosité des astronomes, a pu 
passer pour un argument des plus décisifs. Aucune hy- 
pothèse semblera-t-elle jamais si près d'être démontrée 
qu'a pu le paraître celle de Laplace? 

Voici pourtant des faits qu'il est difficile de concilier 
avec elle. Laplace avait observé que le sens de rotation 
des planètes est direct, identique à celui de la rotation 
du soleil, et il avait même fait entrer dans son calcul 
les rotations des planètes et de leurs satellites au même 
titre que les circulations, lorsqu'il trouvait « qu'il y a 
plus de quatre milliards à parier contre un que la dis- 
position du système solaire n'est pas l'effet du hasard». 
Or, dans son hypothèse, la rotation directe d'une pla- 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SClEiNCE GÉNÉRALE 105 

nète, loin d'être un fait de môme ordre que sa circula- 
tion directe, semble au contraire s'expliquer difficile- 
ment. On peut, il est vrai, en se reportant à Laplace 
lui-même, essayer de faire disparaître cette difficulté, 
mais alors on se heurte à une contradiction nouvelle: 
les satellites de Neptune et cl'Uranus tournent dans le 
sens rétrograde, et les astronomes nous disent que, se- 
lon toute probabilité, c'est aussi le sens de rotation de 
ces planètes. Dans les deux cas, nous sommes en pré- 
sence d'unécueil, contre lequel semble se briser l'hy- 
pothèse de Laplace. — Ce n'est pas tout: le mouvement 
d une planète devenant plus rapide après l'abandon de 
l'anneau, la durée de la rotation de la planète sera né- 
cessairement moindre, dans l'hypothèse de Laplace, 
que celle de la révolution de l'anneau ou des satellites 
auxquels il a donné naissance ; de là une limite infé- 
rieure imposée à la durée de la révolution d'un anneau 
ou d'un satellite, à savoir la durée de rotation de la pla- 
nète, et en même temps, d'après la loi de Kepler sur les 
temps des révolutions, un minimum imposé à sa dis- 
tance au centre de la planète. Or, dîme part, on a dé- 
couvert un satellite de Mars qui met moins de temps à 
circuler autour de sa planète que celle-ci n'en meta 
tourner sur elle-même ; d'autre part, l'anneau intérieur 
de Saturne est à une distance du centre de la planète 
inférieure à la limite prévue par le calcul. 

On sait qu'une théorie nouvelle, due à M. Faye, ré- 
pond, dans une certaine mesure, à toutes les difficultés 
soulevées par l'hypothèse de Laplace. Il est vrai que 
quelques savants ne l'accueillent pas sans restriction. 
Mais, de toutes façons, la conception de Laplace doit se 
modifier. Quelle que soitla forme nouvelle qu'elle doive 
revêtir aujourd'hui, l'avenir seul en fera connaître la 
durée. Et enfin les corrections ne seront peut-être pas 
toujours suffisantes ; rien ne nous empêche d'entrevoir 



106 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



la nécessité de renoncer un jour, si les objections s'ac- 
cumulent, à Fidée même de la Nébuleuse originelle. 

En insistant sur l'hypothèse de Laplace, nous avons 
voulu surtout faire ressortir le caractère éminemment 
provisoire, malgré les plus éclatantes confirmations de 
l'expérience, de pareilles théories. Jamais un esprit 
éclairé n'aura le droit de déclarer une hypothèse défi- 
nitive. Mais allons plus loin : supposons-nous, par une 
audacieuse fiction, certains de l'avenir, et acceptons 
qu'aucun fait nouveau ne doive jamais contredire l'hy- 
pothèse ; nous n'aurons rien appris sur sa réalité objec- 
tive. Que saurons-nous en effet ? C'est qu'une suite de 
phénomènes, imaginée par nous et substituée aux phé- 
nomènes réels, inobservables, et, par suite., éternelle- 
ment inconnus, aurait pour conséquence les mêmes 
événements futurs, en vertu des relations spéciales que 
notre esprit établit lui-même entre les phénomènes. 

Nous opposons ici l'avenir au passé, comme nous y 
a conduit l'hypothèse de Laplace. Sans rien changer 
aux idées, nous pouvons de même opposer aux phéno- 
mènes d'autres phénomènes simultanés, inobservables, 
mais explicatifs des premiers, comme dans la théorie 
de l'éther et de ses vibrations. Si, pour de semblables 
hypothèses, nous étions assurés que l'avenir ne nous 
fera connaître aucune contradiction, nous saurions sim- 
plement que certains rapports nouveaux entre les phé- 
nomènes étant créés par nous {ceux qu énonce juste- 
ment l'hypothèse), les phénomènes d'un certain ordre 
sont exprimables à l'aide de ces rapports. Qu'est-ce à 
dire sinon que nous aurions imaginé un langage s' adap- 
tant à merveille avec ces phénomènes? 

Eh bien, ce cas, en apparence irréalisable, peut très 
bien se produire, et c'est alors que, l'hypothèse se fon- 
dant en un langage mathématique, celui-ci vient tout 
simplement jouer son rôle habituel. 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 107 



Expliquons-nous. 

Qu'au début de la mécanique, au lieu d'énoncer des 
principes suggérés par l'expérience, on fasse l'hypo- 
thèse suivante : La matière est constituée dé telle sorte 
qu'elle conserve indéfiniment l'état de repos ou de 
mouvement rectiligne uniforme, si aucune force n'agit 
sur elle; et ainsi de suite, de façon à énoncer, sous une 
forme particulière, les postulats fondamentaux. En 
somme, cela ne différerait pas beaucoup de ce qu'on 
fait d'ordinaire. Nous nous trouverions alors en pré- 
sence d'une véritable hypothèse explicative. Dira-t-on 
que l'observation des faits la confirme juqu'à ce jour 
seulement et qu'elle a un caractère provisoire ? On n'y 
songera pas. Si une conséquence quelconque de cette 
hypothèse, par exemple la prédiction d'un phénomène 
astronomique, à laquelle conduirait la mécanique cé- 
leste, ne se trouve pas réalisée, on n'aura jamais envie 
d'en accuser la mécanique rationnelle qui se fonde sur 
cette prétendue hypothèse. On se dira seulement : 
Quelque fait jusquici inconnu, la présence dans le ciel 
de quelque corps céleste ignoré, par exemple, et dont 
il n'a pas été tenu compte dans les calculs, peut jouer 
un rôle dans le problème et changer toutes les conclu- 
sions. Nous ne doutons pas un seul instant que jamais 
aucun fait ne viendra infirmer les postulats de la méca- 
nique rationnelle. Et pourquoi cette certitude ? La rai- 
son en est dans la possibilité de transformer ces postu- 
lats en définitions, et clans cette circonstance que toute 
hypothèse a disparu pour laisser place à un langage 
spécial. Certes ce langage ne pourra pas s'adaptera tous 
les phénomènes ; il y aura lieu d'introduire pour cer- 
tains cas de nouvelles notions. Mais, de toutes façons, 
la question de la validité de l'hypothèse n'a plus à se 
poser. 

A quelles conditions une hypothèse pourra-t-elle pré- 



108 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



senter ce caractère dépasser désormais pour définitive? 
La réponse- est tout indiquée maintenant.il faut et il 
suffit qu'elle puisse se formuler en définitions ; en 
d'autres termes, il faut et il suffit que le nombre des 
propositions qu'elle énonce sur les éléments nouveaux, 
dont elle fait connaître les rapports, soit tel que chacun 
de ces éléments se trouve défini. Il est difficile de fixer 
ces conditions avec plus de précision ; tout au moins on 
peut dire, par exemple, que, plus est considérable le 
nombre des notions nouvelles, plus l'hypothèse a de 
chances de subsister jusqu'à ce que le nombre des pos- 
tulats soit devenu suffisant pour lui permettre de se 
transformer en définitions. On peut dire encore que 
plus est fictive, plus est d'apparence métaphysique, en 
dehors des phénomènes observables, la nature de ces 
notions nouvelles, moins l'hypothèse risque d'être 
ébranlée par l'observation, et plus elle a de chances de 
devenir une conquête définitive de la science. Il faut 
qu'on ait suffisamment compris le sens de ce caractère 
définitif, pour que cette dernière proposition ne soit pas 
un paradoxe effrayant capable de troubler la mémoire 
d'Auguste Comte. 

Pour l'hypothèse des ondulations lumineuses, par 
exemple, en dehors de ce qu'elle s'harmonise jusqu'ici 
avec tous les phénomènes lumineux connus, n'est-il pas 
permis de dire qu'un gage de sa durée, et une présomp- 
tion en faveur de son caractère définitif, se trouvent 
d'abord dans la nature absolument inobservable des 
notions qu'elle apporte, et ensuite dans le nombre des 
éléments qu'elle implique, et dont quelques-uns restent 
encore indéterminés, à la disposition, pour ainsi dire, 
de quelque fait nouveau à expliquer ? Tel est, par 
exemple, le mode de répartition des vibrations dans les 
directions diverses du plan perpendiculaire au rayon 
lumineux ; telle est encore la forme des trajectoires par- 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 109 



courues parles molécules d'éther durant une vibration, 
et que, jusqu'à nouvel ordre, il est naturel d'admettre 
rectilignes, etc. Il ne faudrait pas s'étonner outre me- 
sure de voir un jour tout l'échafaudage de l'hypothèse 
des ondulations se fondre en un langage définitif 
qui, peut-être, s'appliquerait ensuite aisément aux 
phénomènes lumineux, calorifiques, électriques et 
autres. Le nouveau chapitre de mathématiques qui en 
serait le développement commencerait alors par des dé- 
finitions du genre de celle-ci : Étant donné qu'une chose 
se propage, que les rayons émanés de deux sources 
viennent en un certain point, où ils concourent, donner 
lieu à une augmentation ou à une diminution d'inten- 
sité, si la mesure des chemins parcourus établit les faits 
suivants : « a une différence de chemin égale à un mul- 
tiple pair d'une quantité fixe K correspond une aug- 
mentation d'intensité ; à une différence égale à un mul- 
tiple impair de la môme quantité correspond une 
diminution d'intensité », on dira que la propagation 
dont il s'agit se produit par ondulations de Vêther. La 
quantité fixe 2K sera la longueur d'onde, etc. Si cette 
prédiction se réalisait, l'hypothèse aurait atteint cet 
idéal d'être désormais à l'abri de toute contradiction cle 
fait, elle serait bien définitive pour certaines catégories 
de phénomènes. 

Mais qu'on y prenne garde. Pour en arriver là, non 
seulement elle perdrait toute signification métaphy- 
sique, mais môme elle renoncerait à rien représenter 
du monde des phénomènes sensibles ; elle se transfor- 
merait en une expression purement formelle de cer- 
tains faits [V. 

(1) A propos de l'hypothèse des ondulations lumineuses, signalons 
une discussion curieuse et fort suggestive que nous ont rapportée, il y 
a quelques années, les comptes rendus de l'Académie des Sciences. De 
fortes présomptions ont conduit Fresnel et, à sa suite, la plupart des 



G. Milhaud. 



7 



MO 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



En résumé, la mathématique ne nous permet jamais 
de porter sur les phénomènes non observés une affir- 
mation certaine, à l'abri du principe de contradiction. 
Quand, ayant pris son essor à l'occasion de quelques 
postulats suggérés par l'observation, elle se montre 
particulièrement utile et instructive, non seulement elle 
ne permet jamais qu'une prédiction probable, niais en- 
core, les prédictions d'un certain ordre fussent-ellés 
indéfiniment réalisées, elle n'apprend jamais rien sur 
les postulats, envisagés non seulement dans leur signi- 
fication métaphysique, mais même dans leur réalité 
phénoménale. 

Lorsque enfin elle semble permettre la vérification 

physiciens, à admettre que la direction de la vibration, dans la lumière 
polarisée, est perpendiculaire au plan de polarisation. Cependant on ne 
pouvait citer aucune expérience démonstrative à l'appui de cette opi- 
nion, et d'ailleurs des savants tels que Mnc-Cullagh et Neumann ont sou- 
tenu que la vibration est dans le plan de polarisation. Le 9 février 1891, 
M. Cornu annonçait à l'Académie des sciences qu'une expérience déci- 
sive, due à M. Wiener, donnait définitivement raison à Fresncl. 

Une pellicule photographique extrêmement mince est déposée dans le 
voisinage d'une surface réfléchissante sur laquelle tombe, et se réflé- 
chit à 45°, un faisceau polarisé. La pellicule qui a ainsi reçu deux fais- 
ceaux à angle droit est développée comme un cliché et laisse voir une 
série de franges. 11 y a donc dans l'onde résultante alternativement des 
maxima et des minima d'intensité ; autrement dit, les intensités s'ajou- 
tent et se retranchent. Or, il faut pour cela que les vibrations soient 
parallèles et, par suite, perpendiculaires au plan d'incidence. — Halte- 
là! fait alors observer M. Poincaré. Qu'appelez-vous intensité lumineuse? 
Est-ce dans l'énergie cinétique ou dans l'énergie potentielle de l'éther 
que vous la faites résider ? En d'autres termes, est-ce dans le déplace- 
ment de la molécule ou dans la quantité qu'on nomme axe de glisse- 
ment ? Si les deux faisceaux se coupent sous un angle très petit, les 
deux quantités interfèrent. Mais sous un angle droit, l'une des deux seu- 
lement sera d'amplitude variable. Si c'est le déplacement de la molécule, 
l'expérience de M. Wiener donne raison à Fresnel, si c'est l'axe de glis- 
sement, elle donne raison à Neumann. Et nous pouvons d'autant moins 
nous prononcer que nous ne savons pas du tout ce qui dans l'action pho- 
tochimique détermine la décomposition. — Fort bien, répond à son tour 
M. Cornu, mais une autre expérience nous apprend que l'intensité lu- 
mineuse doit bien être placée dans l'énergie cinétique de l'éther. Qu'on 
suppose une surface plane, de pouvoir réfléchissant égal à l'unité, et 



ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 111 



des grandes hypothèses et jouer ainsi un rôle immense 
dans la connaissance générale de l'univers, ou bien 
l'hypothèse porte directement sur des faits inconnus, 
et alors elle ne cesse jamais d'avoir un caractère provi- 
soire, et de se présenter comme explication suffisante, 
non nécessaire ; ou bien l'hypothèse peut, sous une cer- 
taine forme, entrer décidément dans la science et four- 
nir à la mathématique l'occasion de développements 
définitifs, mais c'est alors à la condition que celle-ci re- 
nonce à toute prétention objective et remplisse sim- 
plement sa fonction de langage créé par l'esprit pour 
l'esprit. 

qu'on y envoie normalement un faisceau polarisé. La vibration réfléchie 
est égale et contraire à la vibration incidente. Les deux théories de Fres- 
nel et de Neumann donnent alors la surface réfléchissante comme un 
plan Doclal, c'est-à-dire un plan d'intensité minima, dans l'onde for- 
mée par la superposition des faisceaux incident et réfléchi. M. Wiener a 
à peu près réalisé ces conditions avec une surface en verre, enduite 
d'une pellicule photographique. Il a vu sur celle-ci des anneaux con- 
centriques, et au centre rien. Donc, concluent MM. Cornu et Potier, la 
pellicule n'a été affectée que par les déplacements vibratoires ou par 
l'énergie cinétique. — Mais, dit M. Poincaré, ici encore, entre l'expé- 
rience et l'interprétation se glisse une hypothèse. Pourquoi veut-on 
qu'avec une surface de pouvoir réfléchissant presque égala 1, mais non 
égal à 4, il faille admettre le plan réfléchissant comme un plan nodal, 
en vertu des deux théories de Fresnel et de Neumann ? C'est admettre 
une continuité qui n'est rien moins que démontrée. La limite d'une 
fouction continue peut très bien être discontinue. 

Sans prendre parti dans une discussion aussi spéciale, n'est-il pas 
intéressant de mettre en évidence, sur cet exemple particulier, la diffi- 
culté de donner à une expérience quelconque une interprétation jugée 
nécessaire? Et encore il ne s'agit ici que d'une nécessité toute relative. 
Admettons que l'expérience de M. Wiener mérite d'être appelée décisive, 
comment faut-il l'entendre ? On aura démontré que, étant admis les 
premiers principes de la théorie des ondes lumineuses, ils ont pour con- 
séquence telle direction du déplacement moléculaire ; on aura simple- 
ment fixé, de façon à interpréter avec précision une expérience nouvelle, 
un des éléments jusque-là indéterminés, qui, entrant désormais dans le 
langage spécial de la théorie, aidera à traduire les phénomènes lumi- 
neux. 



TROISIÈME PARTIE 



Après avoir établi, par la double étude qui précède, 
l'impossibilité absolue d'affirmer, au nom du principe 
de contradiction, une vérité quelconque dépassant les 
faits observés, nous croyons indispensable d'aborder 
l'examen direct de quelques problèmes, à propos des- 
quels une opinion courante semble s'être formée en 
contradiction manifeste avec nos conclusions : Nous 
devons, pour chacun d'eux, montrer l'erreur des affir- 
mations qu'on nous apporte. 

Il s'agit d'abord du prétendu conflit de la liberté et 
de quelques équations de mécanique, puis des graves 
conséquences que Ton tire ordinairement de la géomé- 
trie non euclidienne, enfin de la solution des antino- 
mies de Kant présentée au nom du principe de contra- 
diction. 



LA MÉCANIQUE ET LA LIBERTÉ 



113 



CHAPITRE PREMIER 

LA MÉCANIQUE ET LA LIBERTÉ 



Depuis environ deux cents ans, c'est-à-dire depuis 
qu'après les travaux de Galilée et de Huyghens s'est 
constituée une science mathématique du mouvement^ 
il n'est pas rare devoir le vieux déterminisme physique 
essayer de se rajeunir, en empruntant ses arguments 
aux progrès de cette science. On dirait qu'une antino- 
mie nouvelle a été créée, qui pose le fait de la liberté en 
contradiction avec les théorèmes de mécanique ration- 
nelle. C'était déjà par considération des lois générales 
de la dynamique que Leibnitzse laissait guider, quand, 
déclarant impossible l'action de l'âme sur le corps, il se 
rejetait sur son hypothèse de l'harmonie préétablie. — 
Et encore les lois importantes étaient plutôt pressen- 
ties que démontrées; une intuition géniale avait seule 
inspiré à des hommes tels que Huyghens et Leibnitz 
des propositions qui ne sont devenues que plus tard 
l'objet de démonstrations mathématiques. Aujourd'hui 
ces lois s'énoncent sous forme de théorèmes. En les in- 
voquant désormais, le déterminisme croit devenir une 
théorie scientifique qui aurait garde de se confondre 
avec cette croyance primitive, plus ou moins vague, à 
la nécessité des lois de l'univers. Montrons qu'il se 
trompe, et que, même après sa transformation appa- 
rente, le déterminisme physique reste ce qu'iln'a jamais 
cessé d'être, le sentiment à priori que tout est déter- 
miné dans la nature. 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



I 

Et d'abord, quels sont les théorèmes ordinairement 
invoqués? — Étant donné un système de points maté- 
riels en mouvement sur lequel n'agit aucune force ex- 
térieure: 1° le centre de gravité décrit une droite d'un 
mouvement uniforme ; il reste fixe si le système était 
primitivement au repos ; 

2° Si on projette tous les points matériels sur un 
plan et qu'on trace les rayons qui joignent leurs projec- 
tions à un point fixe du plan, la somme des aires dé- 
crites par tous ces rayons est constante dans un temps 
donné ; elle reste nulle, par exemple, si le système était 
primitivement au repos ; 

3° Si on projette les quantités de mouvement sur un 
axe quelconque, la somme des projections sur cet axe 
reste constante ; 

4° La variation de la force vive dans un temps donné 
est égale au travail total des forces intérieures, et, si 
celles-ci ne dépendent que de la distance des points, la 
variation de la force vive est nulle pour les différents 
étals du système où les distances des points se re- 
trouvent les mêmes; en particulier, la force vive reste 
constante si on peut négliger les variations de distance 
des points du système. 

Comment voit-on dans ces propositions de méca- 
nique rationnelle une arme redoutable contre la li- 
berté ? C'est fort simple : on les applique à l'univers, et 
on dit : Si le centre de gravité de l'ensemble de tous les 
corps décrit une droite fixe d'un mouvement uniforme ; 
si la somme des aires décrites parles rayons vecteurs 
de toutes les molécules projetées sur un plan reste in- 
variable ; si la somme des quantités de mouvement 
projetées sur une droite se conserve ; si enfin la quan- 



LA MÉCANIQUE ET LA LIBERTÉ 



115 



(ité de force vive reste constante dans l'univers, la pro- 
duction d'un acte libre est impossible ; car tout acte se 
produit par un mouvement, et un mouvement qui ne 
résulterait pas nécessairement à un instant donné de 
l'ensemble des mouvements antérieurs viendrait alté- 
rer la valeur de quelqu'une de ces constantes. 

Voyez-vous ces oiseaux qui se poursuivent joyeuse- 
ment dans l'espace, et croient sans doute voler à leur 
gré ; ce papillon qui voltige de fleur en fleur ; ces 
abeilles qui choisissent dans mon jardin les parfums 
préférés, et vous-mêmes qui pensez lire et tourner les 
feuillets de ce livre parce que cela vous plaît; et tous 
les êtres qui couvrent la terre, que dis-je? tous les êtres 
qui s'agitent à la surface des planètes; que dis-je enfin? 
tous ceux qui peut-être promènent sur une infinité de 
globes roulants l'illusion de leur liberté. .., dites-moi 
seulement où était le centre de gravité de l'ensemble 
de l'univers à deux instants précis du passé, et je vous 
dirai exactement, pour tout instant de l'avenir, où vient 
fatalement se fixer ce centre de toutes les particules, 
que déplacent cependant ces fourmilières innombrables 
d'êtres vivants. Leurs mouvements s'harmonisent pré- 
cisément de telle façon que ma prédiction se réalisera. 
Un lien fatal les unit donc ; peut-il être compatible avec 
des manifestations libres ? 

On étonnerait beaucoup ceux qui tiennent un pareil 
langage et qui condamnent aussi aisément, au nom de 
la science positive, quelque illusion de la conscience, 
si on les accusait eux-mêmes de renouveler les procé- 
dés du symbolisme métaphysique le plus primitif. On 
ne risquerait guère cependant que de rester au-des- 
sous de la vérité. Les explications étranges des choses, 
que certaines sectes de Pythagoriciens tiraient des pro- 
priétés des nombres, n'étaient pas moins compréhen- 
sibles que les théories fondées sur les symboles de la 



116 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



mécanique rationnelle. Toutes les quantités que celle- 
ci fait entrer dans ses calculs ne sont-elles pas des fic- 
tions dont il plaît à L'esprit de doter le langage scienti- 
fique à propos du mouvement? Ce sont des circons- 
tances intelligibles imaginées pour former une langue 
spécialement adaptée à certains phénomènes: nous y 
avons insisté amplement. 

L'hypothèse d'un ensemble de points matériels, sou- 
mis seulement à des forces intérieures, signifie que, 
dans les relations mathématiques, traduisant les cir- 
constances du mouvement, n'entrent que des forces 
égales deux à deux et de sens contraire pour toutes les 
couples de deux points. On suppose, en d'autres termes, 
que la position des divers points du système, à chaque 
instant, soit exprimable seulement en fonction de pa- 
reils éléments géométriques et du temps. Le théorème 
de la conservation de la force vive exige en outre que 
les expressions analytiques des forces soient seule- 
ment fonctions des distances des molécules, et enfin 
que la variation de ces distances soit négligeable. Ces 
hypothèses nettement posées conduisent à des proposi- 
tions d'une certitude apodictique. Mais, qu'il s'agisse 
d'une application physique : non seulement nous ne 
pourrons jamais affirmer la réalisation des hypothèses 
précédentes, mais encore la question même de cette 
réalisation concrète est dépourvue de sens. 

Si certains cas particuliers viennent vérifier les con- 
clusions théoriques, si, par exemple, le recul d'un 
canon, calculé d'après le théorème relatif au centre de 
gravité, se trouve vérifié par l'expérience, nous serons 
simplement renseignés sur l'opportunité précieuse des 
hypothèses et des fictions de la mécanique dans cer- 
tains cas déterminés; et ces exemples seront la raison 
d'être, nous allions dire l'excuse, du langage adopté. 
Mais, si nombreux qu'ils soient, ils ne permettront 



LA MÉCANTQUE ET LA LIBERTÉ 



117 



jamais, d'une part, d'affirmer la nécessité objective de 
ce langage, ni, d'autre part, d'assurer à priori la même 
opportunité pour le fait le plus simple qu'on imagine. 

Que font cependant les partisans du déterminisme 
mécanique? Donnant d'abord à certaines propositions 
un sens concret qu'elles ne comportent pas, ils affir- 
ment sur les choses mêmes ce qui n'était établi que 
pour des fictions. La réalisation des hypothèses de la 
mécanique rationnelle devient pour eux une question 
des plus simples, et ils croient, de bonne foi, que dans 
tel ou tel cas, où l'expérience a justifié l'emploi des 
théorèmes, les corps se divisent bien réellement en 
particules telles que de deux quelconques d'entre elles 
émanent en sens inverse, suivant la ligne de jonction, 
des entités semblables à des flèches, des tendances cà 
rapprocher ou à éloigner. Ils croient pouvoir affirmer 
aisément que dans telles circonstances ce sont les 
seules entités sur lesquelles il faille compter, tandis 
que d'autres fois les éléments des corps sont soumis à 
des actions n'émanant plus de ces éléments eux-mêmes, 
et ne se rangeant plus par groupes de deux (c'est ce 
qu'ils appellent les forces extérieures). Sans attendre le 
verdict de l'expérience, ils déclarent à priori que, dans 
tous les cas du premier genre, l'application des théo- 
rèmes est conforme à la réalité. Et enfin, dépassant en 
audace tout ce qui semble permis, à quelques exemples 
particuliers où l'observation est plus ou moins facile, 
parce qu'elle porte sur un ensemble déterminé de corps, 
ils assimilent le cas de l'univers entier envisagé dans 
sa totalité! Certes, les conceptions les plus étranges 
peuvent être admises si elles ont quelque chance de 
contribuer aux progrès de la science; mais, du moins, 
qu'on sache faire la part de ce qui est démontré et de 
ce qui ne l'est pas ; qu'on ne prenne pas pour la con- 
clusion de raisonnements mathématiques et absolu- 

7. 



118 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



ment rigoureux ce qui n'est qu'une hypothèse. Lorsque 
Descartes admettait que dans l'univers entier la quan- 
tité de mouvement est constante, il ne présentait pas 
cotte proposition comme un résultat scientifique : 11 fai- 
sait reposer cette permanence delà quantité de mouve- 
ment sur l'immutabilité divine. Le théorème relatif à la 
quantité de mouvement s'énonce aujourd'hui différem- 
ment ; on fait une addition de quantités dirigées, comme 
dans la composition des forces, au lieu d'une somme 
de quantités algébriques. Mais, quand, avec l'énoncé 
nouveau, on envisage l'ensemble de l'univers, on ne se 
doute pas assez que cette loi n'est pas plus un théo- 
rème démontré que ne pouvait l'être celle de Descartes. 
La loi de la conservation des aires, la loi de la conser- 
vation de la force vive, appliquées à l'univers, n'énon- 
cent pas davantage des théorèmes établis, mais sim- 
plement des hypothèses. 

Ces hypothèses admises, est-ce que la liberté serait 
par là détruite ? Qui empêcherait de soutenir le con- 
traire ? Toute discussion sur la liberté aboutit à telle 
ou telle conclusion suivant le sens qu'on attache à ce 
mot. Si I on veut bien admettre que je puisse res ter libre, 
quoique je sois incapable de soulever un poids trop 
lourd, ou de voir jaune une couleur noire ; quoique je 
doive me borner, sous peine de tomber, quand je me 
tiens sur un seul pied, par exemple, aux mouvements 
qui n'entraîneront pas la projection de mon centre de 
gravité au delà du contour de mon pied, etc., pourquoi 
déclarer la liberté incompatible avec telles lois phy- 
siques que Ton voudra ? Aucune démonstration n'existe 
et ne saurait exister défendant d'imaginer une vie psy- 
chologique libre en face des nécessités cinétiques de la 
matière (1). 



(1) Voir Bergson, les Données immédiates de la conscience } p. 114. 



LA MÉCANIQUE ET LA LIBERTÉ 



119 



Mais peu importe : admettons tout de suite, avec 
ceux dont nous combattons les idées, que nos lois mé- 
caniques générales appliquées à l'ensemble de l'uni- 
vers sont contradictoires avec le lait de la liberté psy- 
chologique. Alors, de deux choses l'une : ou vous ne 
croyez pas à la liberté, ou vous y croyez. Dans le pre- 
mier cas, si étrange que soit l'induction par laquelle on 
s'élève de quelques exemples simples, où une façon de 
parler a été précieuse, à une hypothèse portant sur 
cette chose à peine compréhensible qui est l'univers, 
vous pouvez adopter cette hypothèse. Mais, si vous 
croyez à l'existence de l'acte libre, si vous croyez par 
cela même qu'il faut compter avec d'autres causes de 
mouvement que les forces dites intérieures et simple- 
ment fonctions des distances, vous déclarerez fausses 
les prétendues lois générales de la mécanique. En 
d'autres termes, ce ne sont pas ces lois qui démontrent 
le déterminisme : c'est, au contraire, une opinion pré- 
conçue sur l'existence de la liberté qui permet ou qui 
défend de les énoncer. 

Une objection ne manquera pas de nous être faite : 
s'il paraît trop audacieux d'étendre les théorèmes de 
la mécanique à l'univers entier, bornons-nous à consi- 
dérer le système solaire. Voilà un ensemble de corps 
isolé dans l'espace, ou du moins qu'on n'hésite pas à 
envisager, dans les recherches astronomiques, comme 
soustrait à toute action extérieure. Il suffit peut-être 
aux partisans du déterminisme que l'application des 
théorèmes de la mécanique à cet ensemble soit justifié. 
Or, on le sait, les astronomes ne songent même pas à 
reculer devant cette application, et personne n'a envie 
de contester les résultats de leurs travaux au nom de 
la liberté des êtres qui recouvrent la surface des globes 
célestes, tout au moins celle de la terre. 

Il faudrait être fort peu au courant des procédés de 



120 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



la science pour prendre trop au sérieux une semblable 
objection. C'est une règle générale, dans l'étude des 
phénomènes physiques, de ne chercher de relations 
qu'entre les causes jugées les plus importantes. Il 
arrive ordinairement que, grâce aux progrès de l'obser- 
vation, les lois se modifient précisément par l'introduc- 
tion d'éléments nouveaux jusque-là négligés, et c'est 
ainsi qu'en se transformant les lois physiques tendent 
à traduire les phénomènes dans un langage de plus en 
plus parfait. Mais l'expression absolument complète 
des rapports qui constituent le phénomène en appa- 
rence le plus simple estime de ces chimères auxquelles 
la science doit renoncer. Tout en progressant toujours, 
elle sait bien que dans l'énoncé de ses lois les plus 
complexes n'entre jamais qu'un nombre infiniment 
petit d'éléments abstraits, dont les rapports forment 
dans notre esprit comme la projection intelligible des 
phénomènes physiques, projection au contour sans 
cesse variable et toujours provisoire. 

Dans combien de problèmes relatifs à la terre l'inéga- 
lité du relief du sol terrestre n'est-elle pas négligée? 
Dans combien d'autres sa forme n'est-elle pas assimilée 
à celle d'une sphère ? Et enfin, dans combien de ques- 
tions astronomiques, relatives au système solaire, la 
terre ne devient-elle pas un simple point doué d'une 
certaine masse, ou même ne disparaît-elle pas complè- 
tement, pour être traitée comme si elle n'existait pas ? 
Veut-on un exemple précis ? 

Laplace est le premier qui ait appliqué au système 
solaire le théorème de la conservation des aires pour 
ce qu'il a nommé le plan invariable, c'est-à-dire le 
plan passant parle centre de gravité de l'ensemble, et 
pour lequel la somme des aires, décrites par les rayons 
vecteurs joignant ce point aux projections de tous les 
points du système, a une valeur maximum. Il négligeait 



LA MÉCANIQUE ET LA LIBERTÉ 



ainsi sans hésiter toute autre cause de mouvement que 
les forces intérieures, cela est vrai, mais il négligeait 
aussi bien autre chose. En particulier, il avait réduit 
l'ensemble formé par chaque planète et ses satellites à 
un point doué de la masse totale de ces corps. Poinsot 
est venu ensuite et a dit : « La position du plan inva- 
riable ne dépend pas seulement des aires que décrivent 
les planètes en vertu de leur rotation autour du soleil ; 
elle dépend encore d'autres aires auxquelles on n'avait 
point songé, savoir de celles qui sont dues aux révolu- 
tions particulières des satellites autour de leurs pla- 
nètes principales, et de celles qui naissent de la rota- 
tion de ces planètes et du soleil lui-môme sur leurs 
propres axes. » Autant d'éléments nouveaux dont Poin- 
sot va tenir compte; lui-même négligera encore les ro- 
tations des satellites autour de leurs axes. 

On le voit : déduire des travaux des astronomes sur 
le système solaire que la liberté psychologique est niée 
par eux, cela est aussi raisonnable que dédire : Laplace 
niait le mouvement de rotation sur leurs axes du soleil 
et des planètes; ou encore : Poinsot contestait la rota- 
tion de la lune sur elle-même. 

II 

Nous n'avons eu en vue jusqu'ici que le déterminisme 
mécanique proprement dit, celui qui emprunte ses ar- 
guments à une science mathématique spéciale, à la 
dynamique rationnelle. Les progrès récents de la phy- 
sique mathématique, en conduisant à la notion de 
Yénergie, et surtout à la loi de la conservation de 
V énergie, ont donné une autre forme à la thèse du dé- 
terminisme physique. 

L'origine de la théorie nouvelle est encore dans un 
théorème de mécanique, le théorème des forces vives : 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



Un système de points matériels étant soumis à des 
forces quelconques, la variation de la somme des forces 
vives (2 nw 2 ) est égale à la variation du travail total des 
forces. Imaginons, pour tout simplifier, un point maté- 
riel soumis seulement à Faction de la pesanteur, et 
lancé verticalement de bas en haut avec une certaine 
vitesse initiale, v 0 , la hauteur du mobile au dé- 
part étant £ 0 . Au bout d'un certain temps, la vitesse 
sera v, la hauteur z, la variation de la force vive est 
\ mv 2 — \mv 2 . La variation du travail sera le produit 
du poids P du mobile par le chemin parcouru z — z 0 , ce 
produit étant d'ailleurs affecté du signe — parce que la 
direction de la pesanteur est de sens contraire à celle 
du mouvement. Le théorème des forces vives consis- 
tera dans l'égalité : 

\ mv 2 — \ mv 0 2 == — P X[z — s 0 ), 

ou encore \ mv 2 Vz = \ mv Q z 4- P^ 0 - 

Nous ne pouvons pas écrire 

| mv 2 = \ mv 2 \ = \ mv 12 = 

v 0 , v, v',.^. étant des vitesses à des instants quelcon- 
ques ; mais 

\ 7nv 2 -f Vzo = \ mv 2 + Vz = \ mu' 2 + Pz l = ... 

Ces nouvelles égalités permettent encore de parler 
d'une quantité constante, qui se conserve, à savoir delà 
somme E — \ mv 2 + P*. Chacun des deux termes peut 
d'ailleurs s'interpréter simplement. Le premier donne, 
si on veut, la raison de la continuation du mouvement 
ascensionnel, et sa valeur à chaque instant permet de 
dire de quelle hauteur s'élèvera encore le mobile. Le 
second, qui augmente sans cesse précisément de la 
quantité dont l'autre diminue, et qui finira par compo- 



LA MÉCANIQUE ET LA LTBERTÉ 



123 



ser seul la somme E, quand la vitesse s'annulera, donne 
au contraire la raison du ralentissement de la vitesse, 
puis la raison de la chute. Dans l'ascension du mobile, 
la quantité \ mv 2 s'épuise, tandis que l'autre atteint 
son maximum. La descente donnera lieu aux circons- 
tances inverses : c'est la quantité Vz qui tendra à 
s'épuiser, tandis que la force vive ira en croissant. 
L'élément - 2 mv 2 a reçu le nom d'énergie cinétique, et 
la quantité Pz s'appelle énergie potentielle. La somme 
de ces deux énergies est l'énergie totale, c'est elle qui 
reste constante dans le mouvement, pendant que les 
énergies cinétique et potentielle se transforment sans 
cesse l'une dans l'autre. 

Jusqu'ici nous ne sortons pas de la dynamique pure, 
et le langage employé, si imagé, si expressif qu'il soit, 
ne saurait nous faire illusion au point de nous montrer 
autre chose que de simples définitions. Mais revenons 
à notre exemple, et supposons que le mobile soit brus- 
quement arrêté dans son ascension par un obstacle : 
sa vitesse est détruite, il retombe. L'énergie potentielle, 
capable de déterminer la chute, se traduira manifeste- 
ment aux yeux; mais qu'est devenue l'autre? La vitesse 
s'annulant, l'énergie cinétique s'est annulée brusque- 
ment aussi; l'énergie potentielle d'ailleurs n'a pas aug- 
menté d'autant, car son expression (Pz) montre qu'elle 
est déterminée uniquement parla hauteur du mobile. Il 
n'est donc plus vrai dans ce cas que l'énergie totale 
l'esté constante! Il y a perte d'énergie par suite de la 
présence de l'obstacle? Nullement, répond à son tour 
la physique moderne ; l'énergie cinétique du mobile a 
passé dans l'obstacle. Il s'est produit dans celui-ci un 
ébranlement moléculaire qui se traduit à nos sens par 
une élévation de température. L'énergie cinétique s'est 
changée en énergie calorifique. — La transformation 
inverse est un fait courant. La chaleur, on le sait de- 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



puis longtemps, sert à produire le mouvement ; mais il 
y a plus : On peut dire aujourd'hui qu'une quantité 
donnée de chaleur, numériquement mesurable, peut 
servir à élever, d'une hauteur déterminée, un corps de 
poids connu. 

C'est faire entrer définitivement dans la science mo- 
derne la notion de l'échange possible entre des quanti- 
tés déterminées d'énergie cinétique et de chaleur. L'ex- 
tension de cette équivalence à tous les modes que la 
physique fait correspondre au mouvement, son, lu- 
mière, électricité, agents chimiques, etc., se présente 
tout naturellement, et, par l'intermédiaire de l'énergie 
cinétique, peut naître l'idée de l'équivalence universelle 
de certaines quantités de chaleur, de lumière, etc.. De 
là enfin la notion de la conservation de V énergie totale 
de l'univers. 

C'est alors vraiment le cas de dire : rien ne se perd, 
rien ne se crée dans la nature, tout se transforme. Ce 
n'est plus seulement une variation de masse, c'est une 
modification quelconque d'un phénomène, si insigni- 
fiante qu'elle paraisse, qui désormais échappe à une 
génération spontanée. Que devient donc l'acte libre? 
« Vous étendez la main par un acte de votre volonté, 
dit M. Naville; il vous semble que vous avez créé du 
mouvement par l'exercice de votre libre puissance, 
c'est une erreur; vous ne disposez que d'une quantité 
donnée de force, et cette force, qui est comme un dépôt 
dans votre organisme, provient de la nourriture, de 
l'atmosphère, du soleil. La force ne se crée pas plus 
que la matière. Les mouvements de votre corps sont 
un des petits rouages du mécanisme universel ; tout 
mouvement est la simple transformation de mouve- 
ments antécédents, sans augmentation ni diminution. 
Un corps vivant est un appareil qui modifie sur un point 
donné le mouvement général de la nature, mais sans 



LA MÉCANIQUE ET LA LIBERTÉ 



425 



eu faire varier la quantité. Une impression transmise 
du dehors parvient au centre cérébral, elle s'y trans- 
forme en un mouvement réflexe, dont tous les éléments 
se trouvent dans l'impression reçue. Ces phénomènes 
présentent un enchaînement rigoureux, quelle place 
reste-t-il pour la liberté? Aucune. En contradiction 
avec l'illusion de la liberté, la science moderne a dé- 
montré l'impossibilité que la volonté crée du mouve- 
ment. » 

Si cette effrayante conclusion semble pouvoir se rat- 
tacher par une suite d'idées plus ou moins naturelles à 
des théorèmes mathématiquement démontrés, à quel- 
ques faits précis établis par une rigoureuse observation, 
s'ensuit-il qu'elle doive être présentée elle-même 
comme une vérité démontrée ? Toute la question est là : 
lorsqu'on énonce cette conclusion, on ne sent évidem- 
ment pas la distance prodigieuse qui la sépare des 
prémisses. On croit demeurer dans le domaine de la 
science; on fait de la métaphysique. Que sait-on positi- 
vement en somme? Que certains phénomènes de mou- 
vement sont suivis de certains phénomènes de chaleur, et 
réciproquement? Soit. Admettons tout de suite en pa- 
reil cas, et dans d'autres analogues, où la chaleur pour- 
rait être remplacée par l'électricité ou la lumière par 
exemple, une relation numérique déterminée entre les 
quantités du premier phénomène et celles du second, 
de telle façon que, en un sens, les circonstances de l'un 
des deux se reconnaissent dans celles de l'autre : pour 
passer de là à la négation de la liberté, il faut assimiler 
les modes de l'activité psychique aux faits qui sont dans 
des rapports déterminés avec les phénomènes de mouve- 
ment. Or qu'est-ce qui peut bien justifier une induction 
aussi étrange ? Nous le cherchons en vain. — La cha- 
leur, dira-t-on, l'électricité, la lumière, le son, voilà déjà 
autant de modes sensationnels où la physique déclare 



126 



LA CERTITU DE LOGIQUE 



ne voir qu'un mouvement transformé ; l'induction, qui 
étend cette vérité à l'activité psychique tout entière, 
n'est-elle pas naturelle ? 

Il nous faut d'abord protester contre cette prétendue 
transformation, qu'on affirme trop aisément sous le cou- 
vert de la science, d'un phénomène de mouvement en 
un mode psychique particulier. 

A la suite des phénomènes de mouvement se produi- 
sent des sensations de diverse nature, soit; ce n'est 
pas en cela qu'apparaîtra le fait de la transformation. 
Aussi bien, depuis qu'il existe des hommes, on n'ignore 
pas qu'à des impressions matérielles, c'est-à-dire à des 
phénomènes de mouvement, correspondent des sensa- 
tions ; et si le déterminisme physique date peut-être de 
cette remarque, du moins, le nouveau déterminisme 
scientifique se fonde sur la théorie récente delà conser- 
vation de la force. Ce n'est donc pas dans la simple 
succession de mouvements et de faits psychiques que la 
transformation apparaît, c'est dans les relations numé- 
riques témoignant de la constance de certaines quan- 
tités, quand on passe des uns aux autres. Eh bien! 
voyons de plus près le sens de ces relations. 

Il faut, disent les physiciens, une quantité de chaleur 
égale à une calorie pour soulever 1 kilogr. de matière 
à une hauteur de 426 mètres, ou inversement : la 
course d'un corps pesant 1 kilogr., et tombant de 
426 mètres de haut, sera capable de lui communiquer 
la même élévation de température qu'une quantité de 
chaleur mesurée par une calorie. Qu'est-ce qu'une 
calorie ? La quantité de chaleur capable d'élever de 
un degré la température de 1 kilogr. d'eau. Mais 
comment se mesure un degré ? Par une augmentation 
de volume d'une certaine masse de mercure, c'est-à- 
dire par un certain mouvement moléculaire de ce mer- 
cure. Les quantités entre lesquelles on énonce la loi 



LA MÉCANIQUE ET LA LIBERTÉ 



127 



ne sont donc ici que des quantités de mouvement. Que 
parlait-on de certain mouvement qui devient certaine 
chaleur ? On n'établit de relation quantitative qu'entre 
tel mouvement et tel autre mouvement. 

Dans toutes les lois analogues, on reconnaîtra de 
même qu'un rapport est simplement énoncé entre des 
quantités définissant des circonstances déterminées de 
quelque mouvement, mouvement d'un corps dans Tes- 
pace, ou mouvement moléculaire interne d'un certain 
milieu matériel. S'il y a transformation, ce ne peut 
être qu'entre des effets cinétiques dont la succession 
se prête à des lois mécaniques plus ou moins simples, 
mais détcrminables. Et encore transformation dit 
plus qu'il ne faudrait ; il ne s'agit en somme que de 
succession de phénomènes. « Si les savants, dit fort 
bien M. Renouvier, ont usé de ce mot transformation 
qui induit le public en erreur et tend à favoriser des 
idées phy siques fausses, à ramener des imaginations et 
des théories surannées, c'est que les phénomènes de la 
physique moléculaire correspondent à des effets orga- 
niques et ensuite psychiques sensibles, comme chaleur, 
lumière, etc., et sous telles autres formes connues, de 
nature également subjective, tandis que les faits du 
mouvement commun tombent sous l'observation en 
kilogrammètres mesurables. C'est enfin que ces der- 
niers disparaissent là où les premiers se développent, 
et vice versa ; mais ce n'est pas que les premiers soient 
au fond moins dynamiques que les autres et soustraits 
aux lois générales de la communication du mouve- 
ment (1). » 

11 faut donc se résoudre à ne pas voir la physique 
prononcer la moindre équivalence entre un seul phé- 
nomène psychique et un phénomène de mouvement. 



y) tlÉNOuyiËU, Critique philosophique, 2 mc année, p. 4L 



Les faits précis, sur lesquels se fonderait le détermi- 
nisme scientifique moderne, se réduisent à ceux-ci : 
Dans quelques cas particuliers, où se produisent sub- 
jectivement certaines sensations, des lois physiques 
ont été établies liant entre eux, d'une façon déterminée, 
des effets mécaniques objectivement constatés. Que la 
science parte de là pour essayer de concevoir, sous 
tous les agents dont elle doit étudier Faction, des phé- 
nomènes mécaniques, c'est absolument son droit, 
même lorsque à l'observation du mouvement se subs- 
titue, comme pour les phénomènes lumineux, une 
simple hypothèse. N'est-elle pas libre de choisir, à son 
gré, le point de vue le plus commode, le plus propre à 
l'expression des lois numériques, laissant toujours à 
l'expérience le soin de contrôler l'opportunité de l'atti- 
tude qu'elle a prise ? Mais il ne lui est jamais permis 
d'affirmer avec certitude, quand elle dépasse, dans ses 
inductions, les faits jusque-là connus ; et surtout elle 
franchit les bornes que lui assigne son caractère de 
science positive, elle cesse d'être elle-même et se trans- 
forme en une métaphysique d'autant plus dangereuse, 
qu'elle ne se reconnaît pas pour telle, lorsqu'elle va jus- 
qu'à déclarer comme sien ce domaine spécial de l'acti- 
vité psychique, et lui appliquer d'emblée ses concep- 
tions de mécanisme universel. Toute chose dans la 
nature, en particulier toute manifestation de la vie mo- 
rale correspond-elle à un phénomène de mouvement 
déterminé ? C'est d'après la réponse qu'on aura d'abord 
faite à cette question, et nullement en vertu d'une con- 
sultation demandée à la science, qu'on jugera naturelle 
ou absurde l'extension du mécanisme universel et delà 
détermination numérique de tous les phénomènes suc- 
cessifs les uns par les autres au domaine psy chologique. 
En d'autres termes, tout ce que les lois de la science 
moderne semblaient impliquer, comme contradictoire 



LA MÉCANIQUE ET LA LIBERTÉ 



129 



avec le fait de la liberté, est contenu en réalité, non 
pas clans ces lois, mais dans une opinion à priori, sui- 
vant laquelle rien n'échappe au déterminisme, pas plus 
la volonté que tel autre phénomène physique. Les pro- 
grès de la science n'ont rien changé à la forme du déter- 
minisme physique, tel qu'aurait pu le concevoir le pre- 
mier penseur qui songea à lier par une relation de quan- 
tité deux phénomènes les plus simples qu'on imagine. 

III 

Aussi bien il n'est pas sans intérêt de se demander 
ce qui, dans certaines lois mécaniques ou physiques, 
a pu faire illusion aux meilleurs esprits, au point qu'ils 
y ont vu tout à coup ce que ne contenaient pas les 
autres lois, la négation du libre arbitre. Au risque de 
paraître énoncer une puérilité, nous dirons franche- 
ment que, à nos yeux, c'est une simple question de mots 
qui a fait tout le mal. Les théorèmes de mécanique ra- 
tionnelle qui sont en cause mettent en évidence une 
certaine quantité constante dans une succession de 
faits. Cette quantité, c'est la vitesse du centre de gravité, 
c'est une somme d'aires, c'est une somme de quantités 
de mouvements projetées, c'est une somme de forces 
vives. La physique y ajoute ce qu'elle nomme l'énergie. 
Inconsciemment l'esprit est porté à voir sous ces quan- 
tités constantes, des êtres objectifs, autant du moins 
que les phénomènes eux-mêmes. La science semble 
avoir révélé quelque chose qui se conserve le même, 
comme un point central autour duquel doivent se grou- 
per d'une façon déterminée toutes les circonstances 
variables. On oublie que la constance, l'uniformité, la 
détermination, sont impliquées clans toute loi scienti- 
fique. Que dis je ? elles sont impliquées dans les recher- 
ches premières, dans les tâtonnements les plus primi- 



130* 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



tifs de l'esprit humain, s'essayant à soumettre à la 
quantité le phénomène physique le plus simple. 

Toute loi mathématique ou physique n'énonce-t-elle 
pas, en effet, une relation constante entre plusieurs quan- 
tités ? Qu'importe que, par sa forme, elle mette plus ou 
moins en évidence une quantité qui se conserve ? Il 
sera toujours possible de la traduire de façon à dégager 
une quantité fixe. A une môme température, le volume 
d'une masse gazeuse varie en raison inverse de sa pres- 
sion. On peut aussi bien dire: à une même tempéra- 
ture, le produit du volume de la masse gazeuse par la 
pression est constant. Si l'on voulait voir dans la per- 
manence de cette quantité un obstacle à toute variation 
arbitraire de volume et de pression, on reconnaîtrait 
sans peine que, sous sa première forme, l'énoncé de la 
loi de Mariotte impliquait les mêmes exigences. 

Toute relation entre quantités variables ne renferme- 
t-elle pas des constantes? Qu'on résolve l'équation par 
rapport à Tune d'elles, et on mettra en évidence une 
fonction des variables qui se conservera la même, sans 
que la signification de la loi ait changé. Plus simple- 
ment encore, si l'on veut, qu'on prenne une relation 
quelconque A = B, où A et B sont fonctions des élé- 
ments variables, et qu'on récrive 1, ou A — B = 0; 
on tirera ainsi de la loi une quantité constamment 
égale à 1, ou constamment nulle. Il n'y aura jamais là 
qu'un changement de forme pour l'expression d'une 
même idée, que renferme l'énoncé d'une loi quel- 
conque, et qui est toujours la constance. « Nous ne 
connaissons en toute lumière, dit Poinsot, qu'une 
seule loi : c'est celle de la constance et de l'unifor- 
mité. C'est à cette idée simple que nous cherchons à 
réduire toutes les autres, et c'est uniquement en cette 
réduction que consiste pour nous la science. » 

Mais alors qu'on y réfléchisse. En nous révélant la 



LA MÉCANIQUE ET LA LIBERTÉ 



131 



constance de la force vive, de la somme des aires, de 
l'énergie, la science n'a pas brusquement dévoilé, 
comme on est trop porté à le croire, de mystérieux 
secrets d'un genre nouveau. Elle a simplement conti- 
nué à jouer son rôle. Ce n'est que par une illusion 
facile à dissiper qu'elle a semblé apporter tout à coup 
la raison et la preuve de la détermination absolue de 
tous les phénomènes. Elle n'a sur ce point rien 
démontré de plus que l'ensemble des lois énoncées 
depuis plus de deux mille ans par l'esprit humain. 

Et enfin, si toutes les lois scientifiques se réduisent, 
comme le dit Poinsot, à celle de la constance et de 
l'uniformité,, celle-là, cette loi unique, qui est l'idée 
fondamentale de la science, n'en est pas la consé- 
quence, mais bien le principe directeur. La recherche 
des lois, qui lient les phénomènes les uns aux autres, 
procède avant tout de l'hypothèse qu'elles existent. 
Notre croyance à l'uniformité et à la constance est 
la raison d'être de la science. Celle-ci énonce des pro- 
positions sur le caractère provisoire desquelles nous 
ne saurions nous tromper, mais qui toutes ont pour 
fonction de satisfaire, dans une certaine mesure, et 
sous une forme plus ou moins durable, notre senti- 
ment de la dépendance déterminée des phénomènes, 
les uns à l'égard des autres. La loi de Mariotte que nous 
citions tantôt a dû être modifiée après de nombreuses 
expériences. Ce qui reste seul incontestable sous toutes 
les formes qu'elle est appelée à revêtir, c'est un élé- 
ment qui échappe à la science, c'est notre croyance 
que les états de volume et de pression d'une même 
masse sont liés par une relation fixe, — croyance anté- 
rieure à tout ce que nous apprendront sur ce point des 
expériences spéciales. 

Et c'est ainsi qu'en résumé toutes les théories déter- 
ministeSi qu'on prétend échafauder sur les progrès de 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



la science, peuvent se ramener à une formule, dont 
l'origine dans notre esprit et la vraie signification sont 
discutables, mais qu'on reconnaîtra aussi vieille que la 
pensée humaine, à savoir, que les phénomènes sont 
déterminés les uns par les autres, ce qui n'est autre 
chose, au fond, que l'idée naïve de causalité. 



CHAPITRE II 

LES CONSÉQUENCES PHILOSOPHIQUES DE LA GÉOMÉTRIE 
NON EUCLIDIENNE 

Après le problème de la liberté, un des exemples les 
plus frappants de l'illusion, que produit l'usage du 
principe de contradiction, nous est offert par les inter- 
prétations courantes des résultats de la géométrie non 
euclidienne. D'une façon générale, on exagère, pour des 
conceptions différentes de celles que manie la vieille 
géométrie, l'importance de certains développements 
illimités qui peuvent logiquement s'en déduire. En par- 
ticulier, tandis qu'un grand nombre de penseurs, y 
trouvant enfin la preuve de l'origine expérimentale des 
axiomes de la géométrie, en font une forteresse de 
l'empirisme, d'autres y voient une œuvre de la raison 
pure, qui leur permet d'édifier sur de nouvelles bases 
la thèse idéaliste. 

Pour nous, on l'a vu, la condition même du caractère 
mathématique d'une suite de déductions est que les 
conclusions ne portent que sur des fictions qui lui ser- 
vent de point de départ : c'est-à-dire que nous rejetons 
d'avance la possibilité de voir un pareil développement 
aboutir aux découvertes que l'on signale. Mais laissons 



CONSÉQUENCES rilILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 133 



là notre conviction préalable, et discutons directement 
les problèmes soulevés. 

I 

Résumons avant tout, au moins dans ce qu'ils ont 
d'essentiel, les travaux dont il est question. 

a. — Les premiers datent du commencement de ce 
siècle, et remontent à Lobatctiewsky et à Bolyaï. 

Tout le monde sait que, parmi les « notions com- 
munes » qu'Euclide a inscrites au début de la géomé- 
trie, il s'en trouve une qui, énoncée sous une autre 
forme, peut au fond se remplacer par celle-ci : « Par 
un point on ne peut mener qu'une parallèle à une 
droite. » Elle est accompagnée de quelques autres de 
ces propositions qu'on a nommées depuis des axiomes, 
et auxquelles le géomètre grec donnait sans cloute la 
môme importance. Elles représentaient pour lui la quan- 
tité de vérités destinée à servir de fondement à la géo~ 
métrie. Mais il est arrivé que, tout en prenant Euclide 
pour modèle, et en n'altérant guère que la forme ou 
l'ordre des énoncés, les auteurs des traités en sont ve- 
nus à ne citer au début de leurs livres que les notions 
nécessaires aux premières démonstrations sur les 
angles et triangles, et à réserver pour le moment oppor- 
tun l'axiome des parallèles. Cette disposition, qui 
donne à un si haut degré l'impression d'une lacune 
dans la suite des déductions géométriques, a été sans 
doute pour beaucoup dans le besoin de la combler 
qu'ont témoigné tant d'esprits ingénieux et dans les 
efforts qu'ils ont faits pour y parvenir. Les recherches 
sans nombre qu'a suscitées l'axiome n'ont pu aboutir à 
une démonstration, mais il y avait un autre moyen de 
résoudre la difficulté, c'était de supprimer l'axiome lui- 
même. Gauss le premier a songé à construire une géo- 

G. MlLHAUl). 8 



134 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



métrie qui en fût indépendante. Ses méditations sur ce 
sujet ne sont indiquées que vaguement dans sa corres- 
pondance. C'est Lobatchewsky et Bolyaï qui ont publié 
des systèmes complets de géométrie, où les démonstra- 
tions se font à la manière cl'Euclide, mais où on ne 
suppose plus qu'on puisse mener par un point une 
seule parallèle à une droite. A l'axiome euclidien Lobat- 
chewsky substitue la proposition suivante : « Toutes les 
droites tracées par un môme point dans un plan peu- 
vent se distribuer, par rapport à une droite donnée, en 
droites qui la coupent et en droites qui ne la coupent 
pas. — La droite qui forme la limite commune de ces 
deux classes est dite parallèle à la droite donnée. Il y 
aura deux parallèles à la droite, symétriques par rap- 
port à la perpendiculaire abaissée du point. » 

Il est clair que les conclusions de la géométrie nou- 
velle sont distinctes des conclusions euclidiennes. Elles 
se réduisent à celles-ci quand on donne à un certain 
élément dont elles sont affectées une valeur particu- 
lière, celle qui correspond au cas où le faisceau de 
droites, ne rencontrant pas la droite donnée, se réduit à 
une droite unique. Ainsi la somme des angles d'un 
triangle n'est plus égale à deux droits, elle est plus pe- 
tite que deux droits; mais elle reprend cette valeur 
quand on restreint les définitions nouvelles à ce 
qu'elles sont dans la géométrie ordinaire. 

b. — La géométrie de Lobatchewsky a reçu un sur- 
croît d'intérêt d'une étude de Beltrami qui en donnait, 
dans le langage mathématique ordinaire, une interpré- 
tation curieuse. 

Beltrami considère une surface définie analytique- 
ment par cette propriété que la courbure en chaque 
point, c'est-à-dire l'inverse du produit des rayons de 
courbure principaux, a une valeur constante négative. 
De ce que la courbure est constante, il résulte qu'une 



CONSÉQUENCES PBILOS. DE LA GEOM. NON EUCLIDIENNE 135 



portion de la surface peut être appliquée exactement 
sur une autre sans déchirure ni duplicature; la valeur 
négative de cette constante a ensuite pour conséquence 
que les lignes géodésiques, c'est-à-dire celles qui repré- 
sentent le plus court chemin entre deux points, peu- 
vent être prolongées indéfiniment, et que, par deux 
points donnés sur la surface, il n'en passe jamais 
qu'une seule, absolument comme pour les droites tra- 
cées clans le plan. Beltrami démontre que par un point 
de la surface passent deux lignes géodésiques, rencon- 
trant à l'infini une géodésique donnée et séparant deux 
faisceaux, l'un formé de lignes qui la coupent, l'autre 
de lignes qui ne la coupent pas. C'est le postulat de Lo- 
batchewsky réalisé, et la série des propositions de la 
géométrie non euclidienne va s'appliquer exactement 
à cette surface que Beltrami appelle yseudosphère. 

c. — De son côté, Riemann, dans sa célèbre disser- 
tation sur les hypothèses fondamentales de la géomé- 
trie, part de l'expression qu'on peut attribuer à la diffé- 
rentielle de la distance de deux points, lorsque, d'une 
manière générale, un point se trouve dépendre de n 
valeurs algébriques, ou. comme on dit, est compris 
clans un espace à n dimensions. Puis, supposant con- 
stante et positive une certaine expression analytique 
qui représentera la courbure en chaque point, Riemann 
est amené à construire une géométrie qui, pour n — 3 
et n — 2, se distingue, comme celle de Lobatchewsky, 
mais dans un sens opposé, peut-on dire, de la géométrie 
euclidienne. En se bornant au cas de deux dimensions, 
on voit, par exemple, qu'étant donnés une ligne droite 
et un point, il ne passe par le point aucune droite ne 
rencontrant pas la première. Étant donnés deux points, 
ils ne déterminent pas toujours une droite unique. La 
somme des angles d'un triangle surpasse deux 
droits, etc. 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



Si la géométrie de Lobatchewsky avait trouvé son 
interprétation sur la surface pseudosphérique de Bel- 
trami, à courbure négative, celle de Riemann s'iden- 
tifie, pour le cas de deux dimensions, avec la géométrie 
de la surface de la sphère, Tare de grand cercle jouant 
le rôle de droite. 

d. — Ce ne sont pas là d'ailleurs les seules interpré- 
tations que les mathématiciens aient fait correspondre 
aux géométries non euclidiennes. MM. Klein, Poincaré, 
Lie, ont construit des développements analytiques où 
des hypothèses faites sur les données initiales fournis- 
saient la suite des théorèmes des diverses géométries. 
11 est inutile, pour le moment du moins, d'insister sur 
ces travaux; il suffit de signaler la correspondance qui 
a pu s'établir, grâce à la confection d'un vocabulaire 
spécial, entre les énoncés des géométries non eucli- 
diennes et ceux de certains développements d'analyse 
ne sortant en rien du cadre habituel des recherches 
mathématiques. 

Ces quelques points rappelés, reconnaissons d'abord 
à ces travaux un grand intérêt mathématique. En par- 
ticulier, déclarons franchement que, du point de vue 
du géomètre, et dans le sens spécial où il entend la dé- 
monstration, ils impliquent véritablement la preuve que 
le postulat d'Euclide ne peut se démontrer. En d'autres 
termes, ils montrent que ce postulat ne peut se dé- 
duire des seules relations quantitatives, posées au début 
de la géométrie euclidienne, pour traduire, à la façon 
du géomètre, le donné du plan et de la droite. Les 
mômes relations étant en effet supposées sur la pseu- 
dosphère de Beltrami, par exemple, avec en outre, — 
cela va sans dire — des circonstances complémentaires, 
le mathématicien aboutit ici à l'énoncé de Lobat- 
cbewsky. Les équations qui l'expriment peuvent donc 
se déduire d'un ensemble d'autres parmi lesquelles se 



CONSÉQUENCES PHILOS . DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 137 



trouvent les axiomes fondamentaux de la géométrie 
ordinaire (par deux points ne passe qu'une géodé- 
sique, elle peut se prolonger indéfiniment, elle est le 
plus court chemin entre deux points; les figures peu- 
vent se transporter sur la pseudosphère en restant 
invariables de grandeur). 11 y a là en somme la démons- 
tration de ce fait que les relations quantitatives tradui- 
sant de quelque façon le postulat d'Euclide ne résul- 
tent pas de celles qui traduisent les autres : puisque le 
postulat de Lobatchewsky se trouve faire partie d'un 
système d'équations qui comprend aussi les premiers 
axiomes de la géométrie euclidienne, il n'est pas con- 
tradictoire avec ceux-là, et l'axiome des parallèles, qui 
le contredit, ne pouvait donc se déduire logiquement 
de ces premiers axiomes. Or, c'est bien ce qu'entendra 
le géomètre quand il déclarera que le postulat d'Eu- 
clide n'est pas démontrable. Et ce que nous disons de 
l'interprétation de Beltrami pourrait se répéter de 
toutes les autres qui reposent sur un système initial de 
relations communes à la géométrie euclidienne et à 
telle autre géométrie (1). 

Il y a là un fait qui ne sort pas du domaine mathé- 
matique, et que nous pouvons bien reconnaître sans 
contredire à notre thèse générale. Dans la première 
édition de ce travail, nous avions eu tort, nous semble- 
t-il aujourd'hui, d'être effrayé par cette affirmation des 
néogéomètres que le postulat d'Euclide est décidément 
reconnu par eux indémontrable. Une pareille conclu- 
sion est permise au même titre que tel énoncé de théo- 
rème nouveau; elle ne nous fait pas sortir du domaine 
où le mathématicien, arrêtant lui-même avec précision 
les contours de ses concepts, réussit à construire sur 
eux des démonstrations dont la rigueur le satisfait. S'il 

i) Voir YÉ tude sur l'Espace et le Temps de M. Lechalas (p. 47), 
qui a contribué pour sa part à éclairer nos idées sur ce point. 

8. 



138 



îi À CERTItUDE LOGÏQUÊ 



pose d'abord que, quelque soit le mystérieux du donné 
de l'intuition géométrique correspondant au plan et à 
la droite, ce sont les relations A, B, G qui le traduisent; 
s'il admet que ce sont les seules qui interviennent dans 
les raisonnements mathématiques vraiment rigoureux, 
il se trouve bien aboutir à la preuve mathématique 
que le postulat d'Euclide n'est pas démontrable. Quand 
nous insistions autrefois sur ce qu'il pouvait y avoir 
quelque illusion dans cette manière de voir les 
choses (1), nous avions le tort d'apporter des préoccu- 
pations étrangères, par leur objectivité trop absolue, aux 
conceptions habituelles du géomètre. Nous prenions 
une attitude trop réaliste. Nous avions le tort de vouloir 
voir en dehors du champ où s'exerce naturellement 
l'activité du géomètre. A le pousser ainsi au delà de la 

(1) Le lecteur saisira mieux notre pensée si nous rappelons ici les 
réflexions que nous opposions alors à l'affirmation des néogéomètres : 
« Les objets qu'étudie la géométrie, disious-nous, quelque degré 
d'abstraction qu'on leur accorde, et malgré les efforts de notre esprit 
pour les transformer en des êtres purement intelligibles, pour leur 
affecter une existence et une signification exclusivement logiques, ne 
peuvent jamais cesser de garder un fond d'objectivité qui échappe à 
toute définition. Qui pourrait se flatter en particulier de définir com- 
plètement ces êtres fondamentaux qui s'appellent la ligne droite et le 
plan ? Le géomètre raisonne sur ces éléments, il les fait sans cesse en- 
trer dans des démonstrations nouvelles, mais ces démonstrations ne 
sont pas, à l'exemple des déductions de l'analyse, des suites d'idées où 
chaque pas nouveau se fait sous la garantie de quelque .définition 
adéquate à son objet, qui s'inquiète peu de n'être que formelle et sym- 
bolique. Dans les raisonnements de la géométrie ordinaire, l'intuition 
ne perd jamais ses droits. Non seulement elle ajoute aux déductions un 
substratum qui aide et soutient l'esprit, mais il est de plus impossible 
de dire exactement jusqu'où va son rôle dans les déductions elles-mêmes; 
il est impossible de séparer ce substratum du raisonnement logique, et 
d'y substituer des notions dont l'ensemble lui soit exactement adéquat. 

Les premières propositions sur la droite et le plan, qui peuvent sem- 
bler donner des définitions claires, ne doivent pas faire illusion à cet 
égard. Loin d'exprimer clairement les propriétés nécessaires et suffisantes, 
elles ne peuvent échapper à de véritables cercles vicieux, en ce sens 
que, d'un côté, dans les ligures planes formées de droites, il est difficile 
de dire jusqu'à quel point la nature du plan ne communique pas une 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 139 



signification de ses termes, c'est à la géométrie tout 
entière, à la géométrie démonstrative telle que l'ont 
faite les Grecs, que nous aurions fait le procès, et non 
pas seulement aux travaux de néogéométrie, dans la 
partie où ils mettent en évidence ce point tout mathé- 
matique de l'indépendance réciproque de certaines re- 
lations quantitatives. 

Au surplus, c'est une proposition toute négative qui 
se trouve établie : le postulat des parallèles n'est pas 
une conséquence logique des autres axiomes explicite- 
ment énoncés au début de la géométrie. Cela n'aprend 
rien de positif relativement au postulat deLobatchewsky. 
On ne voit pas à priori pourquoi on ne pourrait pas, 
par un choix convenable de relations quantitatives 
jointes aux premiers axiomes de la géométrie ordinaire, 

part de leurs propriétés aux droites, et que, d'un autre coté, le plan 
participe nécessairement de la nature propre de la droite. En outre, il 
est question, dès le début de la géométrie, d'égalité géométrique. On 
connaît la définition adoptée depuis Euclide : Sont égales deux ligures 
dont Tune peut être amenée cà coïncider avec l'autre. Cette définition 
contribue évidemment à déterminer le plan, en énonçant pour lui cette 
propriété, que les figures peuvent s'y déplacer en restant les mêmes. Or, 
que signifie-t-elle? En disant qu'une figure reste invariable, veut-on 
entendre que les longueurs restent égales à elles-mêmes, les angles 
égaux à eux-mêmes, etc. ? Il faudrait alors recourir, pour s'expliquer, à 
cette égalité même qu'il s'agit de définir! On n'évite le cercle vicieux 
qu'en invoquant une notion que nous possédons tous, celle du déplace- 
ment d'un solide invariable de grandeur et de forme. Il faut bien recon- 
naître ce qu'il y aurait de chimérique à vouloir indiquer la liste des 
notions auxquelles équivaut cette donnée, en fonction des propriétés des 
ligures, c'est-à-dire en première ligne, en fonction des propriétés de la 
droite et du plan. Si ces difficultés n'empêchent pas la géométrié de se 
dérouler sous la forme que nous lui connaissons, n'est-ce pas que le 
géomètre raisonne toujours sur des figures, et qu'il ne lui est pas indis- 
pensable, par conséquent, d'avoir dressé la liste complète des défini- 
tions adéquates aux données de l'intuition? Mais alors sent-on toute 

l'illusion de quiconque croirait énoncer, par une liste déterminée de 
propriétés, traduisibles en langage analytique, les définitions de la droite 
et du plan? Sent-on combien peu on est fondé à déclarer adéquates à 
ces êtres de l'intuition géométrique des notions d'algèbre construites 
avec telles propriétés quantitatives déterminées ? » 



140 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



déduire telle autre formule, si extravagante qu elle pa- 
rût. 

N'est-on pas frappé plus qu'il ne convient de ce que 
les géométries non euclidiennes peuvent se poursuivre 
indéfiniment, et n'y voit-on pas en quelque mesure la 
justification des principes initiaux? Il serait naïf d'in- 
sister sur ce que les propositions les plus étranges peu- 
vent servir de point de départ à des chaînes illimitées 
de conséquences logiques, ne présentant d'ailleurs 
jamais à notre esprit rien de plus inacceptable que les 
premières. Le déroulement à l'infini des géométries non 
euclidiennes aboutit en somme à nous placer devant 
des conceptions curieuses, témoignant de l'ingéniosité 
sans limite de notre esprit, — mais est-il capable d'ap- 
porter un seul argument nouveau pour établir, contre 
Kant, l'origine expérimentale de notre connaissance 
géométrique, — ou pour justifier un idéalisme plus 
large encore que celui de Kant, — telles sont les ques- 
tions qu'il nous faut aborder sans retard. 

II 

Et d'abord comment l'empirisme a-t-il pu tirer partie 
des travaux de géométrie non euclidienne? Le postulat 
d'Euclide, disent les néogéomètres, n'est pas démon- 
trable, donc c'est l'expérience qui l'a suggéré. — Mais 
pourquoi cette attitude spéciale à l'égard de l'axiome 
des parallèles? Il n'en manque pas d'autres qui ne sont 
pas non plus démontrables, que même jamais personne 
n'a cherché à démontrer, et à propos desquels ce- 
pendant la question de leur origine est restée tou- 
jours ouverte. 

Est-ce que le postulat d'Euclide présenterait un ca- 
ractère synthétique si accentué qu'on en fût effrayé, et 
qu'on n'osât pas y voir une notion à priori ? Mais on 



CONSÉQUENCES PHÏLOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 141 



oublierait donc la position que prenait Kant à l'égard 
de tous ces axiomes? Se préoccupait-il de savoir, pour 
les déclarer aprioriques, s'ils étaient démontrables, s'il 
était possible de les déduire d'une analyse rigoureuse 
des termes, s'ils étaient analytiques? et se prenait-il à 
hésiter en présence de ceux dont le caractère synthé- 
tique semble plus évident? On sait bien le contraire. 
Tous les axiomes de la géométrie sont pour Kant en 
même temps synthétiques et à priori, sans exception, 
pas môme quand il s'agit de cette proposition, que la 
droite est le plus court chemin d'un pointa un autre; et 
on imaginerait difficilement une affirmation plus syn- 
thétique que celle-là. Eh bien! donc, comment soutenir 
que l'axiome des parallèles, en cessant d'être une con- 
séquence logique de propositions antérieurement po- 
sées, doit apparaître aussitôt comme ayant une origine 
empirique? 

L'erreur que nous signalons a évidemment sa cause 
dans les acceptions diverses qu'on attribue au mot né- 
cessaire. Le postulat des parallèles n'est pas démon- 
trable, donc, ajoute-t-on, il n'est pas nécessaire. C'est 
donc de nécessité logique qu'il est question, de celle 
qui résulterait d'une démonstration rigoureuse : soit î 
Mais, lorsque ensuite on conclut au' caractère non aprio- 
rique de l'axiome, on raisonne mal, car on substitue à 
la nécessité logique celle qui s'impose à tout esprit, en 
tout temps, en tout lieu, et surtout en dehors de toute 
expérience. C'est ce dernier sens, celui de Kant, qui 
exclurait évidemment l'origine empirique : or, on sent 
la distance qui le sépare du premier. 

Si les néogéomètres n'avaient pas d'autre argument 
pour affirmer l'origine expérimentale de l'axiome d'Eu- 
clide que le sentiment d'avoir établi qu'il n'est pas dé- 
montrable, il nous semble qu'il serait vraiment inutile 
d'en dire plus long. Mais au fond, ce n'est peut-être pas 



142 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



là le point essentiel. Nous avons eu surtout en vue jus- 
qu'ici la géométrie cle Lobatchewsky. Les travaux tels 
que ceux de Ricmann ou de Helmholtz ou de M. Lie, 
qui ont pour objet une reconstitution des principes fon- 
damentaux de la géométrie, nous offrent dans la ques- 
tion que nous examinons maintenant un intérêt spécial. 
Arrêtons-nous un instant sur ces travaux. 

Voilà Riemann, par exemple, qui, partant de la no- 
tion de quantité [qu'il restreint d'abord à celle des quan- 
tités continues, mesurables entre elles], conçoit la mul- 
tiplicité à n dimensions, c'est-à-dire celle où un point 
dépendrait de n de ces quantités, — puis se donne pour la 
différentielle d'une ligne une expression telle que la 
courbure en un point (une certaine fonction analytique 
des différentielles des coordonnées) reste constante. Il 
est alors en possession d'un concept général d'espace 
qu'il faut restreindre, pour l'amener à coïncider avec 
l'espace euclidien, d'abord en réduisant à trois le 
nombre des dimensions, et enfin en attribuant une va- 
leur nulle à la courbure. 

Helmholtz passe de môme de la multiplicité à n di- 
mensionsà l'espace euclidien. Les fonctions analytiques 
que Riemann choisit pour point de départ sont déduites 
par Helmholtz de quelques hypothèses sur le mouve- 
ment des corps. L'illustre savant est amené à considé- 
rer, parmi les multiplicités à n dimensions, celles où 
se trouvent des systèmes indéformables et mobiles. Il 
suppose en outre le mouvement d'un solide entièrement 
libre, et enfin il restreint encore le concept de sa mul- 
tiplicité spatiale par cette condition, que, si n — 1 points 
d'un système sont fixés, il repassera par la position ini- 
tiale. Pour distinguer parmi les espaces ainsi définis 
l'espace euclidien, il ne lui reste plus alors qu'à suppo- 
ser le nombre des dimensions égal à 3, et à admettre que 
les dimensions d'un point peuvent grandir indéfiniment. 



CONSÉQUENCES PHILQS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 143 



Enfin, citons encore les travaux de MM. Lie et Poin- 
caré qui s'inspirent, comme Helmholtz, du déplacement 
des systèmes invariables. Donnant deux dimensions au 
plan, et acceptant que la position d'une figure plane dé- 
pende de 3 paramètres, M. Poincaré (1) est conduit par 
la théorie analytique des groupes du géomètre norvé- 
gien à un certain nombre de géométries planes, parmi 
lesquelles il ne retrouve la géométrie euclidienne qu'en 
ajoutant les deux hypothèses suivantes : Si une figure 
plane ne quitte pas son plan et que deux de ses points 
restent immobiles, la figure entière reste immobile, et 
ensuite : la somme des angles d'un triangle est cons- 
tante. 

Ces travaux ne semblent-ils pas, en énonçant les con- 
ditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de 
notre géométrie, en aboutissant par conséquent à une 
sorte de définition du concept d'espace qui en est la 
base, ne semblent-ils pas, dis-je, ruiner la thèse de 
l'idéalisme kantien ? Ne donnent-ils pas pour ce concept 
un assemblage d'éléments où rien n'apparaît comme 
nécessaire, ni les éléments eux-mêmes, ni leur mode 
d'association ? « L'analyse de Riemann et les études 
postérieures, dit M. P. Tannery, ont montré d'une fa- 
çon nette et précise que le concept d'espace est formé 
par une association de diverses notions parfaitement 
distinctes les unes des autres, celles de grandeur, de 
continuité, de dimension, de triplicité, de mesure, 
d'identité de l'unité de mesure suivant les diverses 
dimensions, de distance, de loi analytique relative à 
la distance de deux points. Il est également prouvé qu'il 
n'y a subjectivement rien de nécessaire dans l'as- 
sociation de ces notions, ni dans la forme spéciale que 
revêt la dernière. Que les lois de notre entendement 

(1) Bulletin de la Société mathématique, t. XV, p. 203* 



144 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



jouent leur rôle dans la constitution de ces notions, cela 
n'est pas douteux, et la discussion peut seulement por- 
ter sur le plus ou moins d'importance de ce rôle. Mais, 
quant à leur association, ces lois ne paraissent nulle- 
ment y contribuer; on peut, en effet, la bouleverser de 
toutes les façons possibles, on peut y introduire cer- 
taines autres notions différentes, tout en maintenant au 
concept son caractère logique, qui lui permet d'être 
l'objet d'une science. Rien ne reste donc du concept qui 
soit subjectivement nécessaire... Toute proposition sur 
l'espace est donc subjectivement contingente et ne dif- 
fère pas à cet égard des autres propositions qui peuvent 
être formulées comme lois de phénomènes extérieurs. 
Ces diverses conclusions peuvent-elles être mises d'ac- 
cord avec la véritable pensée de Kant ?... Cela, à la n- 
gueur, est possible.. . Montrer qu'elles n'ébranlent pas 
un point fondamental du système serait une tâojie que 
je ne puis que décliner... (1) » 

Le maître, dont nous donnons ici la pensée, ne s'est- 
il pas fait illusion sur les difficultés de la tache qu'il dé- 
cline? Où aboutissent en somme les travaux qui nous 
intéressent ? Ils cherchent à donner une définition de 
l'espace à l'usage de la science, à construire un concept 
de l'espace qui puisse servir de point de départ à la 
géométrie. La question consiste à dresser une liste de 
propositions qui, une fois posées, aient comme consé- 
quence le développement que possède actuellement la 
géométrie. On sent d'avance l'indétermination du pro- 
blème. Aucune restriction, aucune condition ne sont 
imposées ni au choix des propositions, ni au choix des 
éléments sur lesquels on bâtira les fondements de l'édi- 
fice qui doit se confondre, après un certain nombre 
d'assises, avec notre géométrie. Les solutions de Rie- 

(1) Bev. Philos., 3, p. 57 \. 



CONSÉQUENCES PllïLOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 145 

nninn, do Helmholtz, de M. Poincaré satisfont à la ques- 
tion : tout se passe en géométrie comme si on eût pris 
la série des postulats qu'elles nous offrent pour point 
de départ. Un mode de groupement curieux d'éléments 
empruntés à la perception, et de notions empruntées à 
l'analyse mathématique, se trouve réaliser un échafau- 
dage qui, logiquement, pourra se substituer à l'idée 
d'espace, au début des déductions géométriques. 

Le procédé commun à toutes ces solutions est assez 
facile à saisir : il consiste à faire rentrer la notion d'es- 
pace dans des genres de plus en plus généraux. On re- 
descend ensuite du plus général, auquel on a jugé à 
propos de s'élever, jusqu'au concept qui sert de base à 
notre géométrie, par une série de restrictions succes- 
sives. Cela est fort intéressant, mais enfin croit-on vrai- 
ment qu'il nous fallait voir réalisée cette double marche 
ascendante et descendante dans les travaux cit^s pour 
penser qu'elle était possible ? Riemann choisit, pour la 
différentielle de la distance de deux points, une expres- 
sion plus générale que celle qui convient à notre géo- 
métrie euclidienne: elle ne se réduit à celle-ci que dans 
un cas particulier. Riemann, Helmholtz, et tous les néo- 
géomètres d'ailleurs, substituent d'abord n dimensions 
aux 3 de notre espace. Mais, en vérité, qui a pensé ja- 
mais qu'il y eût là quelque chose d'impossible ? Se 
trouve-t-on plus édifié par les travaux eux-mêmes, fon- 
dés sur de telles généralisations, que par la fantaisie 
qui eût pu en suggérer l'idée à quelque esprit spécula- 
tif ? Supposez qu'on eût dit à Kant, avant la publication 
d'aucun des travaux dont il s'agit : « Introduisons n va- 
riables, au lieu de 3, dans les équations de la géométrie 
analytique, les résultats de celle-ci ne se présenteront 
plus que comme cas particuliers, correspondant à la 
valeur 3 donnée à n. » N'y eût-il pas eu dans cette simple 
idée, ainsi exprimée, tout ce qu'on nous donne comme 

G. MlLHAUD. 9 



146 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



capable d'ébranler la croyance au caractère nécessaire 
de nos 3 dimensions ? Or croit-on sérieusement que la 
pensée de Kant en eût été troublée et qu'il se fût aussi- 
tôt écrié : Si je peux considérer les relations géomé- 
triques habituelles comme cas particuliers de relations 
plus générales dépendant de n dimensions, c'est donc 
que mon esprit n'est pas obligé de ne donner que 3 di- 
mensions à l'espace ? Supposez encore qu'on eût attiré 
son attention sur ce fait que la notion d'espace n'est 
pas étrangère à celle de quantité, puisque la géométrie 
analytique, depuis Descartes, ne fait pas autre chose 
que de substituer de plus en plus la quantité pure à 
l'intuition géométrique : n'y eût-il pas eu dans cette re- 
marque, que les connaissances mathématiques de Kant 
rendaient inutile, de quoi lui suggérer, bien avant Rie- 
mann et Helmholtz, 1 idée des rapports logiques par 
lesquels on peut relier les concepts de quantité et d'es- 
pace ? Kant savait bien la possibilité pour la science de 
ramener l'idée d'espace à celles de nombre et de quan- 
tité, et il ne semble pas qu'en lui l'analyste pût infirmer 
les conclusions du métaphysicien. Du reste, sans faire 
appel aux connaissances mathématiques du philosophe 
de Kœnigsberg, rappelons seulement un des axiomes 
qu'il donnait comme nécessaires et à priori : la droite 
est le plus court chemin d'un point à un autre. N'entre- 
t-ilpas dans cette simple proposition, qui contribuait 
pour lui à définir le concept d'espace, les idées de quan- 
tité [le plus court chemin), et de mouvement {chemin, 
parcouru par un mobile qui se déplacerait d'un point 
vers l'autre) ? Dira-t-on que cela avait pu échapper à 
Kant ? Mais, bien au contraire, c'est parce qu'il sentait 
que dans un pareil postulat s'associaient des notions 
aussi diverses qu'il le disait synthétique* 

Ainsi les généralisations logiques, qui, clans les tra- 
vaux récents, font rentrer le concept de notre espace, 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 147 

et plus généralement le concept d'espace, dans des 
genres de plus en plus larges, ces sortes de classifi- 
cations curieuses n'avaient pas besoin des travaux ma- 
thématiques eux-mêmes pour être envisagées comme 
possibles, et le langage de Kant n'est pas incompatible 
avec elles. 

Soit, dira-t-on peut-être, mais ce que les travaux 
récents ont appris, c'est qu'on peut diversement effec- 
tuer ces classifications logiques, c'est qu'ils présentent 
sous différents aspects, dont aucun ne s'impose de pré- 
férence aux autres, le mode de dépendance du concept 
d'espace à l'égard des notions auxquelles on le rat- 
tache. La réponse d'un idéaliste kantien est toute prête : 
Ces groupements ont la même importance logique, en 
ce sens que l'on fait abstraction de Ja signification con- 
crète des termes et qu'on ne se préoccupe que de l'en- 
chaînement formel des propositions. Ils peuvent bien 
se substituer les uns aux autres, et aussi aux axiomes 
fondamentaux de la géométrie, sans rompre le lien 
logique qui rattache la chaîne des déductions géomé- 
triques à ses premiers anneaux, mais ce sont des jeux 
d'esprit, ils sont artificiels, arbitraires : Un seul sys- 
tème est nécessaire, c'est celui qui se réduit purement 
et simplement à l'énonciation des axiomes de notre 
géométrie. 

Si l'on conteste la légitimité de cette réponse, au 
nom de la géométrie non euclidienne, je crains que ce 
ne soit encore parce qu'on ne s'entend pas sur le sens 
des termes. Les néogéomètres objecteront qu'ils ne se 
placent qu'au seul point de vue de la nécessité subjective 
et qu'il leur suffit que l'esprit puisse édifier diverses 
constructions logiques aboutissant au concept d'espace, 
pour avoir le droit de déclarer ce concept subjective- 
ment contingent et, par conséquent, pour rejeter son 
caractère à priori. C'est ici précisément qu'ils s'écartent 



J48 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



du sens et du langage de l'idéalisme kantien. La néces- 
sité qu'accorderait un disciple de Kant aux axiomes de 
la géométrie euclidienne, à l'exclusion de tous les 
autres systèmes de propositions qu'on veut y substi- 
tuer, c'est bien aussi une nécessité subjective, c'est une 
nécessité qui résulte de la nature de notre esprit. Mais 
c'est une autre signification que les néogéomètres don- 
neront à ce mot subjectif \ et il n'est pas besoin d'aller 
très loin pour la trouver, c'est celle que nous avons 
précisément adoptée au cours de notre étude, quand 
nous avons voulu caractériser par ce terme ce qui est 
construit par l'esprit sans lui être imposé, ce qui est, 
en quelque mesure au moins, arbitraire, artificiel, 
fictif, en ce sens que l'esprit, en construisant, a con- 
science qu'il pourrait procéder autrement. Il est bien 
évident que dans ce sens la diversité des constructions 
est la marque môme de leur subjectivité, et que les 
termes nécessaire et subjectif sont contradictoires. 
Mais c'est affaire de définitions, et Kant n'adopte pas les 
mêmes. Déclarer nécessaires et subjectivement néces- 
saires les axiomes de la géométrie, c'est à ses yeux 
affirmer que, étant donné notre esprit tel qu'il est nous 
ne pouvons pas nous écarter clans l'intuition des rela- 
tions exprimées par ces axiomes. Et, ainsi comprise, la 
position de l'idéalisme kantien ne nous paraît pas être 
ébranlée par ce simple fait que des constructions logi- 
ques en nombre quelconque, où l'on ne se préoccupe 
même pas de faire appel à l'intuition, peuvent indiffé- 
remment servir de point de départ aux déductions géo- 
métriques. 

Mais, sur ce terrain véritable, le criticisme de Kant 
n'est pas sans avoir subi de rudes assauts de la part 
des néogéomètres. C'est surtout Helmholtz qui nous 
semble avoir fait les efforts les plus sérieux pour le 
combattre, non pas tant par les travaux auxquels nous 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 149 



avons déjà fait allusion, que par les commentaires que 
lui ont suggérés les études de Beltrami. Rappelons 
d'abord que Helmboltz accepte bien la formule kan- 
tienne « L'espace est la forme à priori du sens exté- 
rieur », mais il ne l'entend pas comme lui. À ses yeux, 
la notion qui est à priori n'implique pas de préférence 
tels ou tels rapports spatiaux, elle est en particulier 
indépendante des relations affirmées par les axiomes 
de la géométrie. Ceux-ci ne sont que la matière de 
fidée d'espace. Et c'est l'expérience seule qui pourra 
les justifier, tandis que pour Kant, au contraire, la notion 
d'espace trouve son expression naturelle dans les 
axiomes, c'est d'eux que lui vient son caractère aprio- 
rique, et ce qui conduit Kant à les dire nécessaires et à 
priori, c'est, nous le rappelions tout à l'heure, l'impos- 
sibilité de s'écarter dans l'intuition des vérités qu'ils 
expriment. Helmholtz, pour combattre directement cette 
thèse, s'efforce de créer idéalement l'intuition d'un es- 
pace où les axiomes ordinaires ne seraient plus vrais. 

11 lui faut avant tout expliquer ce qu'il entendra par 
la représentation intuitive d'une chose qui sort absolu- 
ment du champ de notre intuition commune. Helmholtz 
admet qu'un objet inconnu est représentable en intui- 
tion quand sont représentables toutes les impressions 
sensibles qu'il suscite en nous, suivant les lois connues 
de nos organes, et sous toutes les conditions possibles 
d'observation. Puis, fort de cette définition, il cherche, 
entre autres exemples, à énumérer la série des impres- 
sions sensibles que produiraient sur naus les phéno- 
mènes de l'espace pseudosphérique. Il ne s'agit pas là 
seulement de la surface de Beltrami. En introduisant 
dans ses calculs une variable de plus, le géomètre ita- 
lien a étendu ses conclusions à ce qu'il a appelé l'espace 
pseudosphérique. C'est cet espace où Helmholtz nous 
fait pénétrer. 



150 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



Pour comprendre son langage, il faut connaître le 
procédé par lequel Beltrami a obtenu aisément tous 
ses résultats. Définissant un point de la pseudosphère 
à l'aide de deux coordonnées u, v, il considère, on 
même temps qu'un point de cette surface, le point du 
plan dont u et v seraient les coordonnées cartésiennes. 
Grâce au choix des coordonnées u et il arrive alors 
que les droites du plan correspondent aux lignes géo- 
désiques delà pseudosphère, et les points d'une circon- 
férence de rayon fini correspondent aux points h l'infini 
de la surface, de sorte que celle-ci a, dans un certain 
sens, sa représentation complète à l'intérieur d'un 
cercle. A deux lignes géodésiques se coupant à l'infini 
correspondent deux cordes du cercle ayant une extré- 
mité commune ; à deux lignes se rencontrant ou ne se 
rencontrant pas correspondent deux cordes se cou- 
pant à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle. — C'est de 
la môme manière que l'espace pseudosphérique, où 
chaque point sera défini par trois coordonnées, trouve 
une ingénieuse représentation dans l'intérieur d'une 
sphère. 

Cela posé, voici comment d'après Helmholtz « les 
phénomènes d'un monde pseudosphérique apparaîtront 
à un observateur dont l'œil et l'appréciation se seraient 
formés dans un espace analogue à notre espace plan. A 
son entrée dans la pseudosphère, cet observateur conti- 
nuerait à regarder les rayons lumineux ou les lignes de 
vision comme des lignes droites, tout aussi bien que 
dans l'espace plan, et comme elles le sont en réalité 
dans la représentation sphérique de l'espace pseudo- 
sphérique. L'image visuelle des objets dans la pseudo- 
sphère lui ferait donc la même impression que s'il se 
trouvait au centre de la sphère représentative de Bel- 
trami. Les objets les plus éloignés lui sembleraient l'en- 
tourer à une distance finie, de 100 pieds par exemple. 



CONSÉQUENCES PHILOS , DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 151 

ais, s'il se transportait jusqu'à eux, il les verrait 
'étendre devant lui et plus en profondeur qu'en sur- 
face; derrière lui, au contraire, ils se contracteraient. 
Il reconnaîtrait l'erreur d'appréciation commise par ses 
yeux. S'il avait vu deux lignes droites qui lui parus- 
sent parallèles jusqu'à cette distance de 100 pieds, où 
le monde s'arrête pour lui, il reconnaîtrait en s'appro- 
chant que, par cette extension des objets avoisinants, 
elles s'écartent d'autant plus qu'il s'avance davantage ; 
derrière lui au contraire, leur distance semblerait dimi- 
nuer de façon qu'elles paraîtraient de plus en plus di- 
vergentes et éloignées l'une de l'autre. Deux lignes 
droites, qui, de la première position, lui auraient paru 
se couper en un seul et même point, derrière lui, à une 
distance de 100 pieds, en feraient toujours autant, et il 
aurait beau s'approcher, il n'atteindrait jamais le point 
d'intersection (1). » 

N'éprouve-t-on pas une sensation de surprise, en 
passant brusquement de la correspondance analytique, 
établie par Beltrami entre deux systèmes de coordon- 
nées, à la correspondance effective de deux séries d'im- 
pressions? Est-ce que Helmholtz ne donne pas à son 
tour une interprétation physique et physiologique de 
celle de Beltrami? 

Son explication n'a de sens que par une hypothèse 
qu'elle admet implicitement, à savoir que les images 
représentatives, construites par Beltrami à l'intérieur 
d'une sphère, doivent devenir des images réelles pour 
l'observateur qui aura pénétré clans le monde pseudo- 
sphérique. Mais alors, si, pour nous donner un exemple 
dïine série d'impressions différentes des nôtres, Helm- 
holtz nous eût simplement demandé de supposer pos- 
sibles celles dont il fait l'énumération, on comprend 

(1) Revue scientifique, juin 1877. Les axiomes géométriques, origine 
et signification. 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



difficilement ce qu'eussent gagné ses arguments au 
travail mathématique de Beltrami. Qu'importe au philo- 
sophe allemand que rénumération de ces impressions 
d'un nouveau genre évoque, par un rapport purement 
extérieur, quelques propriétés analytiques curieuses ? 
Tout au plus laissons à ce monde étrange où nous con- 
duit Helmholtz le nom de pseudosphérique, c'est af- 
faire de mot, mais distinguons bien entre l'espace pseu- 
dosphérique du mathématicien et celui du physicien et 
du physiologue. Quand c'est à des instruments d'op- 
tique qu'a recours Helmholtz pour nous rendre repré- 
sentables des impressions visuelles non ordinaires, le 
secours de ces instruments, en réalisant les impres- 
sions dans des cas particuliers, éclaire d'un grand jour 
et appuie solidement la pensée du savant; mais il n'y a 
aucun rapprochement à faire entre ce rôle des miroirs 
ou des lentilles et celui du travail de Beltrami. 

De quelque façon qu'on juge la thèse philosophique 
de Helmholtz, il ne semble donc pas que, pour l'approu- 
ver ou la combattre, on puisse manquer d'un seul élé- 
ment nécessaire à la discussion, si on laisse complète- 
ment de côté la géométrie non euclidienne. 

La même remarque s'appliquera d'ailleurs à tous les 
exemples d'intuition spatiale différente de la nôtre, 
qu'il a pu plaire à tel ou tel esprit ingénieux d'imagi- 
ner. Que les discussions provoquées par les travaux de 
métagéométrie aient été l'occasion de ces hypothèses 
plus ou moins étranges, cela est certain. Mais, en tout 
cas, ces travaux eux-mêmes n'apportent pas un seul ar- 
gument en faveur de leur légitimité, pas une seule ex- 
plication pour les rendre plus compréhensibles, Dites, 
par exemple : Notre intuition est inséparable de trois 
dimensions, mais qui sait si nous n'aurions pas pu, 
dans d'autres circonstances, en connaître quatre, qui 
sait s'il n'est pas des êtres et un monde pour lesquels 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 153 



la quatrième dimension existe, qui sait enfin si cet es- 
pace où nous vivons n'a pas quatre dimensions ou 
môme plus, sans que nous puissions croire à plus de 
trois ? Dites cela, et cette simple énonciation de ques- 
tions plus ou moins compréhensibles contiendra tout 
ce que notre esprit est capable de trouver ou de créer 
pour élucider ces questions: les géométries non eucli- 
diennes, sous prétexte de manier les mêmes mots dans 
leur langage, ne sauraient rien y ajouter. 

III 

Il nous reste à voir si les travaux des néogéomètres 
qui n'ont pu, à nos yeux, apporter quelque argument 
nouveau en faveur de l'empirisme, peuvent être invo- 
qués, au contraire, comme quelques-uns l'ont prétendu, 
à l'appui delà thèse idéaliste. 

En deux mots, voici ce qui est allégué. A l'exemple 
de Lobatchewsky, de Riemann et des néogéomètres 
dont nous avons parlé jusqu'ici, mais d'une façon dif- 
férente, M. Calinon (1) a élaboré les définitions essen- 
tielles qui peuvent servir de base à une géométrie des 
espaces à trois dimensions, géométrie générale dont 
celle d'Euclide ne serait qu'un cas tout particulier. Les 
espaces à courbure constante eux-mêmes ne sont que 
des cas particuliers, et il faut que ceux-ci deviennent 
identiques (possibilité du transfert sans déformation), 
et enfin que l'axiome des parallèles y soit vrai, pour 
qu'on puisse reconnaître l'espace euclidien. Dans le 
cas le plus général, la série des théorèmes se poursuit 
aussi loin que l'on veut avec la même rigueur que dans 

(1) Voir V Introduction à la géométrie des espaces à trois dimen- 
sions,^ M. Calinon, ainsi que les articles de MM. Calinon et Lécha - 
las publiés dans la Revue philosophique, la Critique philosophique, 
les Annales de philosophie chrétienne en 1889, 1890, 1891. 

9. 



154 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



la géométrie ordinaire. Une géométrie générale se 
trouve ainsi créée, dépendant d'an paramètre dont il 
n'appartient pas â l'esprit mais à l'expérience de fixer 
la valeur. Nous retrouvons ici, à l'égard de la géomé- 
trie ordinaire ou euclidienne, qui correspond à une 
valeur particulière du paramètre en question, les con- 
clusions empiristes que nous avons déjà discutées. 
Mais la thèse nouvelle présente ceci d'original, qu'elle 
s'élève au-dessus des géoiné tries particulières pour 
voir, dans la géométrie générale, une construction pu- 
rement rationnelle, sans postulats, fondée sur des dé- 
finitions à priori, qui se trouvent d'ailleurs légitimées 
par le seul fait de donner naissance à un développe- 
ment logique indéfini . Cette science, la véritable géo- 
métrie rationnelle, est ainsi tout entière, et à priori, 
une création de l'esprit, rexpérience n'intervenant 
ensuite que pour guider pratiquement dans le choix 
de la géométrie particulière qui nous convient en réa- 
lité. 

On voit comment, loin de sacrifier l'idéalisme à la 
géométrie non euclidienne, on ne fait que modifier ce- 
lui de Kant, en changeant sa matière. C'est un peu déjà 
ce que faisait Helmholtz, diminuant la partie formelle 
de la notion d'espace de tout le contenu des axiomes 
géométriques. Mais, pour Helmholtz, la part de l'esprit 
se réduisait alors à une notion vague, dépouillée de 
toute relation spatiale particulière, ce qui nous éloi- 
gnait sensiblement de l'idéalisme kantien et nous don- 
nait bien le droit de ranger Helmholtz parmi les empi- 
ristes. Ici, c'est différent : pour ôter leur caractère 
apriorique aux postulats spéciaux de la géométrie eu- 
clidienne, on ne laisse pas seulement à l'esprit le 
pouvoir de se former une notion d'espace sans con- 
tenu, pour ainsi dire ; on le reconnaît créateur, et à 
priori, de toute une géométrie au développement illi- 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 155 



mité, de tout un corps de science, formé d'une suite 
indéfinie de propositions. A. ce prix vraiment on ne 
risque plus d'être disqualifié d'idéaliste, pour ne fêtre 
pas à la manière de Kant. 

Pour dégager la géométrie non euclidienne de consé- 
quences aussi graves, nous ferons porter la discussion 
sur trois points essentiels: 

1° La géométrie générale est-elle sans postulats, et 
peut-elle se former sans emprunt à l'expérience? 

2° Que faut-il penser de la légitimité des notions pre- 
mières fondées sur le développement logique qui s'en 
déduit ? 

3° Cette géométrie générale seprésente-t-elle comme 
unique, déterminée ? 

1° 

Dans ces sortes de travaux où la géométrie ordi- 
naire est présentée comme cas particulier d'une science 
plus générale, on peut supposer, si Ton n'y réfléchit 
pas, que les éléments fondamentaux de notre géomé- 
trie : droites, points, distance, etc., vont sortir tout na- 
turellement, par une série de restrictions, de notions 
rationnelles posées par nous tout d'abord : il suffit de 
regarder de près les travaux eux-mêmes, comme celui 
de M. Câlin on, par exemple (si intéressant d'ailleurs et 
si original au point de vue mathématique) pour cons- 
tater, comme on pouvait s'y attendre, que ce sont, au 
contraire, les notions générales, prétendues ration- 
nelles, qui sortent des éléments habituels de notre in- 
tuition. Les espaces à trois dimensions sont présentés 
comme une généralisation des surfaces de la géométrie 
ordinaire, et toutes les définitions, sans exception, sont 
tirées, par généralisation ou simplement par analogie, 
des propriétés du plan, des droites et des surfaces. 
Certes, si on avait pu faire disparaître de la définition 



156 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



tout ce qui en rappelle l'origine, nous n'aurions pas le 
droit d'arguer de celle-ci pour contester le caractère 
rationnel de la notion qu'on nous offre. Mais non ; les 
matériaux concrets, qui ont guidé l'esprit dans la cons- 
truction delà définition, sont toujours présents. Celle- 
ci s'exprime à l'aide des éléments complexes, inexpli- 
qués, que nous avons déjà signalés au début de la 
géométrie ordinaire. Citons au hasard : « Il y a des sur- 
faces, dit M. Galinon, comme le plan et la sphère, où 
les figures peuvent se mouvoir sans se déformer; nous 
appellerons ces surfaces identiques à elles-mêmes : de 
même nous donnerons le nom d'espaces identiques à 
eux-mêmes... à ceux où les figures peuvent se déplacer 
sans déformation comme dans l'espace euclidien. » Il 
serait aisé d'insister sur l'incompréhensibilité de cette 
notion du déplacement sans déformation (1) : comment 
un ensemble de définitions impliquant de pareils élé- 
ments pourrait-il constituer une science purement ra- 
tionnelle? 

M. Lechalas, l'éloquent défenseur de la géométrie 
générale, — voulant répondre à ce grief, formulé de 
divers côtés (2), qu'elle ne peut pas échapper à une 
foule de postulats dans les toutes premières proposi- 
tions de la géométrie, — a donné, dans les Annales de 
Mathématiques, la démonstration d'une série de théo- 
rèmes concernant le plan et la droite (plus générale- 
ment les surfaces identiques et leurs géodésiques). L'au- 
teur établit, par exemple, qu'une demi-droite, tournant 
autour de son origine, engendre le plan d'un mouve- 
ment continu, sans retour sur les parties engendrées ; 
qu'une droite partage le plan en deux régions ; qu'une 

(1) Voir la note de la page 138. 

(2) Voir les articles consacrés à ce sujet par M\l. Renouvier (Cri- 
tique philosophique), et l'abbé Bhoûlie (Annales de philosophie chré- 
tienne). 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 157 



deuxième droite, joignant deux points respectivement 
situés dans les deux régions, rencontre la première, etc. ; 
c'est là un travail fort ingénieux, où les emprunts faits 
nécessairement à l'intuition ou à l'expérience reçoivent 
un arrangement curieux, mais nous ne voyons pas qu'ils 
disparaissent. 

Les premières propositions s'appellent, il est vrai, des 
définitions, mais ce n'est là qu'un mot, ce que nous 
disions tantôt de celles de M. Calinon subsiste complè- 
tement pour celles-ci. M. Lechalas reproduit la défini- 
tion des surfaces identiques, déjà citée, puis celle des 
géodésiques : Une géodésique d'une surface identique 
est une ligne située sur elle, et telle que par deux points 
de celle-ci il n'en passe qu'une en général. Mais, nous 
dit-on ce qu'est une surface, une ligne, un point, une 
figure, un déplacement, etc. ? Voilà autant de notions 
absolument inexpliquées qu'on nous fait accepter en 
bloc, et qu'on va introduire dans cette chaîne de déduc- 
tions prétendues logiques. Je ne sais rien de ces notions, 
je ne sais pas ce qu'elles sont, et je ne puis donc même 
pas dire si elles peuvent être, c'est-à-dire si elles ont 
droit à l'existence logique, au moins comme simples 
objets dépensée. Je sais encore moins ce que signifie- 
ront les groupements de ces éléments qu'on me soumet 
sous le titre de définitions. Comment pourrais-je dire 
s'ils sont légitimes ? En raisonnant comme si toutes ces 
notions avaient une signification logique, et comme si 
le mode d'association auquel on les soumet était légi- 
time, est-ce qu'on ne sous-entend pas une série de pos- 
tulats ? On répondra que tout ne se peut définir et que 
les premières définitions doivent nécessairement poser 
les éléments sur lesquels elles portent, sans essayer de 
les analyser ; soit ! Nous pensons absolument de même 
mais nous exprimons précisément cette idée en décla- 
rant que les postulats sont nécessaires et que l'esprit 



158 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



ne peut pas créer ainsi la géométrie sans emprunter à 
l'expérience ou à l'intuition des éléments irréductibles, 
en d'autres termes : que la géométrie ne pourra, dans 
aucun cas, se poser comme une construction logique 
sans postulats. 

2° 

Tout ce qu'on peut demander aux définitions, diront 
les partisans de la géométrie générale, c'est de ne pas 
impliquer de contradiction. Or, pour les premières, le 
travail analytique qui seul saurait garantir à priori l'ab- 
sence de contradiction, est impossible, nous le recon- 
naissons, les premières notions associées ne pouvant 
se ramènera des éléments antérieurement acquis. Mais 
un autre moyen nous reste de légitimer le point de dé- 
part d'une science telle que la géométrie : c'est la pos- 
sibilité d'en déduire une suite indéfinie de propositions 
sans se heurter jamais à rien de contradictoire. M. Cali- 
non nous semble bien avoir adopté, dans ce choix d'une 
condition de légitimité, une définition pure et simple, 
et, sur ce terrain, il est alors inattaquable. Si Von con- 
vient de dire : sera légitime toute proposition initiale 
d'où nous pourrons faire découler un développement 
illimité de théorèmes et de corollaires, toutes les défi- 
nitions de la géométrie générale se trouvent légitimes. 
C'est une pure question de mots. Mais quelles consé- 
quences sérieuses tirerait-on ensuite de cette constata- 
tion? Lorsqu'on présente la géométrie générale comme 
capable, par sa seule existence, de légitimer les propo- 
sitions premières, et que l'on conclut au caractère lo- 
gique de la construction totale, pour y voir une créa- 
tion de l'esprit qui peut passer pour la vraie science géo- 
métrique rationnelle, la légitimité dont on se prévaut 
prend une signification capitale. Nous exigions tout à 
Tlieure des postulats pour grouper des notions échap- 
pant à toute définition, et pour reconnaître à ces notions 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 159 

au moins l'existence d'objets de pensée : c'est la ré- 
ponse à cette objection qu'au fond on apporte ici, quand 
on allègue le développement logique construit sur ces 
notions et se poursuivant indéfiniment sans jamais 
rencontrer d'écueii. 

Eh bien, qu'on y regarde de près cependant. Si d'une 
proposition, où entrentdes termes inexpliqués, et qui ne 
s'impose pas d'elle-même comme exempte de contradic- 
tion, on déduit un nombre aussi grand qu'on voudra de 
propositions nouvelles, comment affirmera-t-on pour 
la millième, mieux que pour la première, qu'elle n'est 
pas contradictoire ? Certes, il n'est pas toujours néces- 
saire de comprendre le sens de tous les termes pour re- 
connaître la contradiction : Quelle que soit la significa- 
tion de la droite et du point, après avoir dit, par exemple, 
que par deux points ne passe qu'une droite, on ne 
pourra plus dire sans contradiction qu'il en passe deux. 
Mais, quand on ne se heurte pas à une association de 
termes manifestement absurde, comment imagine-t-on 
que l'on pourrait jamais être conduit à une contradic- 
tion en raisonnant sur des éléments qui échappent à 
toute analyse ? Car ils n'ont pas disparu, ces éléments 
inconnus que l'on s'est trouvé impuissant à définir, que 
l'on a posés sans les expliquer, et qui empêchaient 
d'apprécier la légitimité des premières propositions ! 
S'imaginerait-on que ce bloc de matière complexe, ap- 
porté par celles-ci de toutes pièces, va, en se répandant 
dans des suites infinies de raisonnements, se réduire 
en traces impalpables, et se dissiper peu à peu ? Voilà 
vraiment ce qu'il serait difficile de concevoir. Aussi 
longtemps qu'on parlera de droites, de plans, défigures, 
toutes les mystérieuses propriétés, qui pour ces êtres 
géométriques se cachaient sous des mots inexpliqués, 
seront toujours là, servant indéfiniment de support vé- 
ritable aux démonstrations. Et comment pourrions-nous 



160 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



déclarer la compatibilité ou l'incompatibilité logique de 
notions, que nous ne savons pas analyser, que notre 
esprit ne peut pas reconstruire pour lui, quand môme 
un long exercice, une longue chaîne de raisonnements 
nous eût familiarisés avec elles, au point de nous don- 
ner l'illusion de les comprendre ? Certes, lorsqu'on se 
soumet au contrôle d'une certaine réalité expérimen- 
tale ou intuitive, on peut clairement parler de contradic- 
tion, même en dehors des associations absurdes de 
mots, si on veut entendre par là un désaccord avec 
telle ou telle impression connue, tel ou tel fait, phéno- 
mène extérieur ou image de l'intuition. Mais dans la 
question qui nous intéresse, il est plus qu'évident que 
ce genre de contradiction ne saurait exister. On se place 
au-dessus et en dehors de l'expérience et de l'intuition 
ordinaire (sans quoi le seul abandon de l'axiome d'Ëu- 
clide serait un obstacle suffisant à l'existence de la 
géométrie générale). Il s'agit donc vraiment et unique- 
ment de contradiction logique, de celle qui résulte de 
l'incompatibilité de notions définies, et on ne nous 
semble pas pouvoir échapper à ce reproche de déclarer 
non contradictoires, sans raison suffisante, sans plus 
de raison qu'au début, une suite innombrable de propo- 
sitions. 

3° 

Enfin, pour pouvoir dire que l'idéalisme profite des 
travaux de géométrie générale, il faudrait établir qu'il 
y a là une création bien déterminée de l'esprit, que, 
par sa nature, par sa définition, cette science, qui s'élève 
au-dessus des manifestations contingentes de l'expé- 
rience, est bien véritablement une. Nous ne compren- 
drons pas qu'elle soit indéterminée, qu'elle puisse se 
présenter sous une diversité infinie d'aspects, prenant 
son point de départ en telles notions plutôt qu'en telles 
autres. M. Calinon l'a bien compris, et il s'est efforcé de 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON KUCLIDTENNE 164 



montrer que, par ses caractères propres, la géométrie 
générale, telle qu'il l a définie, se trouve bien détermi- 
née et présente le maximum de généralisation qui soit 
permis à l'esprit, sans sortir'complètement du domaine 
de l'intuition. Écoutons-le plutôt : « Toute équation à 
laquelle nous pouvons ajouter une forme, pour nous 
concevable, nous ramène à la géométrie ; or, nous ne 
concevons nettement que les formes très voisines de 
celles que nous avons sous les yeux, et toutes ces 
formes sont au plus à trois dimensions. On a voulu, il 
est vrai, faire correspondre, en généralisant la géomé- 
trie cartésienne, aux équations à plus de trois variables 
des figures à plus de trois dimensions ; cette extension 
est en somme légitime et peut, dans certains cas, 
rendre des services ; nws ce serait une illusion de 
croire que Ton crée ainsi uu* véritable géométrie plus 
générale que la géométrie à troi^* dimensions ; au bout 
d'une pareille généralisation, on pressent en effet une 
géométrie aussi générale que l'analyse elle-même : Mais 
comme nous n'avons aucune idée d'une figure à plus 
de trois dimensions, il y a non seulement correspon- 
dance, mais identité absolue entre cette figure et l'équa- 
tion qui la représente ; les figures à plus de trois dimen- 
sions ne sont donc que des noms nouveaux donnés 
aux équations sans aucune addition d'idée nouvelle. 

« C'est là l'illusion que nous voulons signaler. Au 
premier abord, l'objection que nous venons de faire à 
l'égard des espaces à quatre dimensions et plus paraît 
s'appliquer également aux divers espaces à trois dimen- 
sions de la géométrie générale ; mais d'abord nous con- 
cevons très bien les figures de tous ceux de ces espaces 
qui diffèrent très peu de l'espace euclidien, 'et par con- 
séquent de notre espace expérimental; quant aux autres 
espaces qui s'écartent sensiblement du nôtre, ils peu- 
vent toujours, comme nous l avons vu, être décompo- 



162 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



sés en éléments infiniment petits qui diffèrent très peu 
d'éléments euclidiens, de sorte que, si nous ne conce- 
vons pas, dans son ensemble, un espace de ce genre, 
nous en concevons très bien chacun des éléments. 
L'objection formulée plus haut contre un espace à 
quatre dimensions et plus perd donc ici toute sa va- 
leur (1). » 

En d'autres termes, aux yeux de M. Calinon, les es- 
paces à trois dimensions, en dehors de l'espace eucli- 
dien, ne nous éloignent pas sensiblement de notre in- 
tuition habituelle, tandis que les espaces à plus de trois 
dimensions nous en font sortir complètement : Seule, 
la géométrie des premiers gardera donc le véritable 
caractère de géométrie, qui se distingue, par des notions 
de forme, de l'analyse pure, et parla une limite est né- 
cessairement imposée aux généralisations. 

Nous ne pouvons accepter cette manière de voir. Deux 
attitudes seules nous semblent raisonnables à l'égard 
de l'intuition, celle qui consiste à accepter l'intuition 
ordinaire avec ses exigences, ou celle qui s'en passe. 
M. Calinon consent à abandonner l'intuition euclidienne, 
et croit pouvoir se contenter d'une autre. Laquelle? 
C'est ici qu'il nous faut regarder de près. On se rappelle 
Helmholtz essayant de créer idéalement une intuition 
factice, différente de la nôtre, à l'aide d'un ensemble 
d'impressions tirées du fonctionnement normal de 
nos organes et de notre esprit. M. Calinon fait en 
somme une tentative analogue en cherchant à com- 
poser l'intuition nouvelle d'éléments empruntés à l'es- 
pace euclidien. Mais nous ne pouvons voir là autre 
chose qu'une construction artificielle, que nous nous 
refusons absolument à identifier avec l'intuition véri- 
table, celle qui s'impose à nous, et il ne nous semble 

(1) Revue philosophique. Les espaces géométriques, t. XXXII, 
p. 375. 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 163 



pas possible de dire que la géométrie générale, qui s'en 
contente, conserve le véritable caractère géométrique, 
celui que deux mille ans ont consacré. 

On contestera peut-être que la construction de M. Ga- 
linon soit artificielle. A considérer une portion d'espace 
non euclidien comme composée d'éléments euclidiens 
infiniment petits, il y a quelque chose de comparable à 
ce que fait le géomètre qui couramment assimile un arc 
de courbe à une ligne brisée d'un nombre infini de cô- 
tés, ou une portion de surface à un ensemble d'éléments 
plans infiniment petits. Certes oui, le procédé de M. Ca- 
linon est conforme à l'esprit mathématique, mais une 
différence capitale distingue le cas habituel de celui qui 
nous occupe. L'arc de courbe, la surface, sont des êtres 
géométriques qui se posent au géomètre comme objets 
d'étude, et ce n'est que pour les examiner sous certains 
rapports, rapports de quantité et de mesure, qu'on intro- 
duit la considération des éléments plans ou rectilignes. 
Celle-ci vient donc simplement apporter un procédé 
spécial pour étudier des figures dont la définition était 
antérieure à l'application du procédé. Bien loin de là, au 
contraire, nous chercherions en vain dans le travail de 
M. Calinon une définition quelconque d'un espace ou 
d'une portion d'espace non euclidien ; il ne s'y trouve 
rien à cet égard qu'un recours à l'analogie avec les sur- 
faces, ce qui ne suffit évidemment pas à constituer 
d'abord l'objet qui sera analogue. — Comment clone, 
va-t-on demander, est-il possible de montrer qu'une 
portion d'espace non euclidien se compose d'éléments 
euclidiens infiniment petits ? C'est bien simple. On 
convient d'appeler distances, angles, aire, volume, des 
éléments tels que cette condition soit remplie ; autant 
vaut dire : on convient quelle est remplie. Et cette 
remarque peut s'étendre à toutes les autres définitions. 
Les espaces généraux à trois dimensions sont dès le 



164 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



début, supposés avoir des points, des lignes, des sur- 
faces, tout comme l'espace euclidien, etc. On ne sau- 
rait mieux dire qu'on va, à l'occasion de ces mois : 
espaces à trois dimensions, par un choix convenable 
de définitions, manier un langage qui rappellera sans 
cesse l'espace euclidien, et créera l'illusion d'une inlni- 
tion nouvelle analogue à l'ancienne ! N'avons-nous pas 
raison de voir une construction purement artificielle 
dans cette prétendue intuition ? 

Ensuite pourquoi nous refuserait-on le droit de nous 
arrêter en si beau chemin? Serait-il donc bien difficile 
de parler de formes à propos des espaces à n dimen- 
sions? Aux figures de l'espace euclidien à 3 dimensions 
on sait faire correspondre de mille manières certaines 
figures du plan (projection, perspective, etc.) Eh bien, 
qu'est-ce qui empêcherait de faire correspondre cer- 
tains éléments géométriques convenablement choisis 
aux équations qui dépendent de n variables? Si n est 
égal à 4, par exemple, il suffirait de considérer les sur- 
faces représentées par les équations, quand trois des 
variables deviendraient les coordonnées d'un point, la 
quatrième prenant toutes les valeurs de — c/d à + 00 ; 
ou, si on préférait, on pourrait faire correspondre aux 
équations certaines surfaces, enveloppes de celles-là, 
de sorte que chaque équation représenterait une sur- 
face. Ou encore, une équation pourrait représenter un 
complexe de droites, c'est-à-dire l'ensemble des droites 
euclidiennes satisfaisant à une condition (une droite 
dépendant, dans l'espace, de 4 paramètres) ; delà même 
manière l'espace à 6 dimensions pourrait fournir les 
complexes de cercles, etc. Ces correspondances d'équa- 
tions à des formes n'ont peut-être rien d'intéres- 
sant en elles-mêmes, mais qu'importe? Nous ne nous 
écartons pas, en les posant, du procédé fondamental en 
géométrie, qui consiste à établir un lien entre des êtres 



CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 165 



géométriques et des relations, c'est-à-dire non pas à 
Représenter les formes par des équations, à mettre la 
forme dans les calculs, ce qui n'a aucun sens, mais à 
rajouter aux symboles par une convention. Qu'importe 
le caractère de la convention ? Qu'importe qu'elle cesse 
d'être la même, quand on passe aux espaces à plus de 
trois dimensions? Que la notion déforme puisse s'y 
ajouter encore, cela suffit pour ôter le droit de dire que 
la géométrie se fond avec l'analyse. Et enfin on recon- 
naîtra que nous nous éloignerons moins ainsi de la 
géométrie ordinaire, que la géométrie générale s'écar- 
tait de l'intuition euclidienne, c'est-à-dire de notre intui- 
tion. 

Ainsi il nous paraît impossible de délimiter, par au- 
cune exigence relative à la forme, le degré de générali- 
sation où on s'élèvera, dès qu'on aura accepté de 
dépasser les bornes de la géométrie ordinaire. Et dès 
lors, si notre esprit ne peut rencontrer, dans ses cons- 
tructions, un cadre déterminé, où il puisse faire rentrer 
nos impressions habituelles de formes comme cas parti- 
culiers, à quoi nous servira d'appeler ces formes contin- 
gentes, de dire qu'elles pourraient être différentes si 
certaines circonstances eussent été changées ? Que de- 
vient la seule base solide du rationalisme, dont parle 
M. Lechalas, si la science qui devait jouer ce rôle, pour 
ne plus pouvoir se délimiter dans sa forme, échappe 
elle-même à toute définition, à toute règle de détermi- 
nation ? 

Concluons donc : l'idéalisme pas plus que l'empiris- 
me ne doivent se flatter de trouver, dans les travaux 
mathématiques de géométrie non euclidienne quelque 
argument décisif qui leur soit favorable. Tout au plus, 
à la base de ces travaux, se trouvent des notions qui 
peuvent fournir le prétexte ou l'occasion à des disputes 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



sur la théorie de la connaissance. Mais les arguments 
qui profiteraient à ces disputes sont à priori dans l'opi- 
nion préalable de chacun, dans ses habitudes d'esprit, 
dans la solution qu'il apporte d'avance aux questions 
débattues, et nullement dans l'existence ou dans les 
résultats des géométries non euclidiennes. 



CHAPITRE 111 

LA PRÉTENDUE SOLUTION DES ANTINOMIES MATHÉMATIQUES DE 
KANT PAR LE PRINCIPE DE CONTRADICTION 



Il nous reste à examiner l'application la plus saisis- 
sante peut-être qui ait été tentée de nos jours du prin- 
cipe de contradiction . Nous voulons parler de la solu- 
tion des antinomies mathématiques de Kant, que nous 
ont présentée avec tant de force et d'insistance les chefs 
du néo-criticisme français. 

On sait qu'à ces questions : Le monde a-t-il com- 
mencé? L'univers est-illimité dans l'espace? La matière 
est-elle divisible à l'infini ou constituée par des élé- 
ments indivisibles? Kant répondait en affirmant l'impuis- 
sance de la raison à prendre parti pour la thèse ou 
l'antithèse. D'une part (thèse) le monde a commencé, 
et l'univers est limité, car une série infinie dans le temps 
ou dans l'espace est au-dessus de ce que peut saisir 
notre entendement; d'autre part (antithèse) le monde 
n'a pas commencé, et l'univers est sans bornes, car un 
commencement absolu dans le temps ou dans l'espace 
vides est incompréhensible. Et de même s'il s'agit de la 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 167 



composition de toute substance : d'un côté (thèse), elle 
est formée de parties simples, car nous ne saurions 
concevoir un ensemble d'éléments dont le nombre est 
infini ; et cependant (antithèse) aucune substance n'est 
composée de parties simples, parce que nous ne pou- 
vons concevoir un terme à sa divisibilité. 

Kantse trompe, — est venu dire à son tour M.Renou- 
vier, — en donnant la même importance aux inconceva- 
bilités de la thèse et de l'antithèse. La thèse de chacune 
des antinomies n'est qu'incompréhensible : l'antithèse 
est contradictoire . Or, ce qui est contradictoire est 
faux, et comme de la thèse et de l'antithèse, ainsi que 
l'avait déjà déclaré Hamilton, l'une est nécessairement 
vraie et l'autre fausse, la thèse se trouve démontrée. 

Si M. Renouvier avait raison, nous aurions été nous- 
mêmes victime d'une étrange illusion en déclarant que 
le principe de contradic tion ne saurait autoriser aucune 
affirmation que l'observation ne puisse vérifier : 
essayons de montrer au contraire que cette théorie de 
M. Renouvier n'est pas justifiée logiquement, et disons 
notre opinion avec toute la franchise que l'on doit à 
J'illustre penseur. 

I 

Quel est dans ses traits essentiels le raisonnement à 
priori par lequel on démontre le commencement du 
monde, la limitation de l'univers, l'existence d'éléments 
indivisibles de la matière ? 

1° Les idées cle nombre et d'infini sont contradic- 
toires. 

2° 11 ne peut donc se faire qu'une somme de parties, 
t une collection d'éléments, soit formée d'un nombre 
infini de parties ou d'éléments. 

3° Comme application : il est faux que le passé soit la 
somme d'un nombre infini d'événements écoulés, que 



108 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



l'univers soit une collection d'un nombre infini de corps 
distincts ; qu'enfin un fragment de matière quelconque 
soit la somme d'un nombre infini d'éléments. 

4° Donc le monde a commencé, l'univers est limité, 
la matière est décomposable en éléments indivi- 
sibles. 

1. — Non seulement nous ne rejetons pas l'affirma- 
tion qui sert de point de départ à ce raisonnement, mais 
peut-être l'accueillons-nous plus facilement encore que 
ceux mêmes qui nous l'apportent. On sent trop souvent 
le besoin d'insister, à l'exemple de Gauchy, sur telle ou 
telle absurdité qui résulterait de l'hypothèse du nombre 
infini. A nos yeux, dans la formation des nombres 
abstraits par l'esprit, chacun a pour définition d'être un 
symbole succédant au dernier auquel l'esprit s'est arrêté 
et précédant celui qui suivra. D'après cette définition 
même, la création d'un nombre nouveau n'implique 
jamais aucune impossibilité, il ne saurait donc exister 
un nombre venant après tous les autres dans cette suite, 
un nombre plus grand que tout nombre assignable, en 
d'autres termes enfin un nombre infini. Qui dit nombre, 
dit nombre fini, ou plutôt ces deux mots réunis ne 
signifient rien de plus que le premier tout seul. 

Remarquons bien qu^ la possibilité indéfinie de for- 
mer un nombre nouveau est au fond ce qui rend absurde 
l'idée d'un nombre plus grand que tous les autres. De 
sorte que c'est dans une même vue, au simple examen 
de la notion abstraite de nombre, que la suite des 
nombres nous apparaît d'une part comme illimitée ou 
comme indéfinie, d'autre part comme incapable de de- 
venir infinie. C'est d'ailleurs le premier caractère, c'est- 
à-dire la possibilité pour la suite des nombres de se 
prolonger sans limite, qui constitue la notion de l'infini 
mathématique. « La notion de l'infini dont il ne faut 
pas faire mystère en mathématique se réduit à ceci : 



LA SOLUTION NÉOCRIÏICISTE DES ANTINOMIES 



169 



après chaque nombre entier il y en a un autre (1). » 
Les mathématiciens le sentent ordinairement fort bien, 
et c'est pour cela que, tout en faisant un fréquent usage 
de ce terme d'infini, ils sont souvent les premiers à 
s'élever contre l'idée absurde du nombre infini. 

2. — Jusqu'ici nous ne sortons pas du domaine des 
abstractions ou des possibles. Envisageons le monde 
concret. Se peut-il rencontrer quelque part un nombre 
infini d'objets distincts ? Non assurément. Nombre in- 
fini est un attribut chimérique qui n'existe pas (puiqu'il 
se détruit lui-môme), qui ne saurait figurer dans la liste 
d'attributs à l'aide desquels mon esprit interprète le 
réel, le traduit pour lui-même. Comment serait-il jamais 
conduit à l'énoncer dans son fonctionnement normal 
en face de l'expérience? Une condition nécessaire pour 
qu'un attribut puisse être attribué par nous aux choses 
n'est-elle pas avant tout que cet attribut ait une réalité 
dans la pensée ? Dès que la notion de nombre infini 
abstrait a été rejetée comme étant un rien dans la pen- 
sée, la réponse s'est trouvée faite à cette question : Un 
nombre infini d'objets peut-il se rencontrer dans le 
monde concret? 11 ne saurait donc exister aucun en- 
semble d'éléments, aucune somme de parties dont le 
nombre soit infini. 

3. — Mais alors, le passé n'est donc pas la somme 
d'un nombre infini d'événements ? L'univers n'est pas 
un nombre infini de corps distincts ? La matière n'est 
pas la somme d'un nombre infini de parties ? Nous 
n'hésitons pas à répondre : Non. L'affirmation, pour 
chacune de ces questions, équivaudrait à une absur- 
dité, puisque, encore une fois, elle énoncerait un attribut 
qui n'existe pas pour l'esprit. 

4. — Donc, conclut-on, le monde a commencé, Furii- 

(1) J. Tannery. Préface de Y Introduction à la théorie des fonctions 
d'une variable. 



G. Milhaud. 



10 



170 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



vers est borné, la matière est formée d'éléments indi- 
visibles : voilà ce que nous n'admettons plus au nom 
du principe de contradiction. Cette conclusion n'est pas 
à nos yeux la conséquence rigoureuse de ce qui précède. 
Voyons de près en effet comment des dernières propo- 
sitions négatives, qui se con tentaient de ne pas énoncer 
une chose absurde : A n'a pas un nombre infini, on 
peut logiquement tirer une conséquence aussi positive : 
A a un nombre fini. 

Une première explication consisterait à sous-entendre, 
avant la conclusion, un axiome de ce genre : ce qui n'a 
pas un nombre infini a un nombre fini. Le raisonne- 
ment suit alors avec rigueur : A n'a pas un nombre in- 
fini ; donc A a un nombre fini. Mais quelle est donc cette 
majeure ? Que signifie-t-elle ? Il ne faut pas que les mots 
fini et infini fassent illusion, et qu'on assimile infini à 
non fini, en donnant un sens à chaque mot de la pro- 
position. Nombre infini d'une part, nombre fini de 
l'autre, sont des couples de termes toutes formées, des 
expressions inséparables. Or, si d'un côté nombre fini 
ne signifie pas autre chose que nombre, comme nous 
l'avons remarqué, nombre infini ne signifie absolument 
rien. Ce prétendu axiome pourrait s'énoncer encore 
simplement : Ce qui n'a pas un X, a un nombre, — X, 
tenant lieu du terme le plus dépourvu de sens qu'on 
imaginera. Sous cette forme, l'axiome cesse si claire- 
ment d'en être un, qu'il est inutile d'insister sur la 
pauvreté du secours qu'il apporterait à la rigueur du 
raisonnement. 

A défaut d'un postulat, on essaiera peut-être d'invo- 
quer une définition. Quant il s'agira d'une pluralité con- 
crète, c'est-à-dire d'une occasion fournie par la réalité 
de distinguer, et par suite de compter des parties, on 
pourra dire que ces parties sont en nombre infini, si la 
numération est inépuisable, c'est-à-dire ne conduit pas 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 



171 



à un nombre. N'est-ce pas là le sens de cette définition, 
que nous empruntons à M. Renouvier? « J'appelle in- 
finie actuelle ou en acte une collection donnée quel- 
conque dont on supposerait que les parties distinctes 
ou éléments, considérés dans leur assemblage numé- 
rique, ne répondent pas à un certain nombre n, et cela 
quel que soit n, ou à quelque grandeur qu'il puisse at- 
teindre. » 

Ce cas s'oppose nettement à celui où la numération 
peut se terminer, et où par conséquent un nombre cor- 
respond à la chose considérée. Il est bien clair alors que, 
par définition, si A est une chose où des parties se 
comptent, elle a un nombre fini ou bien un nombre in- 
fini, puisque cela veut dire, en somme : elle a un nombre 
ou elle n'en a pas, et le raisonnement semble devenir 
absolument rigoureux. 

Mais cette fois ce n'est pas la majeure que nous con- 
testerons : on a posé une définition d'où elle résulte. 
C'est la mineure que nous n'acceptons plus. Si nous 
avons accordé que A n'a pas un nombre infini, nous 
n'entendions nullement ces derniers mots dans le sens 
spécial qu'on leur donne maintenant. Nombre infini 
impliquait une simple contradiction dans les termes, 
car nombre et nombre fini ne font qu'un à nos yeux, et 
nombre fini infini ne représentait rien à la pensée. 
Nous avons donc énoncé cette mineure pour rejeter une 
absurdité. Il en est tout autrement dès que ces mots 
« avoir un nombre infini » signifient « n'avoir pas un 
nombre fini » ou plus simplement « n'avoir pas de 
nombre ». Rien dans nos premières affirmations n'auto- 
rise plus la conclusion qui niait lïnflnité de A, la dé- 
monstration n'est pas faite. Pour sauver le raisonne- 
ment, et rendre la rigueur à la conclusion dernière, il 
faut prouver que A ne peut pas être infini au sens 
qu'assigne à ce mot la définition nouvelle. Or c'est pré- 



172 



LA CKHTITl'DE LOGIQUE 



cisémentce que semble avoir tenté de faire M. Itenou- 
vier dans une page, rédigée à la manière d'un traité de 
géométrie, et à laquelle il nous faut recourir. 

Après quelques définitions, et, entre autres, celle que 
nous venons de citer, nous lisons : 

1. — « Une collection donnée inconcreto est toujours 
telle, qu'en vertu d'une loi de l'entendement sans 
laquelle l'exercice de la sensibilité et toute expérience 
sont impossibles, on puisse distinguer, nombrer et as- 
sembler les objets de cette collection : 1,2,3, etc.; et 
cela, soit que la numération doive se terminer ou ne 
puisse pas se terminer effectivement. 

2. — « Dans l'hypothèse où la numération serait inter- 
minable, on peut toujours établir le parallélisme de la 
suite des concrets distincts avec la suite des nombres 
asbtraits 1, 2, 3, etc., puisque ces abstraits correspon- 
dent h ces concrets chacun à chacun nécessairement, 
et que la suite de ces abstraits est indéfinie et ne 
peut faillir, si loin que la multitude de ces concrets 
s'étende. 

3. — « Il résulte de la proposition précédente que, au 
cas où l'on pourrait démontrer que l'hypothèse de l'in- 
finité actuelle de la suite des abstraits est une hypothèse 
contradictoire en soi, il serait démontré par cela même 
que la suite des concrets est une hypothèse contradic- 
toire en soi. En effet, l'infini des concrets ne peut de- 
venir actuel que celui des abstraits ne le devienne pareil- 
lement. Si le premier s'accomplissait sans le second, 
si les deux suites n'arrivaient pas à se clore ensemble, 
après s'être constamment correspondu, c'est, dans notre 
supposition, la suite des abstraits qui, ne pouvant être 
donnée ad integrum, se prolongerait au delà de l'autre, 
et alors la suite des concrets répondrait à un certain 
nombre n, contrairement à la définition 2 (celle que 
nous avons citée plus haut). 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 173 



4. — « L'hypothèse de l'infinité actuelle de la suite des 
abstraits est contradictoire en soi... 

o. — « L'infinité actuelle de toute collection ou mul- 
titude de choses données, devant suivre le sort de l'in- 
finité actuelle de la suite des abstraits, ne peut être 
supposée sans absurdité, » 

Il est impossible de ne pas donner son adhésion entière 
aux deux premières propositions. Là où nous aperce- 
vrons des choses distinctes, nous pourrons toujours 
porter successivement notre attention sur chacune 
d'elles, disant 1, puis 2, puis 3, etc., et cela aussi long- 
temps que nous aurons des éléments sous les yeux, car 
nous saurons toujours énoncer un mot nouveau à l'oc- 
casion d'un objet nouveau. Le caractère indéfini de la 
suite des abstraits nous fait de même admettre sans 
réserve l'impossibilité du nombre infini. 

Tout cela étant posé, nous voyons, à priori, deux cas 
possibles pour la numération qu'entreprend notre 
esprit, elle peut ou elle ne peut pas se terminer, et toute 
la question revient à déduire de ce qui précède que le 
second cas implique contradiction. Or, la démons- 
tration qu'on nous propose tient alors tout entière 
dans cette idée : si l'infini des concrets s'accomplissait 
sans Finfini des abstraits, la suite des abstraits se 
prolongerait au delà de celle des concrets, laquelle 
répondrait à un nombre ??, ce qui est faux par défini- 
tion. 

Que signifient exactement ces mots : « Si l'infini des 
concrets s 1 accomplit... » Pour les traduire fidèlement, 
retournons à la définition fondamentale cle l'infinité 
actuelle des concrets ; elle nous donne : « Si, quelque 
grand que soit n, il n'existe pas de nombre n répon- 
dant à cette série de concrets ; en d'autres termes, si 
la numération commencée sur ces concrets, /, 2, 3... 
est interminable... » Mais comment comprendre alors 

10. 



174 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



cette étrange proposition : Si les concrets ne se lais- 
sent pas assigner un nombre n, si grand qu'on le cher- 
che, la suite des abstraits se prolongera au delà de la 
suite des concrets? La deuxième partie de la phrase ne 
suit plus logiquement la première, elle énonce même 
quelque chose d'absurde, car, si les concrets ne se lais- 
sent assigner aucun nombre, si la numération est inter- 
minable, la suite des abstraits se continuera indéfini- 
ment dans un parallélisme parfait avec la première. 

Halte-là ! nous dira-t-on, vous n'avez pas vu tout ce 
que renferme la notion de l'infinité actuelle des con- 
crets. Elle implique, outre l'absence de tout nombre n 
répondant à cette suite, l'idée d'un achèvement, d'un 
accomplissement, d'une clôture. L'infinité actuelle 
consiste dans cette double propriété que la suite se 
trouve achevée, sans qu'aucun nombre cependant y 
corresponde, si grand qu'on le choisisse. — Cela ne nous 
paraît pas signifier autre chose que ceci : L'infinité 
actuelle des concrets suppose leur suite à la fois ter- 
minée et interminable. Alors pourquoi entreprendre 
une démonstration quelconque de l'absurdité de cette 
hypothèse ? La contradiction' dans les termes est fla- 
grante, et nous affirmerons à priori, aussitôt la défi- 
nition ainsi posée, que cette infinité est une chimère 
irréalisable. 

Nous en revenons purement et simplement à la con- 
tradiction du nombre infini, du nombre fini et non fini 
tout à la fois, qui entraîne évidemment l'impossibilité 
d'une collection d'un nombre infini d'objets. Mais, en 
rendant à ces mots le sens qui met par lui-môme en 
évidence la contradiction, et qui seul, nous semble-t-il, 
permet de comprendre la démonstration de M. Renou- 
vier, nous nous écartons de celui qu'il fallait leur 
donner, pour accepter cette majeure : « A a un nombre 
fini ou un nombre infini. » Nous sommes de nouveau 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 175 

oblige de renoncer : A a un nombre ou un X, et le 
raisonnement auquel nous pensions trouver un fonde- 
ment logique dans une définition où le nombre infini eût 
été posé comme équivalent de « absence de nombre », 
s'écroule de nouveau. On ne nous donne pas jusqu'ici 
le moyen d'échapper à ce dilemme : 

Ou bien nous définissons le nombre infini, comme 
un nombre à la fois déterminé, fini, et comme cepen- 
dant échappant à toute assignation de nombre, et alors 
la contradiction de cette notion est flagrante, l'impos- 
sibilité de donner cet attribut contradictoire, qui est 
un rien pour la pensée, à toute chose concrète, n'est 
pas môme à démontrer : quel que soit le sens de A, A 
ne possède pas cette qualité chimérique qui serait le 
nombre infini ; mais il n'est permis d'en tirer aucune 
conséquence logique, car aucun attribut ne pourra être 
posé comme le négatif de ce rien. 

Ou bien nombre infini signifie absence de nombre, 
impossibilité pour une suite de concrets de se prêter à 
une numération qui se termine, et alors la majeure 
s'impose par définition, puisque évidemment à priori 
toute chose a ou n'a pas un nombre; mais, pour con- 
clure rigoureusement à l'affirmative, il nous manque 
jusqu'à présent la démonstration de la mineure : « 11 
est contradictoire que A n'ait pas de nombre. » 

II 

Cette démonstration, nous dira-t-on, a été faite et 
refaite, et il suffit de lire attentivement la Critique phi- 
losophique pour la trouver exposée avec une entière 
clarté. 

Le nombre est indépendant de toute opération de la 
pensée. Les unités d'une collection donnée existent 
avant que l'esprit les distingue, leur tout ou leur 



176 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



ensemble existe également, et l'esprit numérateur, par 
l'opération qu'il exécute, ne fait que nommer, sans le 
créer, le nombre, jusque-là inconnu. Ainsi, qui dit 
collection donnée, dit ensemble numérique, ou nombre 
d'unités, et par suite une collection donnée sans nom- 
bre (connu ou inconnu) est une absurdité. Tel est l'ar- 
gument résumé, croyons-nous, aussi fidèlement que 
possible. Est-il décisif ? 

1° Si, après avoir compté les billes contenues dans un 
sac, je déclarais que le nombre trouvé, douze par 
exemple, est une pure création de mon esprit, qu'il n'a 
rien d'objectif, je méconnaîtrais une vérité par trop 
évidente. La collection que j'ai sous les yeux contenait 
bien douze billes avant que je me misse à les compter. 
Qu'un autre vienne à ma place se livrer au môme calcul, 
il trouvera douze billes, absolument comme il les verra 
sous la couleur grise ou bleue où elles me sont apparues. 
Que personne môme n'ait plus jamais la fantaisie de les 
compter, et que je disparaisse, moi seul qui en ai connu 
le nombre, je peux bien affirmer que ce nombre douze 
restera une de leurs propriétés, au môme titre que 
leur poids, leur volume, leur couleur, leur forme sphé- 
rique, etc. comme il l'était avant que je le connusse. 

2° Soit encore un sac donné, qu'on placera devant 
moi, en me disant simplement qu'on l'a rempli de billes. 
Sans les compter (ce sera la différence avec le cas pré- 
cédent), j'affirmerai que cette collection donnée est un 
nombre. Dans les deux cas j'admets l'identité de collec- 
tion et de nombre, parce que d'une parties objets de la 
collection sont donnés, ils sont chacun nettement 
définis à l'aide des propriétés qui distinguent les objets 
concrets les uns des autres : poids, épaisseur, etc., et 
d'autre part leur ensemble est donné également, il forme 
lui-même un objet concret clairement séparé de tout 
autre, ayant un contour délimité, un volume, etc. A 



LA SOLUTION NÉOCRIT ICISTE DES ANTINOMIES 177 

L'extrême rigueur, l'identité entre collection et nombre 
ne paraît évidente que dans le premier cas ; clans le 
second, un raisonnement peut trouver place pour établir 
rigoureusement à priori que le sac contient un nombre 
de billes. Soit Fie volume du sac, et v le volume d'une 
bille, ou, si elles sont d'inégal volume, soit vun volume 
moindre que celui de la plus petite bille, le sac ne peut 
contenir plus de n billes, n étant le quotient entier de V 
par v ; la numération ne dépassera clone certainement 
pas n et par suite elle s'arrêtera à un nombre (inférieur 
ou au plus égal an). 

3° Poursuivons : Les hommes vivant à la surface du 
globe forment une collection que nous pouvons bien 
appeler nombre. Chacun d'eux est donné, et leur en- 
semble l'est aussi, car l'épaisseur d'espace qui les con- 
tient nous est connue. Mais les hommes vivant actuel- 
lement n'importe où dans l'espace vont-ils former 
une collection donnée identique au nombre ? Chacun 
d'eux est donné, dans ce sens qu'il existe et qu'il 
est distinct, cela est clair, mais leur ensemble n'est-il 
pas une chimère? Libre à vous d'identifier toujours 
nombre et collection, nombre et pluralité, nombre et 
ensemble, nombre et totalité, c'est affaire de mots. Si 
collection et nombre ne font qu'un, nous ne demandons 
plus si la collection des hommes vivants a un nombre, 
mais s'il y a une collection des êtres vivants, si la to- 
talité des êtres vivants a un sens. 

Chaque homme est réel, nous dira-t-on, et vous ne 
voulez pas qu'ils forment tous un ensemble réel? Qu'en- 
tend-on par « former tous un ensemble réel? » Si 
nous consentons à énoncer cette proposition comme 
conséquence évidente de ce que chacun d'eux est réel, 
c'est que nous ne ferons signifier à ces mots rien de 
plus qu'à ceux-ci : « chaque homme est réel. » Ils 
n'impliqueront pas l'idée d'un tout ou d'un nombre. 



178 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



Que si, au contraire, vous voulez qu'ils l'impliquent, 
nous ne voyons plus comment, en bonne logique, vous 
déduisez, de ce que chacun est réel, qu'ils forment un 
nombre, et c'est pourtant ce qu'il s'agit d'établir. 

Qu'on y réfléchisse, le tout n'est pas donné, la collec- 
tion n'est pas donnée, les parties seules sont définies. 
11 ne suffit pas de déclarer que toute collection d'objets 
donnés est un nombre, nous demandons pourquoi, — 
au nom du principe de contradiction, bien entendu, — 
dès qu'une partie quelconque est donnée, il y a collec- 
tion, et il faut bien avouer qu'on ne nous répond pas. 
On considère cette vérité comme évidente, et M. Re- 
nouvier l'implique dans une définition initiale : « Une 
collection donnée, dit-il, est une collection de choses 
données (1). » 

En réponse à M. Boirac, M. Pillon écrit, à propos des 
événements passés : « Si chaque événement passé est 
une unité réelle et donnée, comment la suite des évé- 
nements passés ne formerait-elle pas un tout réel 
et donné? » Sans cloute « la suite » signifie pour lui 
l'ensemble, la suite complète, la totalité, c'est-à-dire le 
tout, et son affirmation, qui devient une identité, ne 
prouve rien, car nous demandons justement qu'on 
nous démontre qu'il y a un tout. 

Les différentes expressions dont on se sert dans les 
discussions sur ce sujet sont de nature à faire illusion 
et à cacher la pétition de principes. On dira la multi- 
tude des hommes vivants, leur ensemble; ou tous les 
hommes vivants ou les hommes considérés « dans leur 
assemblage », et on parlera ainsi à priori, pour se 
proposer de montrer ensuite qu'ils forment un nombre. 
Vraiment, ce ne sera pas difficile, si chacun de ces 
mots implique pour l'esprit, comme le fait remarquer 



(1) 6™c aimée, I, j>. 229, 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 179 



M. Pillon, juste les deux mêmes idées que le mot 
nombre, à savoir : unités, et réunion ou assemblage en 
un tout de ces unités. Mais où est la nécessité de parler 
du tout, pourquoi ce tout s'impose-t-il à nous dès que 
les parties seules sont données ? Voilà la vraie ques- 
tion. On répond : parce que tous les hommes sont réels, 
parce qu'ils existent. Je ne comprends pas même le 
sens de ces mots : « tous les hommes ». Je ne peux le 
comprendre que lorsque j'aurai conçu les hommes for- 
mant une collection, c'est-à-dire lorsqu'on m'aura 
prouvé qu'ils forment un nombre, et ce que je refuse 
d'énoncer clairement, tant que la démonstration n'est 
pas faite, est justement le seul point de départ qu'on 
m'offre pour la démonstration ! Je ne peux reconnaître 
à priori comme existant réellement, comme donné en 
acte, que « chaque homme » pris individuellement. 

Certes, il m'estpermis de dire tous les hommes, mais 
dans le sens de « tout homme ». Pourquoi même n'uti- 
liserait-on pas les mots multitude, pluralité, ensemble, 
sans leur faire impliquer l'idée de la réunion en un 
tout? — Ne dit-on pas en géométrie : « tous les points 
dîme ligue, ou l'ensemble des points d'une ligne, ou le 
lieu géométrique des points jouissant d'une propriété ? » 
Ces expressions ont un sens fort clair et n'impliquent 
nullement la réunion des points en un tout. — Il pour- 
rait alors y avoir collection pour tels et tels individus 
pris ensemble, collection essentiellement variable au 
gré de l'esprit qui porterait, par exemple, son attention 
sur les hommes vivant à la surface de telle ou telle pla- 
nète. La collection des hommes vivants serait ainsi 
une collection en puissance. Rien n'empêche d'en par- 
ler, sans préjuger la question de savoir si elle existe 
également en acte, à moins qu'on ne démontre que 
toute collection en puissance, quand il s'agit des con- 
crets, est nécessairement une collection en acte* Or on 



180 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



ne nous donne sur ce point, au lieu d'une démonstra- 
tion, qu'une simple affirmation. 

« J'accorde, écrit Leibnitz àBernouilli, une multitude 
infinie (de monades), mais cette multitude ne fait pas 
un nombre ou un tout. » Que répond M. Renouvier? 
« La multitude donnée qui n'est pas un nombre donné 
est une conception étrange. La seule manière de la 
rendre intelligible serait de regarder la multitude 
donnée comme donnée en possibilité seulement, tandis 
qu'un nombre donné est une multitude donnée de fait 
ou actuellement. » — Mais cette seule manière nous 
suffit largement. Elle revient à ne regarder comme 
donnés que les individus, que chacun des individus, et 
à ne pas déduire de ce que chacun est donné qu'ils 
forment une multitude donnée, au sens de tout ou de 
nombre. Si nous n'avons pas le droit de nous sous- 
traire à cette nécessité, c'est cela qu'il faut nous mon- 
trer. M. Renouvier va-t-il nous donner satisfaction? 
« Cette distinction que Leibnitz indique lui-même se- 
rait applicable aux nombres abstraits, aux séries ma- 
thématiques indéfinies... Mais elle cesse de s'appliquer, 
s'il faut que les nombres correspondent constamment 
à des êtres effectivement donnés tous ensemble... 
Donnés ensemble et ne formant point des touts, ce sont 
termes contradictoires, car un tout est l'ensemble d'une 
multitude quand elle est donnée. » On le voit, M. Re- 
nouvier déplace dès les premiers mots le point de vue 
de Leibnitz, en parlant de la totalité donnée en acte, 
quand les individus seuls le sont. Aussitôt ce point ad- 
mis, nous partageons entièrement sa surprise, et Leib- 
nitz la partagerait aussi, de ne point voir assimiler cet 
ensemble à un nombre. Mais, quant à voir logiquement, 
au nom du principe de contradiction, que, chaque 
monade ayant une existence réelle, il y a nécessaire- 
ment un ensemble ou un nombre de ces monades, nous 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 181 



n'y réussirons pas à la lecture de ces lignes. Un peu 
plus loin M. Renouvier dit encore : « Autant que nous 
avancerons dans le compte imaginé des monades, au- 
tant nous poserons de nombres successifs de la série 
naturelle des nombres. Maintenant, que cette dernière 
série soit sans fin, alors que la série des monades est 
une série de données, cela est absurde. Des unités 
données forment un nombre et un tout, quelque im- 
mense qu'on le suppose. » C'est là une simple affir- 
mation. Leibnitz a dit : les monades ne forment pas un 
nombre et un tout, et M. Renouvier répond : « Les mo- 
nades forment un nombre et un tout. » — Il est vrai qu'il 
ajoute : « On se contredit en niant l'application d'une 
loi de l'entendement, sur le terrain môme, aux termes 
et aux idées mômes que celle loi seule est en posses- 
sion de fournir. » Si la loi de l'entendement visée ici 
est celle qui m'impose la nécessité de croire qu'un en- 
semble d'unités données a un nombre, nous avons 
suffisamment montré, pensons-nous, qu'elle n'est pas 
en cause. S'il s'agit de la nécessité pour l'entendement 
de croire à l'existence d'un nombre, quand des unités 
seules peuvent se distinguer et se définir, pourquoi 
l'admettrions-nous ? 

— Sans cloute en la contestant, nous dira-t-on, vous 
ne vous heurtez pas à la contradiction dans les termes; 
mais, si vous affirmez ainsi l'inintelligible, ce qui ne 
peut se penser, se définir, se concevoir, si vous violez 
l'entendement dans son exercice normal, ne démontrez- 
vous pas par cela môme la nécessité absolue de cette 
loi? Y aura-t-il une différence au fond entre une pa- 
reille nécessité et celle que révèle la contradiction dans 
les termes? 

— Soit ! mais qu'on nous montre alors que vraiment 
c'est essayer de penser l'inintelligible que de se refuser 
à voir dans tout homme vivant, pour revenir à notre 

G. MlLHAUD. H 



182 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



exemple, une unité d'une collection ou d'un tout. Qu'on 
ne dise pas que la démonstration résulte naturellement 
de l'impossibilité où nous sommes de définir, en sup- 
primant l'idée de totalité numérique, la multitude des 
hommes, Vensemble des hommes. Nous avons donné à 
ces expressions un sens des plus précis, et la compa- 
raison avec les lieux de la géométrie achève, nous 
semble-t-il, d'éclairer la notion. « Le concept d'homme 
vivant actuellement » a-t-il besoin d'explication? La 
pensée de « tout homme vivant » n'est-elle pas admise 
par l'entendement avec une clarté parfaite? Il suffit de 
ne pas ajouter à cette notion suffisamment définie 
Fidée delà collection, pour résoudre ce problème qu'on 
disait insoluble, à savoir : se passer de la totalité nu- 
mérique, tout en ne renonçant jamais à expliquer son 
langage, et à définir ses concepts. 

— Mais, va-t-on nous objecter encore, c'est un con- 
cept abstrait, une idée générale que vous nous offrez, 
quand il s'agit de réalités concrètes. Une idée générale 
n'a sans doute pas besoin de se lier à un nombre ; elle 
correspond même généralement à un nombre indéter- 
miné. Mais il faut sortir ici de l'abstraction et du monde 
des idées générales, pour rentrer, de gré ou de force, 
dans celui des réalités concrètes. La définition de la pro- 
priété qui caractérise un point de cercle donne immé- 
diatement autant de points qu'on en veut, et personne 
ne songe à dire que le cercle est la somme d'un nombre 
déterminé de pareils points, parce qu'il ne s'agit là que 
de fictions idéales. Mais il n'en est plus de même du con- 
cept de l'homme vivant : à moins de nous borner à n'en- 
visager jamais qu'un seul individu, il nous est impos- 
sible de considérer les hommes vivants dans leur assem- 
blage sans admettre qu'ils forment une collection donnée 
quoique incomplètement connue dans la réalité. L'union 
dans le concept devient ici nécessairement la collection. 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 183 



Nous répondrons que nous ne songeons pas à con- 
fondre deux sortes de notions, dont Tune se dégage de 
fictions imaginaires, et Vautre de réalités concrètes. La 
comparaison des concepts « d'un homme vivant actuelle- 
ment » et « d'un point quelconque du cercle » n'est 
destinée qu'à éclaircir nos idées. Il est bien évident 
qu'il s'agit, d'un côté, de tout être humain non seule- 
ment connu, mais existant. quelque part, et, de l'autre, 
d'un quelconque de ces éléments fictifs que j'appelle 
points de cercle, et qu'il me plaira de construire. Mais 
qu'importe? Ces deux notions ont quelque chose de 
commun : de part et d'autre, après avoir posé la défini- 
tion d'un individu, on refuse de n'envisager que lui, 
on porte sa pensée surtout individu de même définition, 
— d'un côté, sur tout individu analogue que construira 
arbitrairement l'imagination, de l'autre, sur tout indi- 
vidu de même espèce, qui existe actuellement, qu'il 
soit d'ailleurs connu ou inconnu, — et cela n'est-il pas 
clair? Le lien qui unit un individu quelconque à un 
autre de même définition permet bien d'affirmer que 
l'esprit considère ces individus dans leur assemblage, 
c'est-à-dire à travers ce lien, sans qu'il soit indispen- 
sable d'impliquer dans le concept l'idée de totalité nu- 
mérique. Ce lien logique ne vous suffit pas! mais 
prenez garde d'exiger, en somme, comme condition 
d'intelligibilité de notre langage, d'y voir justement la 
notion dont vous proclamez la nécessité! Ce serait là 
une singulière façon de raisonner. Oui ou non, quand 
je parle de tout homme vivant connu ou inconnu, sans 
vouloir parler en même temps de la totalité numérique 
des hommes, ces mots ont-ils un sens précis, expri- 
ment-ils une pensée claire ? Oui ou non, si je dis ensuite : 
tout homme vivant n'est peut-être pas une unité d'un 
tout ou d'une collection, y a-t-il un seul terme non dé- 
fini dans ma proposition? Ne peut-elle s'entendre, se 



184 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



concevoir, se penser ? Eh bien donc je conteste la néces- 
sité qu'on voulait m'imposer, sans jamais sortir de 
l'intelligible, sans jamais violer l'entendement dans ses 
exigences fondamentales. 

Dites-nous que vous avez une grande peine à séparer 
du concept de tout homme vivant actuellement l'idée 
d'un certain ensemble numérique, à former de ce con- 
cept une représentation qui n'implique pas cette idée : 
c'est possible. Vous ne voulez sans doute pas plus que 
nous appeler contradictoire ce que vous ne parvenez 
pas à vous représenter. Nous ne discuterons môme pas 
le point de savoir si vraiment il y a pour l'esprit une 
difficulté réelle : peu nous importe; nous irons jusqu'à 
admettre ici, si vous voulez, une inconcevabilité tenant 
à ce que les choses sont « soustraites aux rapports dont 
la propre nature de la pensée et son fonctionnement 
sont inséparables. » Qu'aurons-nous ainsi accordé si ce 
n'est que nous nous trouvons en présence non du con- 
tradictoire mais de l'incompréhensible, suivant la judi- 
cieuse distinction et les termes mêmes de M. Renouvier ? 
Or l'incompréhensible, pas plus que l'incroyable, n'im- 
posent à la raison l'obligation de nier. 

Nos adversaires seront-ils convaincus ? Nous n'osons 
l'espérer. Qu'ils nous permettent de rappeler une dis- 
cussion, présentant une certaine analogie avec la nôtre, 
et capable, croyons-nous, par la position même qu'y 
prend le néocriticisme, de jeter ici une vive lumière. 

Descartes s'arrête, dans son doute méthodique, de- 
vant cette affirmation : « Je pense, donc je suis, » jugeant 
cette vérité « si ferme et si assurée que toutes les plus 
extravagantes suppositions des sceptiques ne seraient 
pas capables de l'ébranler. » Mais il y a deux choses 
dans cette proposition : le fait de la pensée, évidem- 
ment impliqué dans le doute lui même, puis le fait de 
l'existence, qui, aux yeux de notre philosophe, résulte 



LA SOLUTION NÉOCRIÏICISTE DES ANTINOMIES 185 

nécessairement du premier. Comment passe-t- il du pre- 
mier au second ? C'est là une objection soulevée déjà 
du temps de Descartes, et sur laquelle on ne semble pas 
encore complètement d'accord. Le Cogito, ergo sam 
est-il ou non la conclusion d'un syllogisme dont la ma- 
jeure sous-entendue serait « tout ce qui pense est » ? 
Descartes, on le sait, a essayé de le nier. Mais peu nous 
importe de savoir s'il y est vraiment parvenu. Il nous 
semble voir là une question de forme : au fond, tout le 
monde s'accordera sur ce point que, pour Descartes, la 
pensée entraîne nécessairement l'existence, qu'on ne 
peut pas penser sans être, que penser est inséparable 
de être ; et qu'entend-il par existence, par être ? Aucune 
hésitation n'est possible: il veut parler de l'existence 
substantielle, de l'existence nouménale, substratum 
nécessaire du phénomène de conscience auquel est venu 
se briser le doute universel. Voilà certainement la 
pensée de Descartes. Il déclarera inintelligible qu'on 
puisse parler d'un état quelconque de la conscience, 
sentiment, représentation, idée, volition... sans conce- 
voir du même coup le sujet substantiel qui sent, con- 
naît, veut... Dans l'insistance, qu'on nous passe le mot, 
dans l'entêtement qu'il mettrait à rattacher ainsi tout 
phénomène psychique à un moi d'où il émane, sans 
donner d'autre raison que son impuissance à comprendre 
qu'il en pût être autrement, ne trouvons-nous pas déjà 
une analogie frappante avec l'exigence de ceux qui se 
refusent à concevoir « tout homme vivant actuelle- 
ment » s'ils ne rattachent pas chacun d'eux à un tout, 
dont il soit une unité ? Mais l'analogie devient plus sai- 
sissante encore enlre notre réponse à nos contradic- 
teurs et celle que le criticisme réserve à Descartes. 

« Comment oser conclure, dit M. Renouvier, du phé- 
nomène immédiat, actuel, identique avec la simple 
conscience, à l'objet extérieur, étranger, insaisissable, 



186 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



qui n'est posé que représentativement dans ce même 
phénomène ? Le vice est manifeste dans le célèbre 
Cogito, ergo sum, premier type de l'évidence intérieure. 
En effet, le sum ou sum cogitans a deux sens bien diffé- 
rents : l'un relatif à la pensée phénoménale et au moi 
phénoménal qui ne s'en sépare point ; l'autre au sujet 
immanent et permanent dont on fait une substance 
appelée esprit, une substance, c'est-à-dire quelque 
chose qui, loin d'être évident, n'est pas même intelli- 
gible. Quoi qu'il en soit, d'ailleurs, de la réalité des 
substances, est-ce une méthode tolérable que celle qui, 
ayant d'abord qualifié d'évidence l'apparence du phé- 
nomène incontestable, incontesté, applique sans façon 
ce même nom à la prétendue essence spirituelle, niée 
par un si grand nombre de philosophes de tous les 
temps ? Un homme tel que Descartes ne pouvait tomber 
dans le sophisme grossier qui consisterait à déduire 
logiquement du cogito phénoménal le substantiel sum 
ou sum cogitans. Il n'entendait donc au fond qu'un 
jugement nécessaire ou que, par habitude, il croyait tel, 
et son premier pas dans la science, après le doute uni- 
versel, était le rétablissement de la grande chimère de 
ses prédécesseurs en philosophie (1) ». 

Ne pourrions-nous pas dire, presque dans les mêmes 
termes : « Comment oser conclure du phénomène im- 
médiat, actuel, qui est l'existence connue d'un certain 
nombre d'hommes vivants, et d'où se dégage pour 
nous le concept de tout homme vivant, connu ou 
inconnu, à cette chose distincte, étrangère, qui serait le 
tout des hommes vivants? Le vice est manifeste dans 
cette proposition : les hommes vivants sont des réalités, 
donc les hommes vivants forment un tout. En effet, 
l'expression « les hommes vivants » a dans cette propo- 

(1) Critique philosophique, Renouvier, 10 e année, I, p. 381. 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 187 



sition deux sens bien différents : c'est d'une part « tout 
homme vivant » tout individu qui répond à mon con- 
cept d'homme vivant, et d'autre part les mêmes mots 
dépassent ce concept pour désigner déjà l'ensemble de 
ces individus, c'est-à-dire quelque chose qui, loin d'être 
donné, a besoin qu'on démontre son existence. Quoi 
qu'il en soit d'ailleurs de la réalité de ce total numé- 
rique, est-ce une méthode tolérable que celle qui, ayant 
d'abord déclaré donné chaque individu séparément, 
applique sans façon ce même mot à cette prétendue 
totalité numérique niée par des philosophes de tout 
temps (1) ! Il est imposible qu'on songe ici à une déduc- 
tion logique. Il ne saurait donc être question que d'un 
jugement nécessaire ou que, par habitude, on croit tel, 
peut-être tout simplement d'une grande chimère. » 

Cette chimère se cache sous le principe du nombre. 
Descartes aurait tout aussi bien décoré la sienne de ce 
beau nom : le principe de la substance. Quelle est la 
chimère qui ne pourra s'abriter sous un principe ? 
Toute la question est de savoir si, en contestant ce 
principe, on se contredit, si on tombe dans l'inintelli- 
gible. Nous ne le croyons pas moins pour le principe 
de la substance de Descartes que pour le principe du 
nombre de M. Renouvier, et nous pensons avoir justifié 
notre opinion. 

4° Enfin, prenons un dernier exemple: J'ai sous les 
yeux une règle en bois. C'est un objet unique, dans 
lequel cependant je peux distinguer des parties; ainsi, 
je peux la couper en deux, en trois... morceaux. Si je 
poursuis la division, supposé que les procédés physiques 
les plus puissants ne me fassent pas défaut et que je 
dispose du temps sans limite, est-ce que les éléments 
qui pourront être séparés sont en nombre fini ? On 

(1) Tous ceux qui u'ont cru ni au commencement du monde ni à la 
limite absolue de l'univers. 



188 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



répond : Oui, car la règle est la somme ou la collection 
de ses parties, et, par suite, celles-ci ont un nombre fini. 

Nous voyons bien cette fois le tout, l'ensemble sur 
lequel on raisonnera; c'est la règle, ou, à chaque ins- 
tant, ce tas de morceaux qui est là devant moi et occupe 
cette place dans l'espace. Mais les parties sont-elles 
données ? Qu'est-ce donc que ces éléments dont la règle 
est la somme ? Je vois, il est vrai, à chaque instant des 
morceaux séparés nettement définis. Mais cette défini- 
tion dépend du moment où je me place dans l'opération 
à laquelle je me livre. Choisirez-vous un instant parti- 
culier pour que la définition des parties soit précise ? 
Vous aurez à coup sûr un nombre fini d'éléments, mais 
cela ne prouve rien sur le degré de divisibilité de ma 
règle. Vous ne choisirez pas un instant spécial ? Mais 
alors la définition des parties est variable, et qu'enten- 
dez-vous quand vous dites que la règle comprend un 
nombre déterminé de ces choses qui ne sont pas défi- 
nies ? — Non, que vous en ayez conscience ou non, 
lorsque vous énoncez cette proposition : La règle n'est 
pas divisible à l'infini, parce que, se composant de 
parties, elle est nécessairement un nombre de parties, 
vous entendez sous ce mot « parties » des éléments 
derniers, obtenus après achèvement de la division de 
la règle, et vous supposez donc implicitement qu il y a 
des éléments derniers, des éléments indivisibles, vous 
supposez ce que vous vouliez démontrer. Toutà l'heure, 
quand des éléments individuels étaient donnés, vous 
parliez de leur ensemble, admettant donc à priori qu'ils 
ont un nombre. Maintenant c'est un objet qui est donné : 
vous parlez de ses « parties », comme si elles étaient 
données, et il est impossible de les définir, sans sous- 
entendre ce qu'il s'agit de démontrer. 

Nous touchons en somme, par notre exemple, à la 
question même du continu de la matière, et il est im- 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 189 

possible de passer sous silence une argumentation que 
nos adversaires présentent fréquemment sous une 
forme saisissante, en reprenant pour leur compte la 
dialectique de Zénon d'Élée, et essayant de montrer, 
au nom du principe de contradiction, que le mou- 
vement est inconciliable avec le continu, c'est-à-dire 
avec la divisibilité illimitée d'une étendue ou d'une 
durée concrète. La durée et l'étendue, disent-ils en 
substance, quand elles cessent d'être des quantités 
abstraites, pour être effectivement parcourues, traver- 
sées, apparaissent aux yeux de la raison comme néces- 
sairement discontinues, car le continu équivaudrait à 
une suite inépuisable qui s'épuise, à un nombre infini 
d'éléments qui se finit. « La contradiction, dit M. Re- 
nouvier, est ici dans la supposition môme qui réalise 
l'irréalisable, ete'est l'esprit de cet argument fameux et 
tant méconnu de Zénon d'Élée, appelé l'Achille. Leib- 
nitz a donné l'exemple de ne le point comprendre. » 
Voici en effet ce qu'écrivait Leibnitz à l'abbé Foucher : 
« Ne craignez point la tortue que les Pyrrhoniens fai- 
saient aller aussi vite qu'Achille, vous avez raison de 
dire que toutes les grandeurs peuvent être divisées à 
l'infini. Il n'y en a point de si petite dans laquelle on ne 
puisse concevoir une infinité de divisions que l'on 
n'épuisera jamais. Mais je ne vois pas quel mal il en 
arrive, ou quel besoin il y a de les épuiser. Un espace 
divisible sans fin se passe dans un temps aussi divisible 
sans fin. » Et M. Renouvier de répondre : « Le mal qui 
en arrive, et pour lequel les yeux du métaphysicien sont 
couverts du bandeau d'un système, c'est que, s'il y a des 
divisions qu'on n'épuisera jamais, parce qu'elles sont 
sans fin, on ne les épuisera jamais en effet. Et par 
conséquent on ne finira pas de passer. Et quel besoin 
de les épuiser ? demande-t-on. Mais tout simplement le 
besoin de passer, si c'est de cela qu'il est question. Or, 

11. 



190 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



il est bien question de passer, puisqu'on ajoute que 
l'espace infiniment divisible se passe dans le temps 
infiniment divisible. Mais l'espace et le temps ont beau 
se suivre et s'accommoder l'un à l'autre en parfaite cor- 
respondance dans leurs divisions respectives, ni l'un 
ni l'autre ne peuvent se passer, quand par hypothèse ils 
sont intraversables, étant inépuisables. Voilà l'argument 
dans sa force ; Il revient à dire que l'infini ne peut se 
définir (1). » 

L'argument ne saurait être présenté avec plus de 
vigueur, il ne nous convainc pas cependant. Lorsque, 
envisageant une étendue parcourue par un mobile, ou 
la durée du mouvement, je me plais à les diviser en 
2, 4, 8,... parties égales, par exemple, je mets en évi- 
dence des éléments dont à chaque instant ces quantités 
concrètes sont la somme. Je ne les crée pas, ils existaient 
avant que je leur eusse imposé des limites, mais l'éten- 
due ou la durée ne peuvent être clairement appelées 
sommes de parties que si j'interviens pour définir ces 
parties. Si on ne reconnaît pas cette condition comme 
indispensable à la détermination numérique de ces 
quantités, qu'on nous dise de quelles parties elles sont 
collections ; et il n'y aurait qu'un moyen de nous répon- 
dre, ce serait de supposer tout de suite aux mots par- 
ties ou divisions un sens indépendant de notre esprit, 
en lui faisant désigner des élémentsirréductibles d'éten- 
due ou de durée. Il est à peine nécessaire de faire 
remarquer qu'on ne prouverait rien ainsi. Dès lors, les 
parties ou divisions qui sont parcourues clans le temps 
ou dans l'espace, celles dont le nombre déterminé, fini, 
s'épuise nécessairement, ce sont les portions mises en 
évidence par moi, délimitées par moi, en ce sens que, 
dans la série des divisons successives auxquelles je me 

(1) Critique philosophique, 5 mc année, II, p. 69. 



LA SOLUTION NÉOCRITIGISTE DES ANTINOMIES 191 



livre par la pensée, je m'arrêterai à tel ou tel moment. 
Mais cette suite d'opérations abstraites est illimitée, elle 
n'a pas de terme, nous sommes tous bien d'accord sur 
ce point. Nous ne risquons pas, par conséquent, de pou- 
voir jamais assigner ce terme, auquel correspondrait la 
chimère du nombre infini, à la division de nos quantités 
concrètes. Il ne pourra pas être question d'en faire une 
somme d'éléments sans fin. Dans quel sens direz-vous 
donc qu'une suite d'éléments sans fin se finit ? qu'une 
suite inépuisable s'épuise ? Ce qui se finit, c'est le mou- 
vement, il est bien sûr que la quantité se parcourt; 
mais, même dans l'hypothèse du continu, c'est-à-dire 
en supposant que cette quantité soit divisible par moi 
en un nombre de parties aussi grand que je voudrai, où 
est la nécessité, que dis-je? où est la possibilité de dire 
qu'une suite illimitée d'éléments se termine, quand il 
entre clans la définition même de chaque élément l'obli- 
gation de faire partie d'une suite illimitée ? 

Et quoi, je construis une échelle d'abstraits 1 1 | v , 
que vous reconnaissez sans fin ; j'envisage sur une 
quantité concrète une suite d'éléments correspondant 
aux termes successifs de ma série numérique, et, si j'ad- 
mets alors que la correspondance puisse se continuer 
sans limite, c'est-à-dire aussi loin que je voudrai, mais 
de telle façon que jamais je n'embrasse ainsi la quan- 
tité entière, vous en profitez pour déclarer que celle-ci 
équivaut à uue suite infinie d'éléments ! De ce que je 
ne peux pas, si loin que je prolonge l'effort, recons- 
truire la quantité tout entière avec les portions que 
j'ajoute, vous concluez que celle-ci est la somme de la 
suite infinie des éléments que j'additionne î Mais c'est 
la conclusion contraire qui semble mille fois plus natu- 
relle : l'étendue ou la durée ne sont pas assimilables à 
des sommes d'un nombre infini de parties ; et alors 
quel mal y a-t-il à ce que de pareilles sommes ne se 



192 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



reconstituent pas, puisqu'il ne faut pas les confondre 
avec les quantités à parcourir? Nous dirons avec Leib- 
nitz : Quel besoin y a-t-il que ces sommes s'épuisent? 
Le besoin de passer, nous dit-on. On confond deux 
choses bien distinctes, la fin du mouvement par lequel 
l'étendue ou la durée est traversée, avec la fin d'une 
construction, qui de sa nature même n'en peut point 
avoir. Prétendre le contraire, c'est supposer l'inintelli- 
gible, c'est admettre que la quantité à parcourir re- 
présente la somme des divisions qui correspondraient à 
tous les termes de la série abstraite supposée achevée. 
On nous accuse de contradiction, et on ne voit pas 
qu'en identifiant le fait de passer, d'épuiser l'étendue 
ou la durée, pour le mobile qui la parcourt, avec la 
nécessité pour nous de parvenir au terme d'une cons- 
truction qui n'en a pas, on se rend d'abord coupable 
d'une confusion inintelligible. Certes, l'esprit peut 
éprouver quelque déception à ne pouvoir ajouter des 
éléments jusqu'à reproduire la quantité concrète. Il 
cherche instinctivement à approcher d'aussi près que 
possible du terme réel de la quantité, mais il se heurte 
à un obstacle insurmontable, dès qu'il veut ne plus se 
contenter d'une approximation. Il lui faut bien renoncer 
à concevoir l'étendue ou la durée comme sommes d'élé- 
ments se succédant d'après la loi particulière qu'il a 
choisie ; il lui faut bien renoncer à épuiser la quantité 
comme il essayait de le faire, se plaçant, pour ainsi dire, 
dans une position spéciale, choisie par lui, — sans nier 
pour cela qu'elle s'épuise réellement. A cette question : 
Quel besoin y a-t-il d'épuiser les divisions sans fin, il ne 
faut pas répondre: « Le besoin de passer », mais « Le 
besoin de voir passer », et de voir en regardant d'une 
certaine manière ; au fond, dans ce besoin qu'on nous 
donne comme une nécessité de fait, nous avons quelque 
peine à trouver autre chose qu'un caprice de l'esprit. 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 193 

M. Evellin a repris, en y insistant à son tour, la thèse 
de M. Renouvier. C'est le fameux problème de l'Achille 
qui lui sert d'exemple : 

« Deux coureurs entrent en lice : l'un renommé pour 
son agilité, c'est Achille ; l'autre connu pour sa lenteur, 
la tortue. Feignons, en vue de simplifier, que la vitesse 
du premier soit décuple de celle du second, et que la 
distance qui sépare l'un de l'autre soit de dix unités de 
mesure. Ils partent, et en peu d'instants Achille aux 
pieds légers atteint la tortue ; on peut même par le 
calcul fixer exactement le point de rencontre. Voilà le 
fait... Si l'espace franchi par les deux coureurs est de 
même nature que l'étendue idéale, Achille doit renoncer 
à atteindre la tortue. Comment l'atteindrait-il ? L'avance 
de la tortue sera toujours de un dixième de l'espace 
franchi par Achille, et, comme la divisiblité d'une sem- 
blable étendue est sans fin, le dixième dont nous par- 
lons représentera toujours une étendue, par suite une 
avance. La rencontre en définitive sera impossible. » 

A-t-on ainsi démontré vraiment que le fait de la ren- 
contre est contradictoire avec le continu de la quantité 
à parcourir? 

L'hypothèse du continu est traduite dans le raison- 
nement précédent par ces mots : « la divisibilité de 
l'étendue est sans fin », autrement dit : l'étendue ou la 
durée fournissent autant de portions que je leur en 
demanderai ; elles ne cessent jamais de se prêter à la 
détermination d'un nouvel élément concret, corres- 
pondant à un nouveau terme abstrait d'une suite évi- 
demment sans limite. Ou les mots n'ont aucun sens, ou 
c'est bien là, à nous reporter aux expressions mêmes 
de M. Evellin, la continuité dont on veut montrer l'im- 
possibilité, par ce seul fait que la rencontre est chose 
incontestable. 

Or, que nous dit-on? L'avance de la tortue sera, 



194 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



après chaque instant nouvellement considéré, le dixième 
de l'espace qu'a parcouru Achille dans la durée de 
cet instant ; cela est certain, mais prouve simplement 
qu'en découpant ainsi sur l'étendue, qui aboutit au 
point de la rencontre, des parties dont chacune est 
le dixième de la précédente, mon esprit se met dans 
l'impossibilité absolue d'atteindre, de saisir ce point de 
la rencontre... Cela n'a rien que de fort naturel, et ja- 
mais personne ne soutiendra sérieusement que nous 
puissions parvenir au terme d'une série qui n'en a pas. 
Mais nous a-t-on fait voir que l'hypothèse du continu 
exclut le fait de la rencontre, fait dont la réalité est en 
dehors de la facilité avec laquelle je le conçois ou l'ima- 
gine, quand ma fantaisie me sert de guide? On ne sau- 
rait répondre affirmativement qu'à une seule condition, 
c'est d'admettre la simultanéité nécessaire de ces deux 
choses : impossibilité pour nous de saisir le point de la 
rencontre comme terme d'une suite illimitée d'élé- 
ments, et impossibilité pour ce fait de se produire réel- 
lement. En d'autres mots, le raisonnement qu'on nous 
a présenté n'est rigoureux que si le point où se termine 
la quantité concrète est la fin effective de la série 
d'étendues que je construis successivement sur l'étendue 
parcourue. On n'a démontré l'absurdité du continu, 
que si sous ce mot on entend d'abord la réalisation de 
cette chose étrange : une suite illimitée d'éléments en 
lesquels se trouve décomposée une quantité déterminée, 
une suite illimitée finie, achevée, puisqu'elle repré- 
senterait dans son ensemble l'étendue ou la durée con- 
crète qui se termine à la rencontre. 

Ah ! certes, si c'est là ce qu'on entend vraiment par 
continu, que va-t-on chercher ce vieil argument de 
Zénon ? Qu'essaie-t-on de mettre en contradiction un 
pareil continu avec le fait du mouvement? Tout cela 
n'est-il pas trop compliqué pour mettre en évidence 



LA SOLUTION NÉOCR1TICISTE DES ANTINOMIES 



195 



l'impossibilité d'une suite infinie finie, d'une série sans 
terme terminée? Mais la contradiction saute aux yeux, 
dès qu'on vient de construire cette notion. Celle-ci ne 
tient pas debout un seul instant, et il est curieux de 
voir alignés, pour en montrer l'absurdité, d'autres 
mots que ceux par lesquels on énoncerait simplement 
sa définition. Ce n'est pas seulement avec le mouve- 
ment, c'est avec tout ce qui existe, tout ce qu'on peut 
nommer et ayant un sens précis qu'est en contradiction 
une chose qui se détruit elle-même ! 

Mais peu importe : le seul fait intéressant est l'absur- 
dité môme de cette notion. Nous tomberons d'accord 
avec nos contradicteurs en déclarant que sûrement la 
distance qui sépare le point de départ de la tortue, par 
exemple, du point où l'atteint Achille, ne possède pas 
une pareille continuité. Mais la discontinuité à laquelle 
on veut conclure, l'existence d'éléments irréductibles 
pour le lieu et la durée de la course, ne peut plus logi- 
quement se poser comme le négatif d'un attribut qui est 
un non-sens. Lorsque le continu désignait simplement 
la possibilité d'être divisé indéfiniment, c'est-à-dire en 
autant de parties que je voudrais, il était bien clair 
qu'aussitôt le continu exclu, le discontinu s'imposait. 
Mais il nous a fallu renoncer à ce sens trop subjectif 
dont ne s'accommode pas le raisonnement de Zénon 
pour démontrer l'impossibilité de la rencontre effective. 
Maintenant que s'est objectivée la signification du con- 
tinu, le raisonnement n'a pas de peine à exclure cette 
qualité étrange de toute chose réelle, en particulier de 
l'espace et du temps dans lesquels se passe un mouve- 
ment déterminé ; mais alors aucune propriété définie 
n'est plus démontrée. Au nom de quelle contradiction 
nous refuserait-on le droit de juger indéfiniment divi- 
sible le chemin qu'ont à parcourir les coursiers avant 
leur rencontre ? 



196 



LA CKlîTITUDE LOGIQUE 



Il ne reste plus aux adversaires du continu qu a nous 
contester le droit de distinguer, quand il s'agit de quan- 
tités concrètes, les deux significations de ce terme. Ils 
nous diront : Si le chemin qu'ont à parcourir Achille et 
la tortue était indéfiniment divisible, il serait par cela 
même indéfiniment divisé, car chaque élément existe 
réellement avant d'être désigné. Et nous retrouvons ici 
ce hesoin tout naturel, pour qui veut faire aboutir la 
logique pure à quelque vérité concrète, d'admettre, 
sans s'en douter parfois, la nécessité d'ajouter un attri- 
but déterminé à ceux qui suffiraient déjà pour former 
un concept parfaitement clair. L'affirmation de cette 
nécessité implique toujours un postulat. De quelque 
façon qu'on l'explique, on sort en tout cas de la logique 
pure, le principe de contradiction n'est plus seul à 
justifier les conclusions. 

Faut-il beaucoup insister pour mettre ici le postulat en 
évidence ? Redirons-nous une fois de plus que la possi- 
bilité pour nous de distinguer autant de portions qu'il 
nous plaira, sur le chemin déterminé qui sépare chacun 
de nos coursiers du point de leur rencontre, forme un 
concept d'une clarté indiscutable ? que la propriété de 
la même étendue d'être effectivement divisée à l'infini, 
est un nouveau concept obtenu en ajoutant quelque 
chose au précédent ? Si A désigne le premier, le second 
sera, par exemple, A +B, et tout le monde est d'accord 
sur ce point que A + B est un concept mal construit ; il 
est contradictoire. Mais pourquoi veut-on que A soit 
nécessairement A + B ? Chaque élément d'étendue que 
je peux faire apparaître, c'est-à-dire, dans notre exemple, 
le dixième de l'élément précédent, n'a sans doute pas 
attendu que ma pensée le délimitât pour constituer 
une étendue véritable, mais cette remarque ne s'appli- 
que qu'aux éléments désignés. Il y a, dans la définition 
de chaque portion nouvelle, une condition qui dépend 



LA SOLUTION NÉOCRITICISTE DES ANTINOMIES 197 

de mon esprit, et elle suffit pour qu'une partie seule du 
chemin à parcourir soit clairement une somme effec- 
tive de ces portions de chemin. Vouloir que le chemin 
entier soit une pareille somme, c'est énoncer, sans la 
démontrer, une proposition qui dépasse dans la suite 
des idées tout ce qui était posé jusque-là. Ce saut que 
l'on franchit en substituant ainsi A + B à A est en 
somme tout ce qui nous sépare. On ne peut le combler 
sans sortir de la logique, et cela suffit pour que nous 
déclarions hardiment qu'on ne raisonne plus sous la 
garantie du principe de contradiction. 

Au surplus, si nous résumons le raisonnement qu'on 
nous propose, il se réduit au suivant : Ces trois choses 
ensemble, le mouvement, le continu et le postulat sui- 
vant lequel une étendue ou une durée sont effective- 
ment des nombres de parties, impliquent contradic- 
tion : donc le continu est inacceptable. Il serait tout 
aussi logique de conclure, en postulant le continu: 
donc il est faux que toute durée ou étendue soit effec- 
tivement une somme de parties. 

Ainsi cette argumentation spéciale fondée sur la con- 
sidération du mouvement ne vient rien changer à nos 
conclusions, et nous avons bien le droit de dire : 

En dehors des cas où un ensemble est donné, ainsi 
que ses parties, le principe de contradiction ne nous 
empêche pas d'envisager et de définir des individus, 
sans concevoir leur ensemble, ou de considérer un tout 
décomposable en éléments sans concevoir un nombre 
déterminé d'éléments, dont il soit la somme. 

Dès lors, la considération de tels événements passés 
qu'il nous plaira de définir, celle de telles portions de 
matière que nous saurons distinguer dans l'univers, 
enfin la conception, dans une chose quelconque, de 
telles parties que nous définirons à notre gré, n'impli- 



198 LA CERTITUDE LOGIQUE 

quent pas la nécessité logique d'affirmer un passé 
limité, un univers borné, une matière, discontinue. 
C'est à tort que le néocriticisme a cru pouvoir résoudre 
les antinomies de Kant au nom du principe de contra - 
diction : l'antithèse n'est pas contradictoire (1). 



(1) Nous n'avons pas ici à discuter si, cessant d'être contradictoire, 
l'antithèse est plus ou moins compréhensible que la thèse, puisque le 
principe de contradiction ne serait plus eu jeu dans le débat. 



CONCLUSION 



Nous avons voulu établir que l'esprit doit renoncer à 
toute certitude logique dans le domaine du réel. Une 
analyse directe des conditions nécessaires à la contra- 
diction nous a permis d'abord de démontrer notre thèse 
à priori. Sans revenir sur le subjectivisme kantien qui 
atteint toute notion, toute idée, toutes nos représenta- 
tions, nous avons distingué celles-ci par le rôle plus 
ou moins précis que joue l'esprit dans leur formation, 
et nous avons ainsi pu montrer que la certitude logi- 
que exigerait, pour se reconnaître, la réalisation d'une 
condition idéale, dont on peut approcher sans jamais 
l'atteindre rigoureusement, à savoir l'exclusion de 
toute matière imposée à l'esprit dans la construction 
des éléments sur lesquels il raisonne. Et en même temps 
il nous a été permis de constater que, plus cette condi- 
tion idéale est près d'être réalisée, plus est légitime 
l'usage du principe de contradiction, plus aussi est sub- 
jective, relative à nous-mêmes et non aux choses, l'in- 
dication qui en résulte. 

De ces considérations générales et abstraites nous 



200 LA CERTITUDE LOGIQUE 

avons porté la discussion sur un terrain concret et 
vivant, pour ainsi dire, en demandant aux mathémati- 
ques telles qu'elles existent de nous donner le secret de 
la rigueur logique qui leur est propre; et, soit en nous 
adressant au flair instinctif du mathématicien ; soit par 
F étude attentive de l'évolution que semblent suivre les 
notions essentielles de l'analyse moderne, à mesure 
qu'elle devient de plus en plus rigoureuse ; soit enfin 
par l'examen du rôle que jouent les concepts mathéma- 
tiques dans la science générale de l'univers, nous avons 
été amené à concevoir une mathématique idéale ayant 
pour objets des éléments dépourvus de toute qualité 
sensible, de pures constructions de l'esprit, et dont la 
mathématique elle-même se rapproche de plus en plus 
à mesure qu'elle veut être plus démonstrative. La certi- 
tude logique, poursuivie par nous dans son domaine 
propre, ne nous est donc apparue que comme cachée 
sous un voile qui la sépare de la réalité objective, et 
nous avons été conduit par celte recherche exactement 
aux conclusions de notre première analyse. 

Certes nous aurions eu peut-être alors le droit de 
juger notre thèse définitivement établie. Mais quicon- 
que a parcouru la littérature philosophique de ces der- 
niers temps sait avec quelle ténacité et quelle confiance 
naïve, contrastant singulièrement avec le scepticisme 
ordinaire de nos penseurs, un certain nombre de doc- 
trines se trouvent couramment affirmées, qui contredi- 
sent manifestement notre thèse. Qui n'a lu ou entendu 
cette assertion que la « conservation de la force », pour 
employer une expression courante, condamne, au nom 
de la rigueur mathématique, la liberté psychologique ? 
Qui n'a rencontré cette affirmation si souvent répétée 
depuis Riemann, que Lobatche wsky et les néogéomètres 
ont définitivement ruiné la thèse de l'idéalisme kantien ? 
Enfin et surtout qui n'a eu l'occasion de lire, non pas seu- 



CONCLUSION 



201 



lement dans les écrits de M. Renouvier, mais dans les 
revues, dans les livres, dans les manuels, que ce qu'on 
nomme « l'infini actuel » est définitivement condamné 
au nom du principe de contradiction ? 

Nous avons donc abordé l'examen direct de ces pro- 
blèmes, en essayant de dénoncer chaque fois l'illusion 
d'où sont nées les opinions courantes. C'est ainsi que 
nous avons réduit le déterminisme mécanique au senti- 
ment pur et simple de la causalité, que nous avons 
ramené les prétendues conséquences philosophiques de 
la géométrie non euclidienne à l'opinion à priori qui 
les suggère, sans que cette géométrie vienne l'ap- 
puyer d'aucun argument nouveau, qu'enfin nous avons 
montré, enveloppées dans un postulat spécial, qui ne 
s'impose pas au nom des exigences primordiales de 
l'entendement, les raisons apportées pour la prétendue 
solution logique des antinomies. 

Aurons-nous réussi à ruiner désormais l'illusion de 
la certitude logique? — Hésiterait-on à nous suivre par 
crainte de quelque contre-coup qu'en pourraient res- 
sentir la science et la morale ? Ce serait mal comprendre 
le véritable caractère de l'une et de l'autre. 

A mesure que l'observation et l'expérimentation des 
faits se poursuivent et se perfectionnent, l'esprit s'ef- 
force d'en dégager des notions, des lois, des formules, 
des théories, qui lui permettent de constituer la science, 
c'est-à-dire d'interpréter les faits sous une forme com- 
préhensible, qui substitue l'unité à la multiplicité, l'ordre 
au désordre, le lien, le rapport, à la diversité brutale, 
la constance au perpétuel changement. Cette interpré- 
tation en un langage forgé par l'esprit au contact des 
choses, et inspiré, suggéré par elles, lui permet d'ail- 
leurs non seulement de comprendre, en les reliant entre 
eux, les phénomènes dont la trame complexe forme la 
réalité, mais encore de les prévoir, et, par suite, aussi 



202 



LA CERTITUDE LOGIQUE 



de les utiliser de mieux en mieux. En vertu d'une sélec- 
tion naturelle, déterminée précisément par les progrès 
réalisés clans cette double voie de la compréhension 
théorique et de l'application, et parallèlement à l'obser- 
vation des faits, les idées, les lois, les conceptions se 
succèdent, tantôt ne se prêtant qu'à une courte appari- 
tion, tantôt, au contraire, devant aux facilités qu'elles 
créent de sembler définitives. Ainsi se réalise dans les 
voies parallèles de l'expérience et de l'idée, un double 
progrès indéfini, ainsi se forme et se formera indéfini- 
ment la science. L'absence de certitude logique équivaut 
ici à la nécessité que la science ne s'achève jamais, ni 
en aucun point, et que sa marche en avant se poursuive 
aussi longtemps que durera l'humanité elle-même. 

Quant à la morale, qu'a-t-elle besoin de certitude lo- 
gique ? Le sentiment du devoir et tous ceux qui l'accom- 
pagnent dans notre conscience ne s'imposent-ils pas 
avec une nécessité qui, par sa nature même, se sent 
au-dessus de toute tentative d'explication logique ? Ne 
trouvons-nous pas dans les élans de notre activité mo- 
rale une base assez ferme et assez sûre ? Non seulement 
sur ce terrain nous nous sentons solides, du jour où 
nous renonçons franchement à toute certitude logique, 
mais même nous pouvons nous croire inattaquables 
Que pèseront en effet, près des idées morales qui s'im- 
posent à nous, tous les systèmes plus ou moins ingé- 
nieux qui ne se trouveront pas en accord complet avec 
elles ? Nous saurons d'avance qu'ils ne se présentent 
pas plus qu'elles au nom des exigences logiques de l'en- 
tendement, qu'ils reposent en dernière analyse sur 
quelques postulats, suggérés par d'autres idées, et, 
nous plaçant au point de vue objectif, c'est-à-dire ici 
pratique, nous repousserons ces théories uniquement 
parce qu'elles heurtent un sentiment inébranlable. Mais, 
en les repoussant dans leurs applications pratiques, 



CONCLUSION 



203 



nous saurons aussi, en raison de notre sécurité môme, 
apprécier sans arrière-pensée l'intérêt théorique des 
conceptions, et les juger dans leurs rapports avec les 
faits ou les analogies qui les ont suggérées : bref, nous 
sentant pratiquement au-dessus d'elle, nous saurons 
accorder à la science humaine, sur ce point comme sur 
tous les autres, la tolérance absolue dont elle a besoin 
pour continuer indéfiniment son œuvre. 

C'est ainsi que nos conclusions, si restrictives à l'égard 
de la certitude logique, ne laissent pas de s'accorder 
avec les revendications les plus hautes de notre nature 
intellectuelle et morale. 



FIN 



TABLE DES MATIÈRES 



Pages. 

PRÉFACE vu 

PREMIÈRE PARTIE 

CONDITIONS DE LA CONTRADICTION LOGIQUE 

DEUXIÈME PARTIE 

CONDITIONS DE LA CERTITUDE LOGIQUE EN MATHÉMATIQUES 



Chapitre Premier. — Mathématiques pures 39 

Chapitre Deuxième. — Mathématiques pures (Suite). . . 61 
Chapitre Troisième. — - Rôle des mathématiques dans la 

science générale 88 



TROISIÈME PARTIE 

EXAMEN DIRECT DE QUELQUES PROBLÈMES PHILOSOPHIQUES DONT 
LA SOLUTION EST PRÉSENTÉE AU NOM DU PRINCIPE DE CON- 
TRADICTION. 

Chapitre Premier. — La mécanique et la liberté. ... 113 
Chapitre Deuxième. — Les conséquences philosophiques 

de la géométrie non euclidienne 432 

Chapitre Troisième. — La prétendue solution des anti- 
nomies mathématiques de Kant 166 

CONCLUSION 199 



7-8-7. — Tours, imp. E. Arrauit et C ie . 



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